專題02 五大類數(shù)列題型（試卷含解析）-2024年高考數(shù)學最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項訓練（新高考新題型專用）

專題02五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（原卷版）【題型2裂項相消巧妙變形問題】【題型3分組求和必記常見結(jié)論】數(shù)列求和之前需要掌握一些求數(shù)列通項的技巧，技巧如下：an+1-an=f(n)當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an-1》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)為1時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：作差第二步：列舉第三步：求和→簡稱《知差求和》注意：列舉時最后一項必須是an-an-1已知{an}的首項，a1=1，an+1=an+2n（nEN*）求an通項公式。an+1=kan+b當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an_1》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)不為1時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解an→簡稱《構(gòu)造法》+.kn_1_n當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an_1》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在n時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解an→簡稱《構(gòu)造法》+A+B).kn_1_An_Bnan_1+2n_1，求{an}的通項公式。nn當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an一1》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在指數(shù)時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：等式兩邊直接同除以qn+1或qn第二步：尋找新的數(shù)列第三步：秒求所配系數(shù)第四步：尋找新的等比數(shù)列第五步：求新數(shù)列的通項第六步反解an→簡稱《直接除+構(gòu)造法》an。an+2=pan+1+qan待定系數(shù)法，其中λ、β滿足{A2=2，當nEN，an+2=5an+16an①求通項公式an.錯位相減；+7x3n1（1）求{an}的通項公式；（2）若bn=(2n1)an，求數(shù)列{b1．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a+1一a(1)寫出a2，a3，并求{an}的通項公式；b.n-2(xeR,neN*).(1)當x=2時，Sn(2)為數(shù)列{an}的前n項和，求{an}的通項公式；(2)記S024(x)是S2024(x)的導函數(shù)，求S024(2).3．設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，2an=a2n-1,a4=7,b1=2a1，(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn；.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，8S6=7S3.((1)求an；(2)設(shè)bn=nlog12a=n26．已知數(shù)列{an=n232(1)求an；(2)若n3,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{n+3nan}的前n項和Sn.8．已知Sn是各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和，2Sn=an(an+1).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=2n.an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.裂項相消巧妙變形問題裂項相消求和①an=f(n+1)f(n))an⑩an=2nnn+1在數(shù)列{an}中，an=和.1+2+...+n2。cos0。cos1。cos1。cos2。cos88。cos89。sin21。(1)求{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b+1=an，且b1(1)求{an}的通項公式：（i）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求{bn}的通項公式3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，滿足2a1+16a3=3，2a3a6=a.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；4．已知Sn為公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，且a2n=λan+1(λeR,neN*).(1)求λ的值；5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)記bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an一2(neN*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；n(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.分組求和必記常見結(jié)論1+3n2，??（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(1)n.1．已知數(shù)列{an}，.在①數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an-2；②數(shù)列{an}的前n項之積為Sn=2n=N*)，這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答.（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.在答題前應(yīng)說明“我選”）(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn=an+log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1,2Sn=2nan-n2+n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；試求k的最小值.3．