高等數(shù)學(xué) 課件 王震 第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1微分中值定理微分在近似計算中的應(yīng)用舉例教學(xué)內(nèi)容一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、羅爾定理費馬引理：若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且存在，對任意有（或），則通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點叫函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點，臨界點）不失一般性，我們以為例來證明。一、羅爾定理一、羅爾定理例如,一、羅爾定理證由費馬引理知一、羅爾定理幾何解釋:一、羅爾定理注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,二、拉格朗日中值定理注意二、拉格朗日中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為二、拉格朗日中值定理作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:這個公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.推論二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論二、拉格朗日中值定理例1證作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分三、柯西中值定理三、柯西中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)三、柯西中值定理三、柯西中值定理例證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.第三章

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)的單調(diào)性3.5函數(shù)的性態(tài)與作圖（1）一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最值定理1xyoy

f(

x)ABabxyoAy

f(

x)Babf

(

x)

0 f

(

x)

0設(shè)函數(shù)

f

(x) 在閉區(qū)間

[a,

b]上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,

b) 內(nèi)可導(dǎo).則函數(shù)

y=f

(x)

在[a,

b]上單調(diào)增加(或減少)的充要條件是.證明

充分性 在[a,

b]上任取兩點x1,x2，不妨設(shè)

x1<x2

，則由拉格朗日中值定理知f

(x2

)

f

(x1

)

f

(

)(x2

x1

), x1

x2f(x2)

f(x1)

0

，因此f(x)在[a,

b]上單調(diào)增加.f(x2)

f(x1)

0

，因此f

(x)

在[a,b]上單調(diào)減少.因為f(x)在開區(qū)間

(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo)0 00x

x0

x

(a,b),

f

(x

)

lim

f

(x)

f

(x0

)

0x

x定理2設(shè)函數(shù)

f

(x) 在閉區(qū)間

[a,

b]上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,

b) 內(nèi)可導(dǎo).(1)若在(a,

b)內(nèi)

f

(x)

>

0，則函數(shù)

y=f

(x)

在[a,

b]上嚴格單調(diào)增加.(2)若在(a,

b)內(nèi)

f

(x)

<

0，則函數(shù)

y=f

(x)

在[a,

b]上嚴格單調(diào)減少.解 (1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(

,

)(2)

f

(x)=6x2

-

6x-12=

6(x-2)(x+1)，令f

(x)=

0，得

x1

=

-

1，x

2=

2(3)列表討論如下：x(

,-

1)(-

1,2)(2,

)f

(x)

f

(x)所以(-∞,

-1)和(2,

+∞)是

f(x)

的遞增區(qū)間, (-1,

2)是

f(x)的遞減區(qū)間.例1x2

的單調(diào)區(qū)間.確定函數(shù)

f

(

x)

3解

D

:

(

,

).33xf

(

x)

2 , (x

0)當x

0時,導(dǎo)數(shù)不存在.當

x

0時f

(

x)

0,

在(

,0]上單調(diào)減少；當0

x

時f

(

x)

0,

在[0,

)上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為x2y

3(

,0][0,

).作答主觀題10分定理

3 充分條件I---單調(diào)法則設(shè)函數(shù)

f

(x)

在點x0

的左右近旁可導(dǎo)，若當

x

在x0

的左右，

f

(x)改變符號，則函數(shù)

f(x)在點x0取得極值，且0(1)如果x

(

x

)

,

x ),

有

f

'

(

x)

0;而x

(

x ,

x0 0 0有

f

'

(

x)

0，則

f

(

x) 在x0處取得極大值0(2)如果x

(

x

)

,

x ),

有

f

'

(

x)

0;而x

(

x ,

x0 0 00有

f

'

(

x)

0，則

f

(

x)在x 處取得極小值(3)如果當x

(

x0 0 0 0

,

x )

及x

(

x ,

x

)時,f

'

(

x)符號相同,則

f

(

x)在x0

處無極值例4的極值.求函數(shù)y

2x3

12x2

18x

9解

D

:

