新課程卷中三視圖試題的特點及啟示

高考新課程卷中三視圖試題的特點及啟示宜昌金東方高中翁平【摘要】高中數(shù)學(xué)教材必修二第一章《立體幾何初步》是新課改中出現(xiàn)的新內(nèi)容和新考點，不光是高中學(xué)生的首次接觸，作為高中數(shù)學(xué)教師的我也是第一次“觸電”。這一局部的內(nèi)容在課堂教學(xué)的過程中因其圖形多、與實際結(jié)合緊密容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但是在解決相應(yīng)習(xí)題和應(yīng)對考試題目時，卻也存在著許多的困難。為了幫助學(xué)生提高解題速度和準確度，我針對這局部常見的習(xí)題做了一些研究和思考，并結(jié)合2009—2011年這三年新課程高考試卷中的考題，總結(jié)和歸納出了一些解題規(guī)律和常用步驟?！娟P(guān)鍵詞】三視圖空間幾何體一、高考新課程卷中三視圖試題的特點1．試題分布從2009-2011這三年新課程高考試卷中，考三視圖的概率很高，在80﹪以上，且逐年增加，到2011年幾乎都有三視圖的試題。2．試題分析〔1〕縱觀2009-2011的高考題，試題通常是通過對課本原題的改編，通過對根底知識的重新組合、拓廣，充分表現(xiàn)出教材的根底作用。因此密切聯(lián)系教材，要把書本上的習(xí)題弄懂，弄透?！?〕三視圖試題與立體幾何相聯(lián)系，需要一定的空間想象能力，同時又有區(qū)別，和平行投影中的正投影有關(guān)。近三年來出現(xiàn)過兩種類型：類型一是根據(jù)幾何體的圖形來判斷三視圖〔如2011年江西卷第9題等〕；類型二是三視圖求幾何體的體積，外表積和邊長等〔如2011年湖南卷第4題，2010年安徽第9題等〕。〔3〕三視圖試題多半以選填題形式出現(xiàn)，以中低檔題為主，注重了對“長對正，高平齊，寬相等”的考查，注重對幾何體外表積，體積公式的考查。二、近三年新課程卷中三視圖試題對高考復(fù)習(xí)的啟示1． 在復(fù)習(xí)中，應(yīng)充分研究數(shù)學(xué)課程課標按照課標要求，了解中心投影和平行投影的意義；理解三視圖畫法的規(guī)那么，能畫簡單幾何體的三視圖，其次能識別三視圖所表示的空間幾何體。由此，要特別注重三視圖“長對正，高平齊，寬相等”的規(guī)那么，以及由三視圖能識別空間幾何體，這是考查的重點。2．在復(fù)習(xí)中，應(yīng)注重對三視圖選填題形式的考查首先三視圖作為新課程改革新增加的內(nèi)容要在思想上引起重視，其次通過對2009-2011新高考題的研究，應(yīng)注重對三視圖選填題形式的考查，但也不能因為三視圖與立體幾何在一章，認為只可能出現(xiàn)填空、選擇題的類型。因為從近幾年的高考試卷看到，2008年寧夏海南第18題，2009年廣東第17題，2010年上海文科第20題都是以大題形式出現(xiàn)，通過給出幾何體的三視圖，先從三視圖中得到線面關(guān)系以及邊的長度再來證明。3． 在復(fù)習(xí)中，側(cè)重兩種類型的復(fù)習(xí)類型一，根據(jù)幾何體的圖形來判斷三視圖；類型二，三視圖求幾何體的體積，外表積等求值問題，這兩種類型以類型二為考查的重點和難點。對這類型的復(fù)習(xí)，在前一節(jié)對幾何體的結(jié)構(gòu)特征充分理解的根底上，結(jié)合三視圖畫法的規(guī)那么，從而總結(jié)出簡單多面體和旋轉(zhuǎn)體三視圖的特點。以下是簡單多面體和旋轉(zhuǎn)體三視圖的特點：〔1〕多面體注意：1、多面體的棱長應(yīng)注意不要漏畫，先確定頂點的位置，再確定棱；2、看見的畫實線，看不見的畫虛線。①棱柱〔這里棱柱主要研究直棱柱，對于斜棱柱那么要依據(jù)具體的題目條件〕直棱柱：三視圖中有兩個矩形+多邊形〔從多邊形的邊數(shù)能確定棱柱的分類〕【例1】〔2011·安徽卷8〕一個空間幾何體的三視圖如圖1所示，那么該幾何體的外表積為()圖1A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80命題意圖：此題考查三視圖的識別以及空間多面體外表積的求法解析：圖中三視圖是由兩個矩形+一個四邊形可知此題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如下圖)，再由三視圖的作圖法那么“長對正，高平齊，寬相等”，可知直四棱柱底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為，四個側(cè)面的面積為，所以幾何體的外表積為。答案C解題指導(dǎo)：三視圖復(fù)原很關(guān)鍵，每一個數(shù)據(jù)都要標注準確②棱錐：三視圖中有兩個三角形+多邊形；從2009-2011近三年的高考題，考查比例較多的為三棱錐，四棱錐。