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn=2an+r，其中reR，且r子0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=(-1)n+1，若對任意的neN*，都有bi<m<bi，求實數(shù)m的取值范圍.2n+1-a2n-1.(1)證明{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn=，且數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：當n>2時，(1)求{an}的通項公式；6．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2an=3n-5,ne**.(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.(2)若記bk(keN+)為{an}中落在區(qū)間(5k,52k)內(nèi)項的個數(shù)，求{bk}的前k項和Tk.8．已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a2a4=16，S5=S3+24.(2)記{an+log2an}的前n項和為Tn，求滿足Tn<2024的最大整數(shù)n.含n類進行求和問題我們估且把這種求和的方法稱為“并項法”，可以推廣到一般情況，用“并項法”求形如通.f(n)的擺動數(shù)列{an}前n項和的步驟如下：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當n為奇數(shù)時，an+an+1的表達式；第二步：然后對n分奇、偶進行討論，即當n為偶數(shù)時，由Sn2)34)56)n1n)求出Sn；即S1要單獨求出.第四步：將S1代入當n為奇數(shù)且n＞1時Sn的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示2n+3n)，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.1．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn=2an+r，其中rER，且r子0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；,若對任意的neN*，都有bi<m<bi，求實數(shù)m的取值范圍.2=a.n2．已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，a1=1且當n>2時，Sn-2=a.n(1)求數(shù)列{an}的通項公式；12，且數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(1)求{an}的通項公式；(2)若bn=(-1)nan，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求T20.(2)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前20項和T20.5．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且3an=2Sn+1.T.n(2)設(shè)bn=(-1)n+1log3an，求數(shù)列{bn}的前T.n6．已知{an}是等比數(shù)列，滿足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足(2)設(shè)cn=(-1)n(an-bn)，求數(shù)列{cn}的前2n項和S2n：(3)設(shè)dn=anbn，求數(shù)列{dn}的前n項和Tn.(2)求數(shù)列{2an+(-1)n}的前n項和8．已知{an}是等比數(shù)列，滿足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足(ne(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn=(-1)n(an-bn)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.含絕對值求和問題給出數(shù)列{an}，要求數(shù)列{an}的前n項和，必須分清n取什么值時an＞0(an＜0)如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，Tn=a1+a2+...+aTkn,Sn,(n＞k)Tn-2Sk,(n＞k)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，Tn=a1+a2+...+aT=a1(1-qn)=a1-anqn1-q1-q已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a2=32，a3a4a5=8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；T=n(2)設(shè)bn=log2T=n+++…+已知等差數(shù)列{an}的首項為6，公差為d，且a1,a3+2,2a4成等比數(shù)列.（1）求{an}的通項公式；在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=11，且a2、a5、a6成等比數(shù)列.（2）求數(shù)列{a2n-1}的前n項和Tn.1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+kn(ke**)，且Sn的最大值為.(1)確定常數(shù)k，并求an；2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5=3，S5=35.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Tn，求T10.3．已知等差數(shù)列{an},a1=-10，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題.①2a5+a8=0；②S11=-55；③-=2.(1)求Sn的最小值；(2)設(shè){an}的前n項和為Tn，求T20.4．已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7a9a11=64,a12+2是a9與a13的等差中項.(2)若bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和.的等比中項為2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn=log2an，求{bn}的前n項和Tn.等差數(shù)列.(1)求{an}的通項公式；(2)若bn=a2n-1-80，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.7．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d<0，a1=10，且a2，a5，a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；60的值.8．