(

,

)

y

6x2

24x

18

6(x

1)(x

3);令

y

0,x1得

1,x2

3.x(

,1)1(1,

3)3(3,

)f

(x)

00

f(

x)

1

9x23233

x5x

2x3

x

1

(2)f

(x)

3 x2

1521令f

(

x)

0, 得駐點x

2

, 不可導(dǎo)點x

0.（3）列表討論如下：x(-

,

0)0

0,

2

5

25

2

,

5

f

(x)+不存在-0+f

(x)極大值03

3 4極小值

5 255所以, 函數(shù)在x

0取得極大值

f

(0)

0, 在點x

25 5 252 3 43)

.取得極小值 f

(定理

4

充分條件II---二階導(dǎo)符號法則設(shè)函數(shù)

f(x)在點

x0

的二階導(dǎo)數(shù)存在，若若

f

(x0)=

0，且

f

(x0)

0，則函數(shù)f

(x)在點x0取得極值，且(1)若

f

(x0)

<

0

,則

f(x0)

為函數(shù)f

(x)的極大值，

x0為極大值點；(2)若

f

(x0)

>

0，則

f(x0) 為函數(shù)f

(x)的極小值，

x0為極小值點.例6 求函數(shù)

f

(x)

=x4

–10x2

+

5的極值.解

(1)

f(x)的定義域為

(-

,

+

).(2) f

(x)=4x3–

20x

= 4x(x2-

5)，5, x2

0, x3

5.令

f

(x)

=0,得駐點

x1

(3)因為

f

(x)

=12x2

–20，于是有f

(

5)

40

0,f

(0)

20

0,f

( 5)

40

0.所以函數(shù)

f(x)在點

x=0

取得極大值

f(0)=5,在點x

5取得極小值

f

(

5)

20.作答主觀題10分分析：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,

b]上連續(xù)，那么它在

[a,

b]

上一定有最大值和最小值．顯然，在所設(shè)條件下，f(x)在閉區(qū)間[a,

b]的最值只可能在極值點和區(qū)間的端點處達到．又因為極值點只能在極值嫌疑點中去找，所以只要求出全部極值嫌疑點和兩個端點處的函數(shù)值，然后加以比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值．例7 求函數(shù)

f

(x)

=

2x3–9x2+12x+10在

[0,3]上的最大值和最小值.解 f

(x)=6x2–18x+12

=6(x–2)(x–1),令

f

(x)

=

0，得駐點

x1=2,

x2=

1. 計算f(x)在所有駐點及端點處的函數(shù)值：f(1)=15

,

f(2)=14

,

f(0)=10

, f(3)=19,比較這些值的大小，可知，在[0,3]上，函數(shù)f(x)的最大值為f(3)=19,最小值為f(0)=10.實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;若目標函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為所求的最(或最小)值．例8 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？

10解

設(shè)房租為每月x元，租出去的房子有

50

x

180

套，

10R(

x)

(

x

20)

50

x

180

10

R(

x)

(

x

20)

68

x

10

10

5R

(

x)

68

x

(

x

20)

1

70

x

R

(

x)

0

x

350（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高。

10

最大收入為R(

x)

(350

20)

68

350

10890

(元)練習(xí)：求函數(shù)

f

(x)

=

x3–3x2

–9x+5在

[–4,4]上的最大值和最小值.作答主觀題10分第三章

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3未定式這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.定理1設(shè)（1）當

x

a

時，函數(shù)

f

(x)及

g(x)

都趨于零；（2）在點a的某去心鄰域內(nèi)，f

'(x)

及g

'(x)

都存在且g'(x)

0（3）

limf

(x)存在（或為無窮大），那么x

a

g

(x)lim

limf

(x)

f

(x)x

a

g(x) x

a

g

(x)例1解.sin

xx

0ex

e

x求

limx

0(sin

x)

原式

limlimcos

xx

0ex

e

x(ex

e

x

)

