2024屆江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué)高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué)高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．3．設(shè)集合，集合，則=（）A． B． C． D．R4．已知，，，，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．6．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，.若分別是棱上的點(diǎn)，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（，）的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．10．2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86，乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1211．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．周期為 D．在上是增函數(shù)12．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則_____.14．設(shè)常數(shù)，如果的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為-80，那么______.15．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問(wèn)積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說(shuō)：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方高），則由此可推得圓周率的取值為_(kāi)_______.16．若變量，滿足約束條件則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(zhǎng)（單位：）分別為隨機(jī)變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（Ⅰ）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長(zhǎng)在區(qū)間的概率；（Ⅱ）記該地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來(lái)近似描述的分布，請(qǐng)你根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長(zhǎng)在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫(xiě)出計(jì)算表達(dá)式即可）.注:若，則，，.19．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線上一點(diǎn)，且直線、的斜率的積為．證明：點(diǎn)在軸上．21．（12分）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，促進(jìn)垃圾分類(lèi)，某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類(lèi)，從我做起”的知識(shí)問(wèn)卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問(wèn)卷進(jìn)行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績(jī)大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)？男女總計(jì)合格不合格總計(jì)（Ⅱ）從上述樣本中，成績(jī)?cè)?0分以下（不含60分）的男女學(xué)生問(wèn)卷中任意選2個(gè)，記來(lái)自男生的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；（2）當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S是否為整數(shù)？若是，請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2且與底面垂直，因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體外接球就是該三棱柱的外接球，長(zhǎng)方體對(duì)角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點(diǎn)：集合的運(yùn)算4、D【解析】

令，求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時(shí)，令，求導(dǎo)，，故單調(diào)遞增：∴，當(dāng)，設(shè)，，又，，即，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.5、C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對(duì)稱(chēng)軸，得出，求出的最小值與對(duì)應(yīng)的，寫(xiě)出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)?，所以（?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸處取得最值，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.8、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1．考點(diǎn)：程序框圖．9、A【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10、D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻螅幵谧钪虚g的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.11、D【解析】

當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；f(x)得周期，當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項(xiàng).12、C【解析】

令，求出在的對(duì)稱(chēng)軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對(duì)稱(chēng)軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱(chēng)軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：，令，解得.∴，解得.故答案為：-2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方高）,可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.16、9【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形，即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立，解得，即，所以最大值為9.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）分類(lèi)討論去絕對(duì)值號(hào)，即可求解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分別求函數(shù)與的最小值，根據(jù)能同時(shí)成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),不等式可化為,得，無(wú)解；②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上，不等式的解集為（2）由題意知在R上恒成立，所以令，則當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，且又所以當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取得最小值.所以所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法，分類(lèi)討論，函數(shù)的最值，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的，所以，代入數(shù)值運(yùn)算即可；（Ⅱ）可判斷均值應(yīng)為，再結(jié)合（1）和題干備注信息可得，進(jìn)而求解；（Ⅲ）求得，該分布符合二項(xiàng)分布，故，列出分布列，計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，結(jié)合即可求解；【詳解】（Ⅰ）記這只蜻蜓的翼長(zhǎng)為.因?yàn)榉N蜻蜓和種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量大致相等，所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于兩種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量相等，的方差也相等，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）設(shè)蜻蜓的翼長(zhǎng)為，則.由題有，所以.因此的分布列為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解，二項(xiàng)分布求解離散型隨機(jī)變量分布列和期望，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時(shí)，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）的結(jié)論對(duì)分類(lèi)討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，則，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個(gè)零點(diǎn)為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.20、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，且，，求出直線的斜率，進(jìn)而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，，．所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則，所以點(diǎn)在軸上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.21、（Ⅰ）填表見(jiàn)解析，有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)；（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析，【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算得到答案.（Ⅱ），計(jì)算，，，得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可得：男女總計(jì)合格101626不合格10414總計(jì)202040，故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果””有關(guān).（Ⅱ）從莖葉圖可知，成績(jī)?cè)?0分以下（不含60分