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且..(2)若數(shù)列{an}的前n項和為Tn，設(shè)Rn=，求Rn的最小值.專題02五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（解析版）【題型2裂項相消巧妙變形問題】【題型3分組求和必記常見結(jié)論】數(shù)列求和之前需要掌握一些求數(shù)列通項的技巧，技巧如下：an+1-an=f(n)當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an-1》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)為1時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：作差第二步：列舉第三步：求和→簡稱《知差求和》注意：列舉時最后一項必須是an-an-1解：第一步：作差第二步：列舉n+1n+2n（neN*）求an通項公式。21aa=2132a-a32an-2-an-3n-1n-2n-1n-2an-an-1=。。。。。。。。。。。2(n-2)2n口訣：左左加右右加，相互抵消用等差n2nn當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an一1》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)不為1時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解an→簡稱《構(gòu)造法》n1{an}的通項公式.解:第一步：秒求所配系數(shù)m===1第二步：尋找新的等比數(shù)列an+1=2(an一1+1),:{an+1}是首項為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列,nnnn第四步反解an:an=2n一1故答案為：:an=2n一1n當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an一1》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在n時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解an→簡稱《構(gòu)造法》+A+B).kn-1-An-Bnan-1+2n-1，求{an}的通項公式。解：第一步：秒求所配系數(shù)n2n-1222-A-B=-12-112第二步：尋找新的等比數(shù)列n-4n+6}是以3為首項，為公比的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解an∴an=+4n-6驗證：當n=1時通項也成立n2n-1nn當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《an與an+1》或《an與an-1》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在指數(shù)時，應(yīng)遵循以下步驟第一步：等式兩邊直接同除以qn+1或qn第二步：尋找新的數(shù)列第三步：秒求所配系數(shù)第四步：尋找新的等比數(shù)列第五步：求新數(shù)列的通項第六步反解an→簡稱《直接除+構(gòu)造法》an。第一步：等式兩邊直接同除以qn+1或qnn得第二步：尋找新的數(shù)列an驗證：當n=1也成立故答案為ann一2n1an+2=pan+1+qan待定系數(shù)法，其中λ、β滿足{A2=2，當neN，an+2=5an+16an①求通項公式an.解：①第一步：秒出系數(shù)①式可化為：βλ=5,λβ=6牽(β=2，λ=-3)和(β=3，λ=-2)比較系數(shù)得(β=2，λ=-3)和(β=3，λ=-2)，不妨取(β=3，λ=-2).①式可化為：第二步：出現(xiàn)新的等比數(shù)列則{an+1-2an}是一個等比數(shù)列，首項a2-2a1=2-2.(-1)=4，公比為3.第三步：求新等比數(shù)列通項∴an+1-2an=4.3n-1.利用上題結(jié)果有：第四步：反解anan=4.3n-1-5.2n-1.錯位相減；(CA1)2.Cn+1--(CA1)2.Cn-1秒殺1牽卷子上書寫第一步：尋找標準形式可知，{(2n-1)xn-1}的通項是等差數(shù)列{2n-1}的通項與等比數(shù)列{xn-1}的通項之積第二步：列舉Sn2+5x3+7x4①-②得Sn=？第三步：利用結(jié)論秒求Sn牽草稿紙上書寫ann-1=-.xnSn2第四步：化解結(jié)論求Sn牽卷子上書寫n(1x)2秒殺2牽卷子上書寫第一步：尋找標準形式可知，{(2n1)xn1}的通項是等差數(shù)列{2n1}的通項與等比數(shù)列{xn1}的通項之積第二步：列舉Sn2+5x3+7x4①-②得Sn=？第三步：利用結(jié)論秒求Sn牽草稿紙上書寫ann1).xnB或B=或B=2第四步：化解結(jié)論求Sn牽卷子上書寫n(1x)2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n+1.（1）求{an}的通項公式；（2）若bn=(2n1)an，求數(shù)列{b解：秒殺1牽卷子上書寫（1）快速求解通項-1n)-2n-1n-1.⑵第一步：尋找標準形式n-1,n第二步：列舉12323①-②得Sn=？第三步：利用結(jié)論秒求Sn牽草稿紙上書寫（22)（2)ann-1=(n（22)（2)Sn2第四步：化解結(jié)論求Sn牽卷子上書寫1．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a+1-a(1)寫出a2，a3，并求{an}的通項公式；b.a-aa=a-a3=a22n2nn-n-1-a--n-n-2-a2，所以an=2n-1a-aa=a-a3=a2因為a+1-a所以a+1-a=an2-(2n-1)2，即a+1-(2=an-(2n-1)2.所以a-(2n-1)2=a-1-(2n-3)2=又an>0，所以an=2n-1(n=**)b2378①,23789②238-29921-2791-2所以S=12814，b-b2345678bn-2(xeR,neN*).(1)當x=2時，Sn(2)為數(shù)列{an}的前n項和，求{an}的通項公式；(2)記S024(x)是S2024(x)的導函數(shù)，求S024(2).024(2)2024n2n-222024-2,:S024(x)=1+2x+3x2+…+2024x2023.22023①232024②22023202420242024:S024(2)=2023根22024+1.3．設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，2an=a2n一1,a4=7,b1=2a1，(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn；4一+9n4一+9【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)，2SiSi則S1n2212則(1)2n1T2n1S2n1+(1)2nT2nS2n22n22n2，2n1n，23n23n+1n+1，4所以An=所以AniTi.