2.例2解3 2.x3

3x+2x

1

x

x

x

1求

lim23x2

3x

1

3x

2x

1原式

lim6x

limx

16x

2.32

)00()00(定理2000limx

x F

(

x)f(

x)

f

(

x)

.x

x F

(

x)x

x F

(

x)設(shè)(1)

當x

x0時,函數(shù)

f

(

x)

及

F

(

x)

都趨于無窮大;(2)

在x0的某去心鄰域內(nèi)

f

(

x)及

F

(

x)

都存在且

F

(

x)

0;(3) lim f

(

x)

存在(或為無窮大);那么 lim例4解ln

sinnxx

0

求

limlnsinmx.x

0

n

cos

nx

sin

mx

1.

(

)x

0

cos

mx原式

lim

m

cos

mx

sin

nx

lim cos

nx例3解.2 1xx

arctan

x求

limx2x

1 1

x2原式

lim2x2

lim

1 x

1

x

1.00( )解2x

tan

3

x例5

求

lim

tan

x

.sec2

x原式

lim2 22 21 cos23

xx

3sec

3

x

3

x

cos

x

lim22cos

x

sin

x3

x

2x

sin

2

x

1

lim

6cos

3

x

sin

3

x

lim

sin

6

x2

lim6cos

6

x

3.x

2cos

2

x

(

)注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6解x2tan

xx

0求

lim

tan

x

x

.3xx

0原式

lim6

xx

0

lim23

xsec2x

1tan

x

x

limx

0xlim3

x

02sec2

x

tan

x

1 tan

x

13

.例7解xx

求

lim

x

cos

x

.1x

原式

lim

1

sin

x

lim(1

sin

x).x

極限不存在洛必達法則失效。xx

原式

lim(1

1

cos

x)

1.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分應(yīng)用法則時，每步必須驗證條件，否則會得出錯誤的結(jié)果

1lim

x

sin

x

lim

1

cos

x

lim sin

xx

x

sin

x x

1

cos

x x

sin

x事實上，上式極限為1，錯誤在于應(yīng)用了一次法則后已經(jīng)不是不定式了，所以不能再用洛必達法則求極限。例9解1tan

x

xx

0

1

).求

lim((

)x

0x

tan

x原式

lim

x

tan

x=

lim=0.x22x2xx

0x

0x

0x

tanx1

sec2

xtan2

x

lim

lim2.

型步驟:

1

1

0

0

.0 0 0

0步驟:3.

00

,1

,

0 型

0

ln

ln1

0

ln

01

0

00

取對數(shù)

0

.解x

0

例10

求

lim

x

x

.(00

)x

0

原式

lim

e

x

ln

xlim xln

x

e

x

0

1limx21xx

0

e

e0

1.1xlimln

xx

0

e例11解1

ln

x求

limx1

x.x

11x

1原式

lim

e1

xlimln

x

e

x

11

x(

1 )1lim

x

e

1

.例12解1x

0

求

lim(cotx)lnx.

e

x

1

1(

0

),11

ln(cotx

)

eln

x取對數(shù)得

(cot

x)ln

xx

0

ln

x1x11

lim

1

ln(cot

x)

limx

0

cot

x sin2

x

lim

x

1,x

0

cosx

sinx

原式

e

1

.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分洛必達法則00,1

,

0 型

型型00型

0

型f1

gf

g

1g

1

ff

g

1g

1

f令y

f

g取對數(shù)一、泰勒公式的建立二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式三、泰勒公式的應(yīng)用舉例0nf

(x)

P(x)0nx

x是比

高階的無窮小.當一個函數(shù)f

(x)相當復(fù)雜時,為了計算它在一點x=x0附近的函數(shù)值或描繪曲線f

(x)在一點P(x0,f(x0))附近的形狀時,我們希望找出一個關(guān)于(x-x0)的n次多項式近似表示f

(x)且當

x

x 時，函數(shù)Pn

(x)

a0

a1(x

x0

)

a2

(x

x0

)2

an

(x

x0

)n

' ''0n0 0 1 0 2 0 na

f x ,1!a

fx ,

2!a

f x

,

,

n!a

f x這樣,對Pn(x)

