直擊2024年高考-高三數(shù)學(xué)函數(shù)題型（全國版） (二)

函數(shù)題型專練

【函數(shù)的定義域】

【例1】函數(shù)段)=菽力+產(chǎn)’的定義域?yàn)?)

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【答案】B

【解析】要使函數(shù)有意義，

x-\~1>0,

則需上+1W1,

、4—N20,

解得一1<XW2且x#0,

所以xG(—1,0)U(0,2].

所以函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)u(0,2].

【復(fù)合函數(shù)的定義域】

1

【例2】函數(shù)兀r)=卜ln(3x-D的定義域?yàn)?)

7]-4x2

A.&

D.昌,i

【答案】B

【解析】要使函數(shù)-X)=后在+ln(3x—1)有意義,

【函數(shù)的解析式】

【例3】已知/?+1)=坨方則/)的解析式為

2

【答案】於）=ig17（x>i）

-2

【解析】令[+1=31),

貝”尸件2，

t—1

2

所以yw=ig=JOD,

2

所以4x)=lgj](x>l).

【分段函數(shù)】

（、

【例4】已知危）=[c"os7i1X）,+i,Q1,則噌+的4值為（）

A.gB.-；C.—1D.1

【答案】D

【解析】痣=倡—1）+1=痣+1

【求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【例5】（多選）下列函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y—ex—e~xB.y—\x2—2x\

C.y=x+cosxD.y=\lx2+x—2

【答案】AC

【解析】..?y=ex與y=—為R上的增函數(shù)，

e"為R上的增函數(shù)，故A正確；

由y=右一2R的圖象知，故B不正確；

對于選項(xiàng)C,y'=1—sinx20,

.*.y=x+cosx在R上為增函數(shù)，故C正確；

2的定義域?yàn)椋ㄒ?,—2］U［1,+8）,故D不正確.

【判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性】

【例6］試討論函數(shù)兀0=昌6/0）在（一1,1）上的單調(diào)性.

【解析】方法一設(shè)一1<沏<12<1,

危尸代名|=小+乙），

八為）一7te）=a（l+占一。（1+4

6Z（X2-X1）

（沏―1）（X2-1）'

由于一1<X1<X2<1,

所以％2—Xl>0,X1—1<0,X2—1<0,

故當(dāng)〃>0時，孤羽）一人元2）〉0,即加1）次X2）,函數(shù)人幻在（一1,1）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a<0時，月為）一/（%2）<0,

即大X1）勺（X2）,函數(shù)於）在（一1,1）上單調(diào)遞增.

士旺一,（、3）’（x—l）—QX（X—1）

方法一f（%）―/Y—1、2

〃(％—1)—OX

一（x-1）2—（x-1）2,

當(dāng)心0時，,（x）<0,函數(shù)人x）在（一1,1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時，/（x）>0,函數(shù)4x）在（一1,1）上單調(diào)遞增.

【比較函數(shù)值的大小】

【例7］已知函數(shù)次x）為R上的偶函數(shù)，對任意尤1，%2^（—8,0）,均有（xi—尬）［/（a）一五尤2）］<0成立,

若a=f（lnp）,b=@）,。=八/），則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】??,對任意愈￡（—8,0）,

均有（%1—x2）區(qū)的）—於2）］<0成立，

J此時函數(shù)在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞減,

??7U)是偶函數(shù)，

.?.當(dāng)Xd(O,+8)時，於)單調(diào)遞增,

￡

又1工)=戶在%￡(0,+8)上單調(diào)遞增,

l<e^<3^,

又0<lnA/2<1,

￡j_

Iny[2<e'<3’，

Cj_\/1A

3§>f/次山仙),

k)\)

即a<c<b.

【求函數(shù)的最值】

【例8】函數(shù)y="某的最大值為________.

yx2+5

【答案】|2

【解析】令逸］2+4=九則t、2,

,..X2=,2-4,;,Y=-^-=^

設(shè)h(t)=t+-9

則力⑺在［2,+8)上為增函數(shù),

5

??/z?)min=/z(2)=,

1?

??,戶5=善=0時取等號).

2

2

即y的最大值為方

【解不等式】

【例9】已知函數(shù)於)=d,—log2(x+2),若加一2)>3,則a的取值范圍是

【答案】(0,1)

八x）在定義域（一2,十8）上是減函數(shù),

且負(fù)—1）=3,

由段―2）>3,得%—2）次—1）,

(a-2<—1,

-2>—2,

解得0<〃vl.

