2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第1講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列組合課件

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布考

情

探

究考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅱ，12條件概率與全概率公式、相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立事件的概率邏輯思維應(yīng)用性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2023新課標(biāo)Ⅰ，21離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差求均值邏輯思維應(yīng)用性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022新高考Ⅰ，5古典概型求概率運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅰ，20；2022新高考Ⅱ，19；2021新高考Ⅰ，8條件概率與全概率公式、相互獨(dú)立事件獨(dú)立性檢驗(yàn)、條件概率、判斷事件的獨(dú)立性運(yùn)算求解邏輯思維應(yīng)用性數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建?？碱}考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，13正態(tài)分布求概率運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅰ，18離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量的分布列及期望數(shù)學(xué)建模應(yīng)用性數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建?！久}規(guī)律與備考策略】本章內(nèi)容在選擇題、填空題中主要考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、古典概型、正態(tài)分布等，解答題中常利用排列、組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差、超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問(wèn)題，注意加強(qiáng)閱讀理解與信息處理能力．結(jié)合本章內(nèi)容特點(diǎn)，備考時(shí)需重視知識(shí)理論的應(yīng)用思維過(guò)程，如概率模型的理解與應(yīng)用，而關(guān)于隨機(jī)變量的分布列、均值、方差問(wèn)題則需理解解題思路與思維方向，對(duì)有關(guān)函數(shù)、不等式、數(shù)列的概率綜合題應(yīng)加強(qiáng)關(guān)注．第一講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．m1＋m2＋…＋mn2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．

m1×m2×…×mn不同順序所有不同排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)

n！1不同作為一組所有不同組合1歸

納

拓

展1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．2．對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．√××√×√題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修3P38T3(2)改編)某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)每科一節(jié)，要求數(shù)學(xué)排在上午，體育不排上午第一節(jié)和下午第二節(jié)，則不同的安排種數(shù)是__________.3123．(選擇性必修3P27T17改編)在如圖所示的五個(gè)區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(

)A．24 B．48C．72 D．96C[解析]

∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(種)，故選C．區(qū)域ABECD涂法432(與A同色)12與A不同色11題組三走向高考4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有(

)A．12種

B．24種

C．36種

D．48種B5．(2023·高考全國(guó)甲卷)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為(

)A．120 B．60C．40 D．30B考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理——自主練透1.若一個(gè)三位數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8，則我們稱M是一個(gè)“叔同數(shù)”，例如“125,710”都是“叔同數(shù)”．那么所有“叔同數(shù)”中的偶數(shù)的個(gè)數(shù)共有(

)A．17個(gè)

B．19個(gè)C．20個(gè)

D．29個(gè)C[解析]

三位數(shù)各位數(shù)的和為8的可能的組合有017,026,035,044,008,116,125,134,224,233，由008、116、233各能排出1個(gè)偶數(shù)的“叔同數(shù)”；由017、035、125、134、044各能排出2個(gè)偶數(shù)的“叔同數(shù)”；由224能排出3個(gè)偶數(shù)的“叔同數(shù)”；由026能排出4個(gè)偶數(shù)的“叔同數(shù)”．所以它們排出的“叔同數(shù)”的偶數(shù)個(gè)數(shù)共有20個(gè)，故選C．2.(2024·河北邢臺(tái)質(zhì)檢聯(lián)盟聯(lián)考)某迷宮隧道貓爬架如圖所示，B，C為一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，A，B是邊長(zhǎng)為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成．若小貓從A點(diǎn)沿著圖中的線段爬到B點(diǎn)，再?gòu)腂點(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的棱爬到C點(diǎn)，則小貓從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有__________條．1203．(涂色問(wèn)題)將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有(

)A．48種

B．72種C．96種

D．108種B[解析]

依次涂染各頂點(diǎn)，不用的涂法如下表：故不同的染色方法有4×3×2×(2＋1)＝72(種)．選B．頂點(diǎn)PABDC涂法432與B同色12

與B不同色11[引申1]若本例2中迷宮隧道貓爬架改為如圖，則小貓從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)的最短路徑有________條．84[引申2]若給本例3中四棱錐各面染上一種顏色，且相鄰面(有公共棱的面)不同色，則不同的染色方法有________種．72[解析]

依次涂色，底面ABCD的染色有4種選擇，側(cè)面PAB的染色有3種選擇，側(cè)面PBC的染色有2種選擇．①若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所染顏色相同，則側(cè)面PAD的染色有2種選擇；②若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所染顏色不同，則側(cè)面PCD的染色有1種選擇，側(cè)面PAD的染色有1種選擇．綜上，不同的染色種數(shù)為4×3×2×(1×2＋1×1)＝72.[引申3]本例3中若將“每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色”改為“每條棱染上一種顏色且相交棱不同色”，則不同染色方法有________種．棱ABBCCDDA染色34124123知共有24×2＝48種染法．48名師點(diǎn)撥：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每一類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每一步依次完成才算完成這件事情(每一步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．(2)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，一般是先分類再分步．【變式訓(xùn)練】1．(2023·廣東江門調(diào)研改編)直線方程Ax＋By＝0，若從0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為系數(shù)A，B的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是________.12

