直擊2024年高考-高三數學函數題型（全國版） (二)

函數題型專練

【函數的定義域】

【例1】函數段)=菽力+產’的定義域為()

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【答案】B

【解析】要使函數有意義，

x-\~1>0,

則需上+1W1,

、4—N20,

解得一1<XW2且x#0,

所以xG(—1,0)U(0,2].

所以函數的定義域為(-1,0)u(0,2].

【復合函數的定義域】

1

【例2】函數兀r)=卜ln(3x-D的定義域為()

7]-4x2

A.&

D.昌,i

【答案】B

【解析】要使函數-X)=后在+ln(3x—1)有意義,

【函數的解析式】

【例3】已知/?+1)=坨方則/)的解析式為

2

【答案】於）=ig17（x>i）

-2

【解析】令[+1=31),

貝”尸件2，

t—1

2

所以yw=ig=JOD,

2

所以4x)=lgj](x>l).

【分段函數】

（、

【例4】已知危）=[c"os7i1X）,+i,Q1,則噌+的4值為（）

A.gB.-；C.—1D.1

【答案】D

【解析】痣=倡—1）+1=痣+1

【求具體函數的單調區(qū)間】

【例5】（多選）下列函數在（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y—ex—e~xB.y—\x2—2x\

C.y=x+cosxD.y=\lx2+x—2

【答案】AC

【解析】..?y=ex與y=—為R上的增函數，

e"為R上的增函數，故A正確；

由y=右一2R的圖象知，故B不正確；

對于選項C,y'=1—sinx20,

.*.y=x+cosx在R上為增函數，故C正確；

2的定義域為（一8,—2］U［1,+8）,故D不正確.

【判斷或證明函數的單調性】

【例6］試討論函數兀0=昌6/0）在（一1,1）上的單調性.

【解析】方法一設一1<沏<12<1,

危尸代名|=小+乙），

八為）一7te）=a（l+占一。（1+4

6Z（X2-X1）

（沏―1）（X2-1）'

由于一1<X1<X2<1,

所以％2—Xl>0,X1—1<0,X2—1<0,

故當〃>0時，孤羽）一人元2）〉0,即加1）次X2）,函數人幻在（一1,1）上單調遞減;

當a<0時，月為）一/（%2）<0,

即大X1）勺（X2）,函數於）在（一1,1）上單調遞增.

士旺一,（、3）’（x—l）—QX（X—1）

方法一f（%）―/Y—1、2

〃(％—1)—OX

一（x-1）2—（x-1）2,

當心0時，,（x）<0,函數人x）在（一1,1）上單調遞減；

當a<0時，/（x）>0,函數4x）在（一1,1）上單調遞增.

【比較函數值的大小】

【例7］已知函數次x）為R上的偶函數，對任意尤1，%2^（—8,0）,均有（xi—尬）［/（a）一五尤2）］<0成立,

若a=f（lnp）,b=@）,。=八/），則a,b,c的大小關系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】??,對任意愈￡（—8,0）,

均有（%1—x2）區(qū)的）—於2）］<0成立，

J此時函數在區(qū)間（一8,0）上單調遞減,

??7U)是偶函數，

.?.當Xd(O,+8)時，於)單調遞增,

￡

又1工)=戶在%￡(0,+8)上單調遞增,

l<e^<3^,

又0<lnA/2<1,

￡j_

Iny[2<e'<3’，

Cj_\/1A

3§>f/次山仙),

k)\)

即a<c<b.

【求函數的最值】

【例8】函數y="某的最大值為________.

yx2+5

【答案】|2

【解析】令逸］2+4=九則t、2,

,..X2=,2-4,;,Y=-^-=^

設h(t)=t+-9

則力⑺在［2,+8)上為增函數,

5

??/z?)min=/z(2)=,

1?

??,戶5=善=0時取等號).

2

2

即y的最大值為方

【解不等式】

【例9】已知函數於)=d,—log2(x+2),若加一2)>3,則a的取值范圍是

【答案】(0,1)

八x）在定義域（一2,十8）上是減函數,

且負—1）=3,

由段―2）>3,得%—2）次—1）,

(a-2<—1,

-2>—2,

解得0<〃vl.