【求參數(shù)的取值范圍】

爐，x21,

且滿足對任意的實(shí)數(shù)XIWX2都有彗三詈>。成立,則

[例10]函數(shù)段)=<rd\

1^4—^Jx+2,x<\,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[4.8)B.(4,8)C.(1,8]D.(1,8)

【答案】A

cf,1,

（g滿足對任意的實(shí)數(shù)xiwx2都a，兒?>o,

【解析】函數(shù)危）=

(4—助工+2,X<1xi%2

所以函數(shù)作尸[（4-/+2,X<1

是R上的增函數(shù),

a

則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性可知應(yīng)滿足j

。24—T+2,

<乙

解得4Wa<8,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[4,8）.

【判斷函數(shù)的奇偶性】

【例11】判斷下列函數(shù)的奇偶性:

（1次r）=、3—/+出2—3；

[N+x,冗<0,

（2m）=_

[XIXjx>0；

(3VU)=log2(A-+^/x2+l).

［3一12三0,

解(1)由，.〔‘得/=3,解得x=±V5,

〔片一330,

即函數(shù)八處的定義域?yàn)椋?，?。?

從而fix)—yjs—x1+yjx1—3=0.

因此五一x)=-/U)且K-x)=Xx),

所以函數(shù)/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)顯然函數(shù)於)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱.

???當(dāng)x<0時，-x>0,

則X—X)=—(—X)2—X

=—X2—X=—fix)；

當(dāng)x>0時，一x<0,

則J(—X)—(—X)2—X=:X1—X=—fix)；

綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意X,總有五一x)=一九￥)成立，

函數(shù)應(yīng)￥)為奇函數(shù).

(3)顯然函數(shù)1元)的定義域?yàn)镽,

=log2（^/X2+l—X）

=log2(>>/x2+l+x)~l

=-log2(^/x2+l+x)=—fix),

故/(x)為奇函數(shù).

【函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

【例12】函數(shù)/(x)=x(e*+er)+l在區(qū)間［―2,2］上的最大值與最小值分別為〃，N,則M+N的值為

()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【解析】依題意，令g(x)=x(e*+er),

顯然函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

則g(-x)=-x(eTx+ex)=—g(x),

即函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，

因此，函數(shù)g(x)在區(qū)間［—2,2］上的最大值與最小值的和為0,而?r)=g(%)+l,

則有Af=g(X)max+l,N=g(X)min+l,

于是得M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2,

所以M+N的值為2.

【函數(shù)的周期性】

【例13】已知函數(shù)1x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x,式工一2)=?x+2),當(dāng)工￡(0,2)時,

加)=/，則/(券)等于()

911

--

--C

A.4B.

【答案】A44-

【解析】由八x—2)=黃尤+2),知y=Ax)的周期7=4,

又7U)是定義在R上的奇函數(shù)，

【函數(shù)的對稱性】

【例14】已知函數(shù)八尤)的定義域?yàn)镽,對任意尤都有式2+x)=/(2—x),且八—x)=/(x),則下列結(jié)論

正確的是()

A.小)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

B.的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱

C.的周期為4

D.尸犬尤+4)為偶函數(shù)

【答案】ACD

【解析】'：fi2+x)=fi,2~x),則式x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故A正確，B錯誤；

V函數(shù)式x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

則X-x)=/(x+4),又4-x)=/(x),

.*.r=4,故C正確；

：T=4且式x)為偶函數(shù)，故y=/(x+4)為偶函數(shù)，故D正確.

【函數(shù)周期性與奇偶性結(jié)合】

【例15］已知函數(shù)f：，?的定義域?yàn)镽.當(dāng)?。時，jI；當(dāng)-1；時,

/<X);當(dāng)時，/(才+g)(工一g),則/(6)=().

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D;

【解析】因?yàn)楫?dāng)，:時，

所以/1"二了:,「，11,

所以當(dāng)r；?：時，周期為1,

故有/(6)=/⑴，

因?yàn)楫?dāng)1?時，,13，一，

所以當(dāng)T'''I時，『：…是奇函數(shù)，

故而/(6)=/(1)=/(1),

因?yàn)楫?dāng)/1?時，，，?r'I,

所以fI112,

則有，山?22.

故選I).

【函數(shù)對稱性與奇偶性綜合】

【例16】已知/：是定義域?yàn)镮-、??、的奇函數(shù)，滿足一。1-」若〃1)工2,則

/i：lH/i：2h/(3H--1/(50)=().

