平面與平面平行高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

平面與平面平行

第八章立體幾何初步課程目標

1．理解平面和平面平行的判定定理及性質(zhì)定理并能運用其解決相關問題.2．通過對平面和平面平行的判定定理及性質(zhì)定理的理解和應用，培養(yǎng)學生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．兩個平面相交平面與平面的位置關系有：兩個平面平行兩個平面平行：兩個平面沒有公共點，即一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面沒有公共點，也就是說，如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行。直線和平面平行的判定是通過“線面平行”

和“線線平行”的相互轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)了空間問題平面化.類似的，把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行或線線平行的問題如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么兩個平面平行。反之，若α中所有直線都平行β，則α∥β

兩個平面平行的問題，可以轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題。若平面α∥β，則α中所有直線都平行β線面平行面面平行轉(zhuǎn)化無限有限轉(zhuǎn)化如何判斷一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行呢？

探究：根據(jù)基本事實的推論2,3，過兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個平面，由此可以想到，如果一個平面內(nèi)有兩條相交或平行直線都與另一個平面平行，是否就能使這兩個平面平行？如圖（1），a和b分別是矩形硬紙板的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙板和桌面平行嗎？如圖（2），c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺與桌面平行嗎？如果一個平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個平面平行，這兩個平面不一定平行。我們借助長方體模型來說明。如圖，在平面A’ADD’內(nèi)畫一條與AA’平行的直線EF,顯然AA’與EF都平行于平面DD’CC’,但這兩條平行直線所在平面AA’DD’與平面DD’CC’相交。如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，這兩個平面是平行的，如圖，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線A’C’,B’D’平行。由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC,BD都與平面A’B’C’D’平行，此時平面ABCD平行平面A’B’C’D’平面與平面平行的判定定理：

符號語言：

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.P①內(nèi)②交③平行線面平行面面平行圖形語言：平面與平面平行的判定定理要證明面面平行，由平面與平面平行的判定定理知，需在一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平行的直線，要證明線面平行，需根據(jù)直線與平面平行的判定定理，在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應遵循“先找后作”的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再做輔助線平面與平面平行的判定定理的推論圖形語言：符號語言：

如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行.練習：判斷下列命題是否正確，并說明理由．（1）若平面內(nèi)的兩條直線分別與平面平行，則

與平行；（2）若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，則

與平行；××（3）、一個平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于平面，則與平行。（4）、如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行?！獭蹋?）如果一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行×例1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面C1BD證明：因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四邊形，∴D1A∥C1B，又D1A

平面C1BD,CB平面C1BD.由直線與平面平行的判定,可知同理

D1B1∥平面C1BD,又D1A∩D1B1=D1,所以，平面AB1D1∥平面C1BD。D1A∥平面C1BD，練習.如圖三棱錐P-ABC，D,E,F分別是棱PA，PB，PC上的點，PD/PA=PE/PB=PF/PC求證：平面DEF//平面ABC證明：因為PD/PA=PE/PB,所以DE//AB.又因為DE不在平面ABC內(nèi)，所以DE//平面ABC，同理EF//平面ABC。又因為DE∩EF=E,所以，平面EDF//平面ABC.練習.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,E,F分別為棱PC,CD的中點，AB=3,CD=6,證明：平面PAD//平面BEF證明：因為F為CD的中點且CD=2AB，所以DF=AB,因為AB//CD，所以AB//DF,所以四邊形ABFD為平行四邊形。所以BF//AD.在△PDC中因為E,F分別為PC,CD的中點所以EF//PD.因為EF∩BF=F,PD∩AD=D所以平面PAD//平面BEF總結證明兩個平面平行基本思路線線平行線面平行面面平行證明兩個平面平行一般步驟一：在一個平面內(nèi)找出兩條相交直線二：證明兩條相交直線分別平行于另一個平面三：利用判定定理得結論思考：如果兩個平面平行，會有哪些結論呢？探究一：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有什么位置關系？答：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。探究二：如果兩個平面平行，兩個平面內(nèi)的直線有什么位置關系？答：借助長方體模型探究得出結論，如果兩個平面平行，那么兩個平面內(nèi)的直線要么是異面直線，要么是平行直線。答：平行，證明如下。如圖平面α//β，平面γ分別與α，β相交于直線a,b因為α∩γ=a,β∩γ=b所以∴a，b沒有公共點又a,b同在平面γ內(nèi)∴a//b

探究三：當?shù)谌齻€平面和兩個平行平面都相交時，兩條交線有什么關系？為什么？面面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．

符號語言：圖形語言：

即：兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.例2.求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等證明：如圖，α//β，AB//CD,且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證AB=CD證明：過平行線AB,CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD∵α//β∴BD//AC又AB//CD∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD性質(zhì)定理應用的注意事項練習解析因為D,E,F分別為PA,PB,PC的中點,所以DE∥AB,又DE?平面ABC,AB?平面ABC,所以DE∥平面ABC,

同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性質(zhì)定理得,NF∥MC.

應用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟2、夾在兩個平行平面內(nèi)的兩條平行線段相等

4、兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.5、過平面外一點有且只有一個平面與這個平面平行；兩平面平行的相關性質(zhì)三種平行關系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關系如圖所示例1如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分別是BC,C1D1,AD1,BD的中點.(1)求證:PQ∥平面DCC1D1;

(2)求PQ的長;(3)求證:EF∥平面BB1D1D.法二取AD的中點G,連接PG,GQ,則有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,所以平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ?平面PGQ所以PQ∥平面DCC1D1.線線平行線面平行面面平行線面平行解析(1)法一如圖,連接AC,CD1.因為P,Q分別是AD1,AC的中點,所以PQ∥CD1又PQ?平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.1、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ與平面PAO平行?練習解析如圖,設平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,點M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.假設平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1