【求參數的取值范圍】

爐，x21,

且滿足對任意的實數XIWX2都有彗三詈>。成立,則

[例10]函數段)=<rd\

1^4—^Jx+2,x<\,

實數。的取值范圍是（）

A.[4.8)B.(4,8)C.(1,8]D.(1,8)

【答案】A

cf,1,

（g滿足對任意的實數xiwx2都a，兒?>o,

【解析】函數危）=

(4—助工+2,X<1xi%2

所以函數作尸[（4-/+2,X<1

是R上的增函數,

a

則由指數函數與一次函數的單調性可知應滿足j

。24—T+2,

<乙

解得4Wa<8,

所以實數。的取值范圍為[4,8）.

【判斷函數的奇偶性】

【例11】判斷下列函數的奇偶性:

（1次r）=、3—/+出2—3；

[N+x,冗<0,

（2m）=_

[XIXjx>0；

(3VU)=log2(A-+^/x2+l).

［3一12三0,

解(1)由，.〔‘得/=3,解得x=±V5,

〔片一330,

即函數八處的定義域為｛—4，?。?

從而fix)—yjs—x1+yjx1—3=0.

因此五一x)=-/U)且K-x)=Xx),

所以函數/(x)既是奇函數又是偶函數.

(2)顯然函數於)的定義域為(一8,0)U(0,+8),關于原點對稱.

???當x<0時，-x>0,

則X—X)=—(—X)2—X

=—X2—X=—fix)；

當x>0時，一x<0,

則J(—X)—(—X)2—X=:X1—X=—fix)；

綜上可知，對于定義域內的任意X,總有五一x)=一九￥)成立，

函數應￥)為奇函數.

(3)顯然函數1元)的定義域為R,

=log2（^/X2+l—X）

=log2(>>/x2+l+x)~l

=-log2(^/x2+l+x)=—fix),

故/(x)為奇函數.

【函數奇偶性的應用】

【例12】函數/(x)=x(e*+er)+l在區(qū)間［―2,2］上的最大值與最小值分別為〃，N,則M+N的值為

()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【解析】依題意，令g(x)=x(e*+er),

顯然函數g(x)的定義域為R,

則g(-x)=-x(eTx+ex)=—g(x),

即函數g(x)是奇函數，

因此，函數g(x)在區(qū)間［—2,2］上的最大值與最小值的和為0,而?r)=g(%)+l,

則有Af=g(X)max+l,N=g(X)min+l,

于是得M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2,

所以M+N的值為2.

【函數的周期性】

【例13】已知函數1x)是定義在R上的奇函數，對任意的實數x,式工一2)=?x+2),當工￡(0,2)時,

加)=/，則/(券)等于()

911

--

--C

A.4B.

【答案】A44-

【解析】由八x—2)=黃尤+2),知y=Ax)的周期7=4,

又7U)是定義在R上的奇函數，

【函數的對稱性】

【例14】已知函數八尤)的定義域為R,對任意尤都有式2+x)=/(2—x),且八—x)=/(x),則下列結論

正確的是()

A.小)的圖象關于直線x=2對稱

B.的圖象關于點(2,0)對稱

C.的周期為4

D.尸犬尤+4)為偶函數

【答案】ACD

【解析】'：fi2+x)=fi,2~x),則式x)的圖象關于直線x=2對稱，故A正確，B錯誤；

V函數式x)的圖象關于直線x=2對稱，

則X-x)=/(x+4),又4-x)=/(x),

.*.r=4,故C正確；

：T=4且式x)為偶函數，故y=/(x+4)為偶函數，故D正確.

【函數周期性與奇偶性結合】

【例15］已知函數f：，?的定義域為R.當?。時，jI；當-1；時,

/<X);當時，/(才+g)(工一g),則/(6)=().

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D;

【解析】因為當，:時，

所以/1"二了:,「，11,

所以當r；?：時，周期為1,

故有/(6)=/⑴，

因為當1?時，,13，一，

所以當T'''I時，『：…是奇函數，

故而/(6)=/(1)=/(1),

因為當/1?時，，，?r'I,

所以fI112,

則有，山?22.

故選I).

【函數對稱性與奇偶性綜合】

【例16】已知/：是定義域為I-、??、的奇函數，滿足一。1-」若〃1)工2,則

/i：lH/i：2h/(3H--1/(50)=().