A.—541B.(|C.2D.7()

【答案】C;

【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)閨'.，、」的奇函數(shù)，且fI--』1，一，

所以「.，「=/(r-1),

所以『；；-/*M.1t.1

所以/-I,

因此/⑴+/(2)+/(3)+…；山12711)4-/(2)+/(3)+/(4)|4-/(1)4-/(2),

因?yàn)?，?-/(1)，/(4)=-/(2),

所以/⑴4/(21t/l3iI/(4)=0,

因?yàn)?，，/：21--/i2),

所以f2iU，

從而/⑴+/(2)"(3)?4/(50)/I2,

故選(’.

【函數(shù)對稱性與單調(diào)性綜合】

【例17］已知函數(shù)jc對定義域內(nèi)任意J都滿足且1門在工，'，上單調(diào)遞減,

則〃<117.'?的大小關(guān)系是（）.

A.a>b><,B.b>c>aC.<>b>aD.b>a>c

【答案】D;

【解析】根據(jù)題意：/i.rl/H.1,

/r）關(guān)于直線」二：，對稱，

又/（工）在艮30）上單調(diào)遞減,

故了,，）在一X.3I上單調(diào)遞增.

73>3^4>I?3'“，

即*.-（■,

故答案選I）.

【函數(shù)對稱性與周期性綜合】

【例18］已知定義在R上的函數(shù)/Gr）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-:.（））對稱，且滿足

/"）=—/（了?2），/（T）=l?/（0）=-2,則八1;的值為（).

A.B.C.0D.1

【答案】D；

【解析】由函數(shù)f「的圖象關(guān)于點(diǎn)(對稱可知，…「一(一"1).

又/⑺=-/(」”’：)，則/(，'；)=/(,’；).

故/"+：?=/((工+2)+57

所以，/，，是以:，為周期的偶函數(shù).

從而，/(1)=/(1)=15/(2)=/(-1+3)=/(-1)=1,/(3)=/(0)=-2.

故。山/⑵/.'"II；=心。1，，，，八不門，=yjinr.：1111.

【鬲函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

【例19］若幕函數(shù)y=xr,y=/與y=非在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則〃?與〃的取值情況為

()

A.-1<m<O<n<1B.—l<n<0<m<2

1

C.—1<m<O<n<^D.—l<n<O<m<l

【答案】D

【解析】寡函數(shù)y=K,當(dāng)a>0時，y=V在(0,+8)上單調(diào)遞增，且0<a<l時，圖象上凸,

0<m<}.

當(dāng)a<0時，>=都在(0,+8)上單調(diào)遞減.

不妨令x=2,由圖象得2一1<2",則一1<麻0.

綜上可知，-1<〃<0<機(jī)<1.

【二次函數(shù)的解析式】

【例20］若函數(shù)加)=(x+a)(bx+2a)(a,。^2滿足條件八一號=加)，定義域?yàn)镽,值域?yàn)?一8,

4］,則函數(shù)解析式月入)=.

【答案】一2H+4

［解析】火x)=(x+2a)

=bx2+(2a+ab)x+2a2.

??"(一元)=加)，

??2a+ab=0,

??fix)—fex2+2d2.

??VU)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?一8,4］,

：.b<0,且2/=4,

:?b=12,=-2x2+4.

【二次函數(shù)的單調(diào)性與最值】

【例21］已知函數(shù)於)=函一比一1.

(1)若4工)在區(qū)間(一1,2)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍;

(2)若x^［—1,2］,求於)的最小值g?).

【解析】於)=/—比—1=1%—9―1一彳

(1)依題意，一1<32,

解得一2</<4,

???實(shí)數(shù)看的取值范圍是(一2,4).

(2)①當(dāng)即時，女)在［—1,2］上單調(diào)遞減,

**.y(X)min=fl2)—3—2t.

②當(dāng)一14<2,即一2<"4時,

③當(dāng)—1,即w—2時，式X)在［—1,2］上單調(diào)遞增,

???AA-)min=X-l)=/.

〃t,—2,

綜上有g(shù)(r)=j—1一不一2<r<4,

<3—2t,%24.

【指數(shù)黑的運(yùn)算】

GY：J(4"T)3

［例22］)———U---------------r(?>0,b>0)=________.

⑷(0.1尸.(/.疔3,

【答案】|

33_3

【解析】原式=馬誓寫=|.

【指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】

【例23】已知實(shí)數(shù)a,6滿足等式2021。=2022,，下列等式可以成立的是()

A.a—b—OB.a<b<0

C.Q<a<bD.0<b<a

【答案】ABD

【解析】如圖，觀察易知，a<6<0或0<6<a或。=6=0,故選ABD.