三棱錐：2009寧夏第11題，2009遼寧第16題，2010遼寧第16題，2010湖南第13題，2010陜西第8題，2011遼寧第8題；四棱錐：2011北京第5題，2011廣東第9題?！纠?】：〔2010湖南第13題〕圖2中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖，那么h=cm。命題意圖：此題考查三視圖的識別以及空間多面體體積的求法。解析：圖中三視圖是由兩個三角形+三角形，知該圖形為三棱錐，由俯視圖可知底面是一個直角三角形，h表示的是三棱錐的高。得到cm。解題指導(dǎo)：三視圖作圖規(guī)那么是復(fù)原的依據(jù)，對于求值問題每一個數(shù)據(jù)都要標注準確③棱臺：三視圖中有兩個梯形+“多邊形”〔特指兩個相似的多邊形環(huán)，〕〔2〕旋轉(zhuǎn)體①圓柱：三視圖中有兩個全等矩形+圓；②圓錐：三視圖中有兩個全等等腰三角形+圓；【例3】：〔2011年高考陜西卷文科5)某幾何體的三視圖如圖3所示，那么它的體積是()〔A〕〔B〕圖3〔C〕〔D〕圖3命題意圖：此題考查三視圖的識別以及空間組合體體積的求法.解析:由三視圖可知該幾何體為立方體截去圓錐，立方體棱長為2，圓錐底面半徑為1，高為2，體積為，答案為A。③圓臺：三視圖中有兩個全等的等腰梯形+圓；④球：三視圖中有三個圓。三、三視圖辨識幾何體小結(jié)1、柱體的三視圖中有兩個視圖為矩形，假設(shè)另一個視圖為圓那么為圓柱；假設(shè)另一個視圖為矩形那么為直棱柱，再看多邊形邊數(shù)來判斷是幾棱柱；2、椎體的三視圖中有兩個視圖為三角形，假設(shè)另一個視圖為圓那么為圓錐，假設(shè)另一個視圖為三角形那么為棱錐，同樣由多邊形邊數(shù)來判斷是幾棱錐；3、臺體的三視圖中有兩個視圖為梯形，假設(shè)另一個視圖為圓環(huán)那么為圓臺，假設(shè)另一個視圖為多邊形環(huán)那么為棱臺。4、在復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意幾何體的三視圖是從三個方向的正投影，主要用于處理根據(jù)幾何體的圖形來識別三視圖的問題幾何體的圖形，來識別其三視圖的步驟如下：第一，首先要弄清三視圖的含義，分為正視圖〔又稱為主視圖〕：從前往后的正投影；側(cè)視圖〔又稱為左視圖〕：從左往右的正投影；俯視圖：從上往下的正投影。第二，正投影是特殊的平行投影，在平行投影下：〔1〕與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個平面圖形的形狀和大小完全相同；〔2〕假設(shè)平面圖形與投影面垂直，①如果圖形為點，無論與平面平行還是垂直，得到的影子均為點；②如果圖形為線段，得到的影子為點；③如果圖形為多邊形，那么得到的影子為線段；〔3〕假設(shè)平面圖形與投影面成夾角，①如果圖形為線段，得到的影子為線段；②如果圖形為多邊形，那么投影后也為多邊形。第三，高考時多考查的是多面體，對于由多面體的幾何圖形得到其三視圖，應(yīng)先找準多面體頂點的位置，再來確定棱長的位置，稱之為頂點確定法?！纠?】：〔2011年高考江西卷文科9)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖4所示，那么該幾何體的左視圖為〔〕命題意圖：此題考查三視圖的識別圖4解析：左視圖是從正左方看，由圖可知，幾何體有7個頂點，先在投影面上把7個點的位置確定，即找特殊位置的可視點，連起來就可以得到答案。上底面與投影面垂直關(guān)系，那么投影得到的為線段，下底面同理也為線段，前后兩個側(cè)面也與投影面垂直，那么投影得到的也是線段。答案D解題指導(dǎo)：頂點確定法【例5】：〔08年廣東文科7〕將正三棱柱截去三個角〔如圖5〕所示A、B、C分別是三邊的中點〕得到的幾何體如圖5中右圖，那么該幾何體按該圖所示方向的側(cè)視圖為〔〕圖5命題意圖：此題考查三視圖的識別解析：左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點。解題時在圖5的第2個圖的右邊放扇墻即投影面〔心中有墻〕，注意利用第1個圖，投影后，與重合，與重合，與底面垂直，即與底面垂直，而與右邊投影面相垂直，因此投影后為線段，可得答案A。5．在復(fù)習(xí)中，還應(yīng)注意對幾何體組合體三視圖的訓(xùn)練【例6】：〔2011年新課標卷8〕在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖6所示，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔〕圖6命題意圖：此題考查三視圖的知識，同時考察空間想象能力。