A.—541B.(|C.2D.7()

【答案】C;

【解析】因為是定義域為|'.，、」的奇函數，且fI--』1，一，

所以「.，「=/(r-1),

所以『；；-/*M.1t.1

所以/-I,

因此/⑴+/(2)+/(3)+…；山12711)4-/(2)+/(3)+/(4)|4-/(1)4-/(2),

因為，幣=-/(1)，/(4)=-/(2),

所以/⑴4/(21t/l3iI/(4)=0,

因為/，，/：21--/i2),

所以f2iU，

從而/⑴+/(2)"(3)?4/(50)/I2,

故選(’.

【函數對稱性與單調性綜合】

【例17］已知函數jc對定義域內任意J都滿足且1門在工，'，上單調遞減,

則〃<117.'?的大小關系是（）.

A.a>b><,B.b>c>aC.<>b>aD.b>a>c

【答案】D;

【解析】根據題意：/i.rl/H.1,

/r）關于直線」二：，對稱，

又/（工）在艮30）上單調遞減,

故了,，）在一X.3I上單調遞增.

73>3^4>I?3'“，

即*.-（■,

故答案選I）.

【函數對稱性與周期性綜合】

【例18］已知定義在R上的函數/Gr）的圖象關于點（-:.（））對稱，且滿足

/"）=—/（了?2），/（T）=l?/（0）=-2,則八1;的值為（).

A.B.C.0D.1

【答案】D；

【解析】由函數f「的圖象關于點(對稱可知，…「一(一"1).

又/⑺=-/(」”’：)，則/(，'；)=/(,’；).

故/"+：?=/((工+2)+57

所以，/，，是以:，為周期的偶函數.

從而，/(1)=/(1)=15/(2)=/(-1+3)=/(-1)=1,/(3)=/(0)=-2.

故。山/⑵/.'"II；=心。1，，，，八不門，=yjinr.：1111.

【鬲函數的圖象與性質】

【例19］若幕函數y=xr,y=/與y=非在第一象限內的圖象如圖所示，則〃?與〃的取值情況為

()

A.-1<m<O<n<1B.—l<n<0<m<2

1

C.—1<m<O<n<^D.—l<n<O<m<l

【答案】D

【解析】寡函數y=K,當a>0時，y=V在(0,+8)上單調遞增，且0<a<l時，圖象上凸,

0<m<}.

當a<0時，>=都在(0,+8)上單調遞減.

不妨令x=2,由圖象得2一1<2",則一1<麻0.

綜上可知，-1<〃<0<機<1.

【二次函數的解析式】

【例20］若函數加)=(x+a)(bx+2a)(a,。^2滿足條件八一號=加)，定義域為R,值域為(一8,

4］,則函數解析式月入)=.

【答案】一2H+4

［解析】火x)=(x+2a)

=bx2+(2a+ab)x+2a2.

??"(一元)=加)，

??2a+ab=0,

??fix)—fex2+2d2.

??VU)的定義域為R，值域為(一8,4］,

：.b<0,且2/=4,

:?b=12,=-2x2+4.

【二次函數的單調性與最值】

【例21］已知函數於)=函一比一1.

(1)若4工)在區(qū)間(一1,2)上不單調，求實數t的取值范圍;

(2)若x^［—1,2］,求於)的最小值g?).

【解析】於)=/—比—1=1%—9―1一彳

(1)依題意，一1<32,

解得一2</<4,

???實數看的取值范圍是(一2,4).

(2)①當即時，女)在［—1,2］上單調遞減,

**.y(X)min=fl2)—3—2t.

②當一14<2,即一2<"4時,

③當—1,即w—2時，式X)在［—1,2］上單調遞增,

???AA-)min=X-l)=/.

〃t,—2,

綜上有g(r)=j—1一不一2<r<4,

<3—2t,%24.

【指數黑的運算】

GY：J(4"T)3

［例22］)———U---------------r(?>0,b>0)=________.

⑷(0.1尸.(/.疔3,

【答案】|

33_3

【解析】原式=馬誓寫=|.

【指數函數的圖象及應用】

【例23】已知實數a,6滿足等式2021。=2022,，下列等式可以成立的是()

A.a—b—OB.a<b<0

C.Q<a<bD.0<b<a

【答案】ABD

【解析】如圖，觀察易知，a<6<0或0<6<a或。=6=0,故選ABD.