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；【答案】(1)an=n(2)證明見解析23nnn23nnn所以a1+a2+a3+…+an+an+1=an+2-1，+a2=a2 an+1an+2= n+1n+2T anan+2=nn+2T=n所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n.2+23+…nn+1， Tn2n+142n+142n+14.5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，8S6=7S3.((1)求an；(2)設(shè)bn=nlog12a622)所以an=.(-)n-1.23n，346．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n.(1)求an；nne**).n，223，n-nnE**).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{n+3nan}的前n項和Sn.n(2n1)nnn+4n}為首項是6，公比為2的等比數(shù)列，n1n4n，n4nn，2n)4(12n)，2nT23n，234n+1，243nn+1，n)n.8．已知Sn是各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和，2Sn=an(an+1).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=2n.an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.n+1nnn1nn1nnan12n，3nn+1，23nn.2n+1=TnTnn+1裂項相消巧妙變形問題裂項相消求和①an=f(n+1)f(n))an⑩an=2nnn+1在數(shù)列{an}中，an=和.解：第一步：裂項1+2+...+n2n第二步：裂項求和Sn=8(1)＝。cos0。cos1。cos1。cos2。cos88。cos89。sin21。證明：第一步：裂項sin1。第二步：裂項求和∴原等式成立解：第一步：裂項第二步：裂項求和23n(1)求{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足=an，且b1=，求{bn}的前n項和Tn.【詳解】（1）因為a5-4,a5,a5+6又{an}是等差數(shù)列，a1=4，所以公差d==2，1-n-1又b1(1)(11)(11)1n(1)(11)(11)1n(1)求{an}的通項公式：（i）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求{bn}的通項公式（ii）設(shè)cn=an-bn，證明：<-，ne**【答案】(1)an=2.3n一1(2)（i）證明見解析，bn=n2(ne**)ii）證明見解析neN*)，所以數(shù)列{}是以=1為首項，公差為1的等差數(shù)列. k2k.2.3k(k+121kk22.3kk+1)2 2n，n1n1n2n21n1所以:ckn-2n+1)-2-n-<3.2.3k-(k+1)24.3k-1-(2k+1)||||k-1-k2]n綜上：當nEN*時，<-.3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，滿足2a1+16a3=3，2a3a6=a.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=log2ai，數(shù)列{}的前n項和為Tn．求證：-2<Tn<-1.【答案】(1)an=n；(2)證明見詳解.【詳解】（1）記數(shù)列{an}的公比為q，n.（2）由（1）可得，log2an=log2n=-n，「(22)(22)(22)](2)2「(22)(22)(22)](2)2因為neN*，所以0<<1，4．已知Sn為公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，且a2n=λan+1(λeR,neN*).(1)求λ的值；【答案】(1)2(2)證明見解析2n+2則②-①得a2n+2-a2n=λ(an+1-an)，即2d=λd，又d產(chǎn)0，則λ=2；解法二：設(shè){an}的公差為d(d產(chǎn)0)，所以a1+(2n-1)d=λa1+(n-1)d+1對vneN*恒成立，即(λ-2)dn+(λ-1)(a1-d)+1=0對vneN*恒成立，n-a1，5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)記bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和.【答案】(1)an=n(2)【詳解】（1）：數(shù)列的前n項和為Sn=，又當n=1時，an=n也成立，:數(shù)列{an}的通項公式為an=n.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，2n(1)求數(shù)列{an}的通項公式；【答案】(1)an=2n(2)證明見解析n經(jīng)檢驗，a1=2滿足上式，所以{an}的通項公式是an=2n.n7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-2(n=N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；n【答案】(1)an=2n(2)證明見解析當n>2時，Sn-1=2an-1-2①-②,得an=2an-1，:數(shù)列{an}是以首項為a1=2，公比為2的等比數(shù)列，1:an=a12n-=2n．經(jīng)驗證a1符合上式，所以an=2n.1（2）由（1）知a2n-1=22n-1，故c1n故c1n(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.n++分組求和必記常見結(jié)論1+3n2，??解：第一步：分組將其每一項拆開再重新組合得Sn第二步：分組求和n22n+==22a解：第一步：分組∴Sn=k(k+1)(2k+1)＝(2k3+3k2+k)將其每一項拆開再重新組合得第二步：分組求和Sn33)22)n+n2(n+1)22++2+==22（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(1)n.解1）快速求解通項設(shè){an}的公比為q，{bn}的公差為da23aqq2，即a12q=12q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍去3(2)第一步：分組1++第二步：分組求和數(shù)列{2n+1}的前n項和為=2n+2-4，n4(3n故S=2n+2+nn4(3n1．已知數(shù)列{an}，.在①數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an-2；②數(shù)列{an}的前n項之積為Sn=2n=**)，這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答.