【比較指數(shù)式的大小】

【例24］若。=0.3。7,b=0J°\c=1.20-3,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】,函數(shù)y=0.3*在R上是減函數(shù)，

.,.O<O.3o-7<O.3o-3<O.3°=l,

又；嘉函數(shù)>=心3在(0,+8)上單調(diào)遞增，

0.3<0.7,

.,.0<0,3°-3<0,7°-3,

/.0<a<Z?<l,

而函數(shù)丫=1.2￡是R上的增函數(shù)，

/?c=1.20-3>1.20=l,/.c>b>a.

【指數(shù)方程或不等式】

【例25]已知>=牛一3-2工+3的值域?yàn)閇1,7],則x的取值范圍是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,1）U[2,4]D.（一8,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】Vy=4J:-3.2x+3的值域?yàn)閇1,7],

...lW4x—3-2x+3W7.

...—IWZ'WI或2W2y.

；.xW0或1WXW2.

【指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例26]已知函數(shù)加）=2叱叫根為常數(shù)），若危）在區(qū)間[2,+8）上單調(diào)遞增，則根的取值范圍是

【答案】（-8,4]

ryi\m

【解析】令t=\2x—m\,則，=|2尤一7川在區(qū)間[另，+8）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-8,上單調(diào)遞

減.而尸2是增函數(shù)，所以要使函數(shù)於）=2-詞在[2,+8）上單調(diào)遞增，則有齊2,

即所以機(jī)的取值范圍是（-00,4].

【對數(shù)式的運(yùn)算】

【例27】設(shè)2"=5"=m，且[+\=2,則相等于（）

A.V10B.10C.20D.100

【答案】A

【解析】2。=50=加，

Iog2m—a,logsm=b,

1

+-

b由+記嬴=l°g/+l°gm5

=logm10=2,

/2=10,

...根二寸訪（舍zn=—A/IO）.

【對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】

【例28]已知函數(shù)段)=loga(2]+8—1)(〃>0,且〃W1)的圖象如圖所示，貝lj〃，b滿足的關(guān)系是()

A.0<。一i<b<l

C.0<。1<〃<1D.0<a}<b{<1

【答案】A

【解析】由函數(shù)圖象可知，於)為增函數(shù)，故〃>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,log向，由函

數(shù)圖象可知一lvlogab<0,解得！<Z?<1.綜上有0<^<Z?<l.

【比較指數(shù)式、對數(shù)式大小】

【例29]設(shè)。=log3e,b=eL5,c=logj,則()

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【角星析]c=log1—=log34>log3e=a.

34

又c—Iog34<logs9=2,b=e15>2,

a<c<b.

【解對數(shù)方程不等式】

【例30]若log/a+lklogaQ/bcOgX),a#l),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】Q,1)

【解析】依題意10ga(〃+1)<10ga(2/)<10ga1,

[a+l<2y[a<l[〃+l>2\[a>l,

解得*a<l.

【對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】

【例31】設(shè)函數(shù)1x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|,則穴尤)()

A.是偶函數(shù)，且在+8)上單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(一；，上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(一8,一§上單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，且在(一8,一§上單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】y(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|的定義域?yàn)椴凡穡gj

又黃一無)=ln|—2%+1|—ln|-2x—l|

=ln|2x—1|—ln|2x+11=—fix),

工段)為奇函數(shù),故排除A,C.

當(dāng)xe(—8,一g時，

—2x-l

Ax)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln

，巖春)，

；y=l+S■在(一8,一^上單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得大了)在(一8,一，上單調(diào)遞減.

【函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定】

【例32】(多選)函數(shù)4x)=eX—X—2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】AD

【解析】八一2)=*>0,/-1)=1-1<0,

/0)=-1<0,加)=e—3<0,

/2)=e2-4>0,

因?yàn)?一2)次-1)<0,八1)?火2)<0,

所以八x)在(一2,—1)和(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn).

【函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定】

【例33］若函數(shù)y=/3(xGR)滿足於+1)=一危)，且正［—1,1］時，?=1-%2,已知函數(shù)g(x)=

［|lgx］,x>0,

則函數(shù)2)=危)一g(x)在區(qū)間［―6,6］內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為()

e，x<o,

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【解析】因?yàn)槲?1)=—段)，

所以函數(shù)y=Ax)(x?R)是周期為2函數(shù)，

因?yàn)閤d［—1,1］時，八尤)=1—N,

所以作出它的圖象，則y=/(x)的圖象如圖所示.(注