2019-2023年真題分類匯編（新高考）專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(原卷版+解析)

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程2．（2021?新高考Ⅰ）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．3．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是．4．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．5．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)，和點(diǎn)，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．7．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．8．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點(diǎn)，，，，，處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤簦瑒t（a）；（ⅱ）若，，則．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）9．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．10．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．①，；②，．11．（2021?浙江）設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，滿足．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）12．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．13．（2020?海南）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．14．（2019?浙江）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)任意，均有，求的取值范圍．注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15．【多選】（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．16．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線17．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值18．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）【解析】為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對(duì)稱，令，可得，即（4），故正確；為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，故不正確；關(guān)于對(duì)稱，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)在，處的導(dǎo)數(shù)為0，即，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，函數(shù)在，的導(dǎo)數(shù)為0，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可得是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，進(jìn)而可得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，，故正確；圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，即每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故錯(cuò)誤．解法二：構(gòu)造函數(shù)法，令，則，則，，滿足題設(shè)條件，可得只有選項(xiàng)正確，故選：．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程2．（2021?新高考Ⅰ）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即切點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點(diǎn)在軸或下方時(shí)，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時(shí)，有兩條切線，可知．故選：．法二：設(shè)過點(diǎn)的切線橫坐標(biāo)為，則切線方程為，可得，設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，，，是減函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線．故選：．3．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是．【解析】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點(diǎn)，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．4．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點(diǎn)，，，切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程也關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．5．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)，和點(diǎn)，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．【解析】當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，切線的方程為，令，可得，即，當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，即為，，，所以．故答案為：．考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，依題意，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．故選：．7．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1），則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，只需證，設(shè)（a），，則（a），令（a）得，，當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，所以（a），即（a），所以得證，即得證．8．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點(diǎn)，，，，，處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤?，則（a）；（ⅱ）若，，則．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（Ⅰ）函數(shù)，，，由，得，在，上單調(diào)遞增；由，得，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：過有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，，，，，2，，方程有3個(gè)不同的根，該方程整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（e）且（a），，且，整理得到且，此時(shí)，，且，此時(shí)，，整理得，且，此時(shí)，（a），設(shè)（a）為上的減函數(shù)，（a），．當(dāng)時(shí)，同討論，得：在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（a），且（e），，且，整理得，，，，設(shè)，則方程即為：，即為，記，則，，為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，而，且，，，即證，即證，即證，記，則，在為增函數(shù)，，，設(shè)，，則，在上是增函數(shù)，（1），，即，若，，則．9．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．（2）令，，，在上恒成立，又，令，則，，①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋栽趦?nèi)遞增，所以，這與矛盾，故舍去；②當(dāng)，即，，若，則，所以在，上單調(diào)遞減，，符合題意．若，則，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．另解：的導(dǎo)數(shù)為，①當(dāng)時(shí)，，所以在遞增，所以，與題意矛盾；②當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，所以，滿足題意；．③當(dāng)時(shí)，．設(shè)，，則在遞減，所以，，所以在遞減，所以，滿足題意；④當(dāng)時(shí)，，令，則，，可得遞減，，所以存在，使得．當(dāng)時(shí)，，在遞增，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，在遞增，所以，與題意矛盾．綜上可得，的取值范圍是，．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，令得，，整理得，，，，，即．另解：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)，左邊成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．當(dāng)時(shí)，要證，只要證，即證．可令，則，，則需證明，再令，則需證明．構(gòu)造函數(shù)，，，可得在，上遞減，則（1），所以原不等式成立，即時(shí)，成立．綜上可得，成立．10．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，可得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時(shí)，且等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：若選①，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增．注意到．在上有一個(gè)零點(diǎn)；，由得，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)．綜上：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．另解：當(dāng)，時(shí)，有，，而，于是，所以在沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，于是，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，命題得證．若選②，則由（Ⅰ）知：在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，取，，，又易證，，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．綜上：在上有唯一零點(diǎn)．11．（2021?浙江）設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，滿足．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（Ⅰ），①當(dāng)時(shí)，由于，則，故，此時(shí)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）注意到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）知，要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需即可，對(duì)任意均成立，令，則，即，即，即，對(duì)任意均成立，記，則，令（b），得，①當(dāng)，即時(shí)，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)（b），不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，易知（b）在，單調(diào)遞減，此時(shí)，故只需，即，則，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，，令，解得，易知，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，，且，由，可得，要證，只需證，只需證，而，則，要證，只需證，只需證，而，，即得證．12．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【解析】（1）解：由函數(shù)的解析式可得，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）證明：由，得，即，由（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以（1），且（e），令，，則，為的兩根，其中．不妨令，，則，先證，即證，即證，令，則在單調(diào)遞減，所以（1），故函數(shù)在單調(diào)遞增，（1）．，，得證．同理，要證，（法一）即證，根據(jù)（1）中單調(diào)性，即證，令，，則，令，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得證，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，單調(diào)遞增，所以（e），即，所以，得證，則．13．（2020?海南）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．（2）方法一：由，可得，即，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），，，故的范圍為，．方法二：由可得，，，即，設(shè)，恒成立，在單調(diào)遞增，，，即，再設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，即，則，此時(shí)只需要證，即證，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，綜上所述的取值范圍為，．方法三：由題意可得，，，易知在上為增函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，（1），，存在使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，②當(dāng)時(shí)，，，，令，，易知在上為增函數(shù)，（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，綜上所述的取值范圍為，．方法四：，，，，易知在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在0，上為減函數(shù)，與在0，上有交點(diǎn)，存在，使得，則，則，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1），當(dāng)，時(shí)，，，時(shí)，，設(shè)，，，恒成立，在，上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)時(shí)，，，．方法五：等價(jià)于，該不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，有，其中．設(shè)（a），則（a），則（a）單調(diào)遞增，且（1）．所以若成立，則必有．下面證明當(dāng)時(shí)，成立．設(shè)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，把換成得到，，．，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上，．14．（2019?浙江）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)任意，均有，求的取值范圍．注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1），得，當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，令，則，設(shè)，，則，當(dāng)，時(shí)，，則，記，，則，列表討論：，10單調(diào)遞減極小值（1）單調(diào)遞增（1），．當(dāng)時(shí)，，令，，，則，故在，上單調(diào)遞增，，由得（1），，，由知對(duì)任意，，，，，即對(duì)任意，，均有，綜上所述，所求的的取值范圍是，．考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15．【多選】（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，且，由題意，方程即有兩個(gè)正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．16．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，顯然和均不在曲線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．17．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）證明：設(shè)，，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，即，，，，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，，，綜合可得：當(dāng)時(shí)，；（2）解：，，且，，①若，即時(shí)，易知存在，使得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；②若，即或時(shí)，存在，使得，時(shí)，，在，上單