求各階導(dǎo)數(shù),然后分別代入以上等式得假定f

(x)在含有點x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：npn(x0

)

f(x0),pn

(x0

)

f

(x0

),

,

p(n)

(x0

)

f(n)

(x0

)212!

n

00f (x

),

a

P''

(x

)

,01(

n)n n! na

P0f

(n)

(x

)(x)

12

!1n

!即得

a0

Pn(x0

)

f(x0),a1

P'n(x0

)

f

(x0

)

,把所求得的系數(shù)代入得P

(x)n0

f

(x

)0 0)(x

x

)

f (x

0 0

1

f

(n)

(x

)(x

x

)nn

!20 0f (x

)(x

x

)

12

!

nnf x

P

x0nx

x其次證明

R

x

是較

顯然,

Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且高階無窮小

(x )

0(n)n 0 n 0 n 0R (x )

R (x )

R0

0n

1據(jù)此重復(fù)使用洛必達法則，可推得

limx

x0(x

x

)Rn

(x)0x

x

0nx

x高階的無窮小.即當時，Rn(x)

是比于是

f

(x)

可表示f(x)

00 0f

(x

)

2002

!)f (x(x

x

)

f (x )(x

x )

nn

!0(x

x

)

f(n)(x0

)nR (x)的高階無窮小.

n其中R

(x)0是較(x

x

)n定理

泰勒(Taylor

)中值定理f(x)

0f

(x

)0 0

f (x

)(x

x

)02

!f (x

2

n

!) f(n)(x0

)(x

x0)(x

x0

)

n

R

(x)n①(n

1)

!其中

Rn

(x)

(x

x0)n

1f(n

1)

(

)0(

在

x 與x

之間)

②如果f

(x)在含有點x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對于任一x

(a

,b)

有其中

R (x)

((x

x )n

)n 0公式①稱為f

(x)按

(x-x0)

的冪展開的

n

階泰勒公式

.公式

②

稱為拉格朗日型余項.(

x (0

1)).nxn

1(n

1)

!R (x)

f(n

1)

(

x)2

f

(0)

2

!f(x)

f

(0)

f

(0)x

n

!f(n)

(0)x

x在泰勒公式中令

x0

0

,

則有：n其中其中nR (x)

(xn

)n

R (x)

上述公式

稱為

f(x)的麥克勞林(Maclaurin)公式

.公式

稱為拉格朗日型余項.

公式

稱為佩亞諾型余項

.

xnex

1

x

x2

x32

!

3!故例1

求函數(shù)

f

(x)

e

x解:因為的n階麥克勞林展開式.所以f'

x

f''

x

f

n

x

ex，f

0

f'

0

f''

0

f

n

0

1.nn

!

+

(x

)3

!5

!(2m

1)

!x2m

1sinx

x

x3

x5

(

1)m

1解:因為例2

求函數(shù)

f

(x)

sin

x

的n階麥克勞林展開式.所以f

'

x

cos

x,

f

'

x

sin

x,

f

'

x

cos

x,

4,nf

2

x

sin

x,

,

f x

sin x

n

f(0)

0,f

(0)

1,f

(0)

0,

f

(x)

1,f(4)

(0)

0,

,

f(n)

(0)

sin

n

2令n=2m-1，于是有

f

(n)

(0)

(

1)m

1;令n=2m，于是有

f

(n)

(0)

0.2m

(x

)x2m類似地,可得2

!x2cos

x

1

4

!x4

m

(

1)23nln(1

x)

x

x2

x3

(

1)(2m)

!nn

1

x

(x2m

1

)n

(x

)

11

x

1

x

x2

xn

(xn

)(

x

1)(1

x)

1

x

(

1)

x2

(

1)

(

n

1)

xn

(xn)2! n!作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分2.x4x2x

0lim

cos

x

e例4

利用帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式，求極限.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分第三章

