人教版高數(shù)必修四第10講：簡單的三角恒等變換(學(xué)生版)-東直門仉長娜

PAGEPAGE1簡單的三角恒等變換____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、會利用已有的十一個公式進(jìn)行簡單的恒等變換；2、能根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，體會在變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法.降冪公式：1、公式推導(dǎo)：試以表示．二、積化和差、和差化積公式：公式推導(dǎo)：（１）；（２）．三、本章節(jié)公式匯編：例1已知.練習(xí)：在銳角三角形ABC中,ABC是它的三個內(nèi)角,記S=,求證:S<1.例2證明=tan(+).練習(xí)：已知α,β∈(0,)且滿足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.例3求證:.練習(xí)：1.求證:.已知sinβ=m·sin(2α+β),求證:tan(α+β)=tanα.3.若sinα=,α在第二象限,則tan的值為()A.5B.-5C.D.4.設(shè)5π<θ<6π,cos=α,則sin等于()A.B.C.D.5.已知sinθ=,3π<θ<,則tan_________________.例4（1）化簡:.（2）化簡:sin50°(1+tan10°).例5已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.變式訓(xùn)練(2007年高考浙江卷,12)已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,則cos2θ的值是______________.一、選擇題1．(文)(2010·山師大附中?？?設(shè)函數(shù)f(x)＝cos2(x＋eq\f(π,4))－sin2(x＋eq\f(π,4))，x∈R，則函數(shù)f(x)是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)(理)(2010·遼寧錦州)函數(shù)y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝()A．2π B．π C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,3)2．(2010·重慶一中)設(shè)向量a＝(cosα，eq\f(\r(2),2))的模為eq\f(\r(3),2)，則cos2α＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)3．已知taneq\f(α,2)＝3，則cosα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5) C.eq\f(4,15) D．－eq\f(3,5)4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，則△ABC是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形5．(2010·綿陽市診斷)函數(shù)f(x)＝2sin(x－eq\f(π,2))＋|cosx|的最小正周期為()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π6．(2010·揭陽市?？?若sinx＋cosx＝eq\f(1,3)，x∈(0，π)，則sinx－cosx的值為()A．±eq\f(\r(17),3) B．－eq\f(\r(17),3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(17),3)7．(文)在銳角△ABC中，設(shè)x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，則x，y的大小關(guān)系是()A．x≤y B．x＜yC．x≥y D．x＞y(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c滿足的關(guān)系是()A．2ab>c2 B．a(chǎn)2＋b2<c2C．2bc>a2 D．b2＋c2<a28．(2010·吉林省調(diào)研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，記f(x)＝a·b，要得到函數(shù)y＝sin4x－cos4x的圖象，只需將函數(shù)y＝f(x)的圖象()A．向左平移eq\f(π,2)個單位長度B．向左平移eq\f(π,4)個單位長度C．向右平移eq\f(π,2)個單位長度D．向右平移eq\f(π,4)個單位長度9．(2010·浙江金華十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，若a·b＝eq\f(2,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,7) C.eq\f(1,7) D.eq\f(2,3)10．(2010·湖北黃岡模擬)若eq\f(5π,2)≤α≤eq\f(7π,2)，則eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)等于()A．－2coseq\f(α,2) B．2coseq\f(α,2)C．－2sineq\f(α,2) D．2sineq\f(α,2)二、填空題11．(2010·廣東羅湖區(qū)調(diào)研)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，則cos2θ＝________.12．(2010·江蘇無錫市調(diào)研)函數(shù)y＝eq\f(tanx－tan3x,1＋2tan2x＋tan4x)的最大值與最小值的積是________．13．(2010·浙江杭州質(zhì)檢)函數(shù)y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．14．(文)如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB于點D，且AD＝3DB，設(shè)∠COD＝θ，則tan2eq\f(θ,2)＝________.(理)eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.三、解答題15．(文)(2010·北京理)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．(理)(2010·廣東羅湖區(qū)調(diào)研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，設(shè)f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值．16．(文)設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；(2)設(shè)A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，若cosB＝eq\f(1,3)，f(eq\f(C,2))＝－eq\f(1,4)，且C為銳角，求sinA的值．(理)已知角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB，cosC)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinC，sinB－cosB)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5).(1)求tan2A的值；(2)求eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))的值．17．(文)(2010·廈門三中階段訓(xùn)練)若函數(shù)f(x)＝sin2ax－eq\r(3)sinaxcosax(a>0)的圖象與直線y＝m相切，相鄰切點之間的距離為eq\f(π,2).(1)求m和a的值；(2)若點A(x0，y0)是y＝f(x)圖象的對稱中心，且x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求點A的坐標(biāo)．(理)(2010·廣東佛山順德區(qū)檢測)設(shè)向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，記f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求eq\f(1＋2sin2x,cos2x－sinxcosx)的值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若cosθ>0，sin2θ<0，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，則sin2θ＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)3．函數(shù)f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π4．若tanα＝3，則eq\f(sin2α,cos2α)的值等于()A．2 B．3C．4 D．65．計算eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)等于()A．－2cos5° B．2cos5°C．－2sin5° D．2sin5°6．eq\f(2sin2α,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝()A．tanα B．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)二、填空題7．若tanθ＝eq\f(1,3)，則cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝________.8．taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12))的值等于________．三、解答題9．已知cosα＝－eq\f(12,13)，α∈(π，eq\f(3π,2))，求sin2α，cos2α，tan2α的值．能力提升一、選擇題1．設(shè)a＝(eq\f(3,2)，sinα)，b(cosα，eq\f(1,3))，且a∥b，則銳角α為()A．30° B．60°C．75° D．45°2．若α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，則eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)的值為()A．2coseq\f(α,2) B．－2coseq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2) D．－2sineq\f(α,2)3．設(shè)a＝eq\f(\r(2),2)(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝eq\f(\r(3),2)，則()A．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c4．已知等腰三角形底角的余弦值為eq\f(2,3)，則頂角的正弦值是()A．eq\f(4\r(5),9) B．eq\f(2\r(5),9)C．－eq\f(4\r(5),9) D．－eq\f(2\r(5),9)二、填空題5．函數(shù)f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))的最小正周期是________．6．已知θ為第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，則sin2θ＝________.三、解答題7．若cos(eq\f(π,4)＋x)＝eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<x<eq\f(7π,4)，求：(1)cosx＋sinx的值；(2)eq