（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.在答題前應(yīng)說明“我選”）(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn=an+log2an2n+n22,Sn1（II（I）（II）得：an=2an2an1，即an=2an1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n.n(n+1)S22nann(n1)n122n一22=2n,所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n2n)n(1)求數(shù)列{an}的通項公式；試求k的最小值.n1n1(n2所以{an}是公差為1的等差數(shù)列，1，故數(shù)列{an}的通項公式為an=n.（2）依題意k<an<2k，即k<n<2k，因為ke**,2ke**,ne**，所以滿足不等式的正整數(shù)個數(shù)為2k一k+1，即bk=2k+1+kk22，k單調(diào)遞增，所以k的最小值為11.3．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn=2an+r，其中reR，且r子0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=(1)n+1，若對任意的neN*，都有bi<m<bi，求實數(shù)m的取值范圍.nnSn1=2an2an1，所以an=2an1，所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，nn，bi2n所以所以bimax-(-2)2n+1-22.4n-2bimin隨n的增大而增大，因為對任意的nEN*，都有bi<m<bi，2n+1-a2n-1.(1)證明{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn=，且數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：當n之2時，【答案】(1)證明見解析，bn=5.3n-1(2)證明見解析n23-a1bna2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1bna2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1所以{bn}是等比數(shù)列，首項b1=5，公比q=3，所以bn=5.3n-1.b-bn+1-55.3n-53n-1先證明左邊：即證明-3<3Tn-n，c=nc=n3n-1-13n-1-111 >=-，3n-13n33nn-1-n21，1「2)1「2)=1-t，設(shè)f(t)=lnt+1-t，te,1，因為f,(t)=-1=>0，所以函數(shù)f(t)=lnt+1-t在te,1上單調(diào)遞增，綜上，3n(1)求{an}的通項公式；【答案】(1)an=2n(2)證明見解析2n2nn兩式作差可得，nan=(n-1).2n+1-(=2也適合該式，故an=2n；故b1n6．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2an=3n-5,ne**.(1)設(shè)bn=an-n+2(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.【答案】(1)證明見解析；(2)_2根(2)n+【詳解】（1）因為an+1+2an=3nn又b11所以{bn}是以2為首項，_2為公比的等比數(shù)列.3n(_2)0+(2n_102n_102n_1]=__+.=__+.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若記bk(keN+)為{an}中落在區(qū)間(5k,52k)內(nèi)項的個數(shù)，求{bk}的前k項和Tk.411477所以數(shù)列{an}的通項公式是an=5n-2.2+5（2）由（1）知，keN+，由5k<an<52k，得5k<5n-2<52k，整理得2+52k-125因此正整數(shù)n滿足5k-1+1<n<52k-1，從而得bk=52k-1-5k-1，2k+1-6k8．已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a2a4=16，S5=S3+24.(1)求{an}的通項公式；(2)記{an+log2an}的前n項和為Tn，求滿足Tn<2024的最大整數(shù)n.【詳解】（1）設(shè){an}的公比為q，則an=a1qn-1，la4la455la1qq4,整理得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍去所以an=a3qn-3=2n-1.202n-12Tn隨著n的增大而增大，TT211所以滿足Tn<2024的最大整數(shù)n=10.含n類進行求和問題我們估且把這種求和的方法稱為“并項法”，可以推廣到一般情況，用“并項法”求形如通.f(n)的擺動數(shù)列{an}前n項和的步驟如下：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當n為奇數(shù)時，an+an+1的表達式；第二步：然后對n分奇、偶進行討論，即當n為偶數(shù)時，由Sn2)34)56)n1n)求出Sn；即S1要單獨求出.第四步：將S1代入當n為奇數(shù)且n＞1時Sn的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示解：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當n為奇數(shù)時，an+an+1的表達式第二步：然后對n分奇、偶進行討論，即當n為偶數(shù)時，2)34)56)n1n)求出Sn34)56)n1n即S1要單獨求出.第四步：將S1代入當n為奇數(shù)且n＞1時Sn的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示(0,n為奇數(shù)時解：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當n為奇數(shù)時，an+an+1的表達式；第二步：然后對n分奇、偶進行討論，即當n為偶數(shù)時，由Sn2)34)56)n-1+an)求出Sn；34)56)35n-1)n-1第三步：當n為奇數(shù)且n＞1時，由Sn=Sn-1+an求出Sn，特別注意對n=即S1要單獨求出.-322n-32=---第四步：將S1代入當n為奇數(shù)且n＞1時Sn的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示又因為S1=5適合當n為奇數(shù)且n＞1時Sn.2n3n23n21．