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)的性態(tài)與作圖（2）xyoABC問題:如何研究曲線的彎曲方向?xyoy

f(

x)x1x2圖形上任意點的切線位于弧的下方xyoy

f(

x)x1x2圖形上任意點的切線位于弧的上方(1) 若恒有

f

(

x1

x2

)

f(x1

)

f(x2)

,2 2是（向上）凸的;(2) 若恒有

f

(

x1

x2

)

f(x1

)

f(x2)

,2 2是（向上）凹的;例1 求曲線

y

3

x

的凹凸區(qū)間。解1 2(

x

0)

.x

23

3 x

2 9

x

3y

,

y

,當x

<

0時，y

>

0,

所以曲線在(

,

0]上是凹弧；當x

>

0時，y

<

0,

所以曲線在[0,

+

)上是凸弧。于是，曲線的凹區(qū)間為

(

,

0]，凸區(qū)間為[0,

+

)

。0U

(x0)0U

(x0)00U

(x

)例2的凹凸區(qū)間及拐點.求函數(shù)y

x4

2x3

3x

1解

D

:

(

,

)y

4x3

6x2

3,

y

12x(x

1);x(

,0)0(0,1)1(1,

)f

(

x)

00

f(

x)凹的拐點凸的拐點凹的令

y

0,x1得

0,x2

1.作答主觀題10分1.水平漸近線

(平行于

x

軸的漸近線)如果 lim f(x)

A

或

lim f(x)

A (

A為常數(shù))x

x

那么

y

A

就是

y

f

(x)

的一條水平漸近線.例如 y

arctan

x,22y

.有水平漸近線兩條:

y

,2.垂（鉛）直漸近線(垂直于

x

軸的漸近線)0 0那么

x

x0

就是

y

f

(

x)

的一條鉛直漸近線.如果 lim f(x)

或

lim f

(

x)

x

x

x

x

,1(

x

2)(

x

3)x

3.例如 y

x

2,例題xx2+2x

11、求曲線f

(x)

的漸近線.ex2、求曲線f

(x)

x

的漸近線.x

13、求曲線

f

(x)

ln

x

的漸近線.例4

作函數(shù)

f

(

x)

x3

x2

x

1

的圖形.解 D:

(

,

),無奇偶性及周期性.f

(

x)

(3

x

1)(

x

1),f

(

x)

2(3

x

1).令

f

(x)

0,3得駐點

x

1

, x

1.令

f

(

x)

0,3得特殊點

x

1

.補充點

:2 8A

(

1,0), B

(0,1), C

(3

,

5).列表確定函數(shù)升降區(qū)間,

凹凸區(qū)間及極值點與拐點:f

(

x)f

(

x)f(

x)131

3113 31 1(

, )1(3

,1)00x (

,

)3

(1,

)

極大值3227拐點3

271

16( , )極小值0xy

131

o131A

(

1,0)B

(0,1)2

83

5C

( , )例5

作函數(shù)

f

(

x)

4(

x

1)

2

的圖形.解D:x

0,x2非奇非偶函數(shù),且無對稱性.f

(

x)

4(

x

2)

,x4f

(

x)

8(

x

3)

.x3令

f

(x)

0,令

f

(

x)

0,得駐點

x

2,得特殊點

x

3.x2x

x

lim

f

(

x)

lim[4(

x

1)

2]

2, 得水平漸近線

y

2;x2x

0

x

0lim

f

(

x)

lim[4(

x

1)

2]

,得鉛直漸近線

x

0.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:x(

,

3)

3(

3,

2)

2(

2,0)0(0,

)f

(

x)0

不存在f

(

x)0

f(

x)(拐點

3,

26)極值

3點間斷點93,0),補充點

: (1

A

(

1,

2),(1

3,0);C

(2,1).作圖xB

(1,6),yo

311 2

2

3

2

16ABC作答主觀題10分第三章

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6曲率一、曲率的