2．(多選題)(2024·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)適應(yīng)性考試)如圖，小明、小紅分別從街道的E、F處出發(fā)，到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則()A．小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3B．小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35C．若小明不經(jīng)過(guò)F處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為32D．若小明先到F處與小紅會(huì)合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為18ABD排列問(wèn)題——師生共研1.3名男生4名女生站成一排，在下列條件下的不同排法分別為：(1)選其中5人排成一排；______________(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；______________(3)全體排一排，排頭只能站甲或乙，排尾不能站甲；______________(4)全體排成一排，女生必須站在一起；__________2520

50401320

576

(5)全體排成一排，男生互不相鄰；______________(6)全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；__________(7)全體排成一排，甲必須排在乙前面；______________(8)全體排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．______________1440720252037202．(2023·山東“學(xué)情空間”教研共同體聯(lián)考)隨著北京冬奧會(huì)的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“冰墩墩”站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“冰墩墩”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為(

)A．240 B．480C．1440 D．2880B[引申]本例1中7人排一排，(1)甲站中間的站法有__________種；(2)甲、乙相鄰且丙不站排頭和排尾的站法有__________種；(3)甲、乙相鄰且都與丙不相鄰的站法有__________種；(4)3名男生相鄰，4名女生相鄰的站法有__________種；(5)4名女生不全相鄰的站法有______________種．720

960960

2884464名師點(diǎn)撥：求解排列應(yīng)用問(wèn)題的常用方法【變式訓(xùn)練】1．(2024·九省聯(lián)考試題)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有(

)A．20種

B．16種C．12種

D．8種B2．(2024·四川綿陽(yáng)突擊班診斷)某停車場(chǎng)有兩排空車位，每排4個(gè)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有(

)A．288種

B．336種C．384種

D．672種D組合問(wèn)題——師生共研ABC2．(2024·云南昆明一中雙基檢測(cè))從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面，其中恰有兩個(gè)面平行的不同選法共有________種(用數(shù)字作答)．12

名師點(diǎn)撥：組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：1．“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?．“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．【變式訓(xùn)練】1．(2024·山西三重教育聯(lián)盟聯(lián)考)從3位女生，4位男生中選3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，且至少有1位男生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字填寫)．342．(2023·高考新課標(biāo)Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．64排列、組合的綜合應(yīng)用——多維探究角度1數(shù)字問(wèn)題

在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)為(

)A．512

B．192

C．240

D．108D[引申](1)若將本例中“沒(méi)有”改為“有”，則結(jié)果為__________；(2)本例組成的四位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為__________個(gè)，其中比2310大的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為__________個(gè)．(3)本例組成的四位數(shù)中1和3相鄰的個(gè)數(shù)為________.252

156

10960角度2分組、分配問(wèn)題

如圖，“天宮空間站”是我國(guó)自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙三個(gè)部分．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有(

)A．450種

B．360種C．90種

D．70種A(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2024·湖北荊州中學(xué)月考)由1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數(shù)個(gè)數(shù)為(

)A．120種

B．108種C．96種

D．72種B2．(角度2)(2024·重慶渝中區(qū)期中)為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門勞動(dòng)教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報(bào)名參加該校勞動(dòng)教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有(

)A．60種

B．150種C．180種

D．300種B名師講壇·素養(yǎng)提升1.(多選題)(原創(chuàng))下列說(shuō)法正確的是(

)A．將4封信投入3個(gè)信箱中，共有64種不同的投法B．4只相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，共有12種不同放法C．五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有54種D．8個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同盒子中，每盒不空的放法共有35種CD[解析]

4封信投入3個(gè)信箱有34＝81種不同投法，故A不正確；將4個(gè)小球放入一個(gè)盒子有3種方法，將3個(gè)小球放入一個(gè)盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6種放法，將2個(gè)小球放入一個(gè)盒子，另2小球放另一只盒子有3種放法，將2個(gè)小球放入一個(gè)盒子中，另2個(gè)小球分別放入另兩個(gè)盒子中，有3種方法，故共有15種放法，故B不正確；五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性，故C正確；8個(gè)相同的小球，放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子不空，即將小球分成5份，每份至少1個(gè)．(定份數(shù))將8個(gè)小球擺放一列，形成