【比較指數式的大小】

【例24］若。=0.3。7,b=0J°\c=1.20-3,則a,b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】,函數y=0.3*在R上是減函數，

.,.O<O.3o-7<O.3o-3<O.3°=l,

又；嘉函數>=心3在(0,+8)上單調遞增，

0.3<0.7,

.,.0<0,3°-3<0,7°-3,

/.0<a<Z?<l,

而函數丫=1.2￡是R上的增函數，

/?c=1.20-3>1.20=l,/.c>b>a.

【指數方程或不等式】

【例25]已知>=牛一3-2工+3的值域為[1,7],則x的取值范圍是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,1）U[2,4]D.（一8,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】Vy=4J:-3.2x+3的值域為[1,7],

...lW4x—3-2x+3W7.

...—IWZ'WI或2W2y.

；.xW0或1WXW2.

【指數函數性質的綜合應用】

【例26]已知函數加）=2叱叫根為常數），若危）在區(qū)間[2,+8）上單調遞增，則根的取值范圍是

【答案】（-8,4]

ryi\m

【解析】令t=\2x—m\,則，=|2尤一7川在區(qū)間[另，+8）上單調遞增，在區(qū)間（-8,上單調遞

減.而尸2是增函數，所以要使函數於）=2-詞在[2,+8）上單調遞增，則有齊2,

即所以機的取值范圍是（-00,4].

【對數式的運算】

【例27】設2"=5"=m，且[+\=2,則相等于（）

A.V10B.10C.20D.100

【答案】A

【解析】2。=50=加，

Iog2m—a,logsm=b,

1

+-

b由+記嬴=l°g/+l°gm5

=logm10=2,

/2=10,

...根二寸訪（舍zn=—A/IO）.

【對數函數的圖象及應用】

【例28]已知函數段)=loga(2]+8—1)(〃>0,且〃W1)的圖象如圖所示，貝lj〃，b滿足的關系是()

A.0<。一i<b<l

C.0<。1<〃<1D.0<a}<b{<1

【答案】A

【解析】由函數圖象可知，於)為增函數，故〃>1.函數圖象與y軸的交點坐標為(0,log向，由函

數圖象可知一lvlogab<0,解得！<Z?<1.綜上有0<^<Z?<l.

【比較指數式、對數式大小】

【例29]設。=log3e,b=eL5,c=logj,則()

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【角星析]c=log1—=log34>log3e=a.

34

又c—Iog34<logs9=2,b=e15>2,

a<c<b.

【解對數方程不等式】

【例30]若log/a+lklogaQ/bcOgX),a#l),則實數a的取值范圍是

【答案】Q,1)

【解析】依題意10ga(〃+1)<10ga(2/)<10ga1,

[a+l<2y[a<l[〃+l>2\[a>l,

解得*a<l.

【對數性質的應用】

【例31】設函數1x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|,則穴尤)()

A.是偶函數，且在+8)上單調遞增

B.是奇函數，且在(一；，上單調遞減

C.是偶函數，且在(一8,一§上單調遞增

D.是奇函數，且在(一8,一§上單調遞減

【答案】D

【解析】y(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|的定義域為卜卜wgj

又黃一無)=ln|—2%+1|—ln|-2x—l|

=ln|2x—1|—ln|2x+11=—fix),

工段)為奇函數,故排除A,C.

當xe(—8,一g時，

—2x-l

Ax)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln

，巖春)，

；y=l+S■在(一8,一^上單調遞減，

由復合函數的單調性可得大了)在(一8,一，上單調遞減.

【函數零點所在區(qū)間的判定】

【例32】(多選)函數4x)=eX—X—2在下列哪個區(qū)間內必有零點()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】AD

【解析】八一2)=*>0,/-1)=1-1<0,

/0)=-1<0,加)=e—3<0,

/2)=e2-4>0,

因為"一2)次-1)<0,八1)?火2)<0,

所以八x)在(一2,—1)和(1,2)內存在零點.

【函數零點個數的判定】

【例33］若函數y=/3(xGR)滿足於+1)=一危)，且正［—1,1］時，?=1-%2,已知函數g(x)=

［|lgx］,x>0,

則函數2)=危)一g(x)在區(qū)間［―6,6］內的零點個數為()

e，x<o,

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【解析】因為危+1)=—段)，

所以函數y=Ax)(x?R)是周期為2函數，

因為xd［—1,1］時，八尤)=1—N,

所以作出它的圖象，則y=/(x)的圖象如圖所示.(注