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn=2an+r，其中r=R，且r豐0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=(1)n+1，若對任意的n=N*，都有bi<m<bi，求實數(shù)m的取值范圍.nnSn1n2an1，所以an=2an1，所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）得;Snnn，2n12n1bi2nbi2．已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，a1=1且當n之2時，Sn-1+Sn=a.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=(-1)n+1a，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】(1)an=n(ne**)(2)Tn=(-1)n+1兩式相減可得2an=a-a-1+an-an-1，整理得a-a-1-an-an-1=0，則an-an-1-1=0，即an-an-1=1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，即an=n(n之2)，經(jīng)檢驗n=1時成立，則an=n(ne**).（2）由（1）知bn=(-1)n+1n2.Tn當nTn222222n-1-an2422n2當n為奇數(shù)時，Ta242222(1)求{an}的通項公式；(2)若bn=(1)nan，設(shè)數(shù)列{bn}.6,a3的前n項和為Tn，求T20.【答案】(1)an=n2+n；所以數(shù)列{an+1一an}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，nan12n2當n=2k,keN*時，T(2)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前20項和T20.【答案】(1)證明見解析，an=(2)T20=-n5．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且3an=2Sn+1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；T.n(2)設(shè)bn=(-1)n+1log3an，求數(shù)列{bn}的前T.nn1:數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.:數(shù)列{an}的通項公式為an=3n一1.n+12n2nn2,6．已知{an}是等比數(shù)列，滿足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn=(1)n(anbn)，求數(shù)列{cn}的前2n項和S2n：(3)設(shè)dn=anbn，求數(shù)列{dn}的前n項和Tn.n+2又a1因為1+q2>0，解得q=2，故an=2n.n-1所以可得bn所以an=2n，bn=2n，即{an}和{bn}的通項公式分別為an=2n，bn=2n.（2）因為cn=(-1)n(an-bn)，2n2-b2-…+a2n-b2n2-…2n-b2+…-b2n)+2(2n-1)-4n2342n2n)-2n=2n+1-2n-.23n①,234n+1②,23n-2nn+111-2n)1-2n+1n+2.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{2an+(-1)n}的前n項和Sn.(4n2(4n2所以an=4n+1.n+122222n22(4n228．已知{an}是等比數(shù)列，滿足a1=2，且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b2(ne**).(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn=(-1)n(an-bn)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.+1n.又a1而1+q2>0，解得q=2，因此an=2n；n1兩式相減得bn=2，即bn=2n，顯然b1=2滿足上式，因此bn=2n，所以數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=2n.nbn2nnn+2(nn+1|1含絕對值求和問題給出數(shù)列{an}，要求數(shù)列{an}的前n項和，必須分清n取什么值時an＞0(an＜0)如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，Tn=a1+a2+...+aTkn,Sn,(n＞k)Tn-k,(n＞k)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，Tn=a1+a2+...+aT=a1(1-qn)=a1-anqn1-q1-q已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a2=32，a3a4a5=8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解：(1)快速求解通項設(shè)各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，因為a2neN*)，(2)第一步：秒求臨界第二步：利用結(jié)論2；(8n-n2已知等差數(shù)列{an}的首項為‘，公差為d，且a1,a3+2,2a4成等比數(shù)列.（1）求{an}的通項公式；3n|的值.解：(1)快速求解通項4nn(2)第一步：秒求臨界第二步：利用結(jié)論nn29n)213n+42.222a2+...n在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=11，且a2、a5、a6成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{a2n-1}的前n項和Tn.解：(1)快速求解通項2(2)第一步：秒求臨界因為an=13-2n所以a2n-1=13-2(2n-1)=第二步：利用結(jié)論nn(-2n2+13n,n<31．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+kn(ke**)，且(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列{an}的前15項和T15.【詳解】（1）解：由數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+kn(ke**)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當n=k時，Sn=-n2+kn取得最大值，n所以數(shù)列{an}的通項公式為an=-n.且當n<3且n=N*時，可得an>0；當n之4且n=N*時，可得an<0，所以數(shù)列{an}的前15項和：T15=-S15+2S3=-222．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5=3，S5=35.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n