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最優(yōu)捕魚策略最優(yōu)捕魚策略摘要為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境,可再生資源〔如漁業(yè)、林業(yè)資源等〕的開發(fā)必須適度。而在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中,我們要使商業(yè)活動(dòng)在一段時(shí)期內(nèi)到達(dá)最大收益,因此我們要合理的開發(fā)資源,這時(shí),我們不僅要考慮商業(yè)活動(dòng)的當(dāng)前經(jīng)濟(jì)效益,還要考慮生態(tài)效益及由此產(chǎn)生的對(duì)整體經(jīng)濟(jì)效益的影響。本文就是對(duì)漁業(yè)這類可再生資源的開發(fā)問題進(jìn)行研究,利用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解。對(duì)于問題一,我們考慮漁場(chǎng)生產(chǎn)過程中的各年齡組魚群數(shù)量的制約因素,將其分為兩大類,第1,2齡魚群為一類,該魚群數(shù)量變化在一年內(nèi)只受自然死亡率制約,寫出魚群數(shù)量滿足的微分方程;第3,4齡魚群為一類,其數(shù)量變化在前8個(gè)月受捕撈強(qiáng)度和自然死亡率影響,后4個(gè)月只受自然死亡率的制約,分階段寫出寫出魚群數(shù)量滿足的微分方程;根據(jù)微分方程,求出在某時(shí)刻各魚群的數(shù)量表達(dá)式〔類似于人口增長(zhǎng)模型〕。因?yàn)椴稉剖沁B續(xù)的,所以任意一個(gè)時(shí)刻的捕撈量為捕撈強(qiáng)度乘以魚群的數(shù)量,又捕撈只在前8個(gè)月進(jìn)行,那么年捕撈量為前8個(gè)月各時(shí)刻魚群數(shù)量的積分。最后建立年總捕撈量的函數(shù)與生產(chǎn)過程中滿足的關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃模型,利用lingo和matlab軟件分別求解。對(duì)于問題二,題中已給出各年齡組魚群的初始值,我們利用問題一中所得到的迭代方程,可迭代地求出第i年初各年齡組魚群的數(shù)量;再根據(jù)問題一中的捕撈量表達(dá)式,可寫出5年的捕撈總量表達(dá)式,以5年捕撈總量最大為前提,利用matlab軟件求解出此時(shí)的捕撈強(qiáng)度,然后再驗(yàn)證在此捕撈強(qiáng)度下會(huì)不會(huì)使5年后魚群的生產(chǎn)能力有太大的破壞。最后,我們得出以下結(jié)論:可持續(xù)捕獲條件下,捕撈強(qiáng)度為17.36292時(shí),到達(dá)最大捕撈總質(zhì)量g;5年后魚群的生產(chǎn)能力不會(huì)有太大的破壞條件下,捕撈強(qiáng)度為,到達(dá)最大最大捕撈總質(zhì)量關(guān)鍵詞:漁業(yè)最大收益捕撈策略生產(chǎn)能力生長(zhǎng)率lingomatlab一.問題重述生態(tài)學(xué)說明,對(duì)可再生資源的開發(fā)策略應(yīng)在事先可持續(xù)收獲的前提下追求最大經(jīng)濟(jì)效益,考慮具有4個(gè)年齡組:1齡魚,……,4齡魚的某種魚。該魚類在每年后4個(gè)月季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖。而按規(guī)定,捕撈作業(yè)只允許在前8個(gè)月進(jìn)行,每年投入的捕撈能力固定不變,單位時(shí)間捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)的比例稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。使用只能捕撈3,4齡魚的13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng),其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。該魚群本身有如下數(shù)據(jù):各年齡組魚的自然死亡率為0.8〔1/年〕,其平均質(zhì)量分別為5.07,11.55,17.86,22.99〔單位:g〕;1,2齡魚不產(chǎn)卵,平均每條4齡魚產(chǎn)卵量為〔個(gè)〕,3齡魚為其一半;卵孵化的成活率為〔n為產(chǎn)卵總量〕;有如下問題需要解決:1.1.問題一就是在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變)的前提下,用固定努力量的捕撈方式,確定捕撈策略以得到最大捕撈總質(zhì)量。1.2.問題二就是給出了承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量,要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不會(huì)有太大的破壞,在用固定努力量的捕撈方式的前提下,確定捕撈策略,求出最大捕撈總質(zhì)量。綜上所述,原問題實(shí)質(zhì)上是給出了各年齡組魚群之間數(shù)量的變化規(guī)律,并給出了它們的自然死亡率及捕撈和產(chǎn)卵的時(shí)間分布,并固定3、4齡魚捕撈能力的比值,要求選擇一定的捕撈能力系數(shù),使得各年齡組魚的數(shù)量在各年開始的第一天條數(shù)不變〔第一問〕,5年后魚群的生產(chǎn)能力不會(huì)有太大的破壞〔第二問〕,并在此條件下,求到最大捕獲量。二.符號(hào)說明三.模型假設(shè)1.這種魚在一年內(nèi)的任何時(shí)間都會(huì)發(fā)生自然死亡,即死亡是一個(gè)連續(xù)的過程。2.捕撈也是一個(gè)連續(xù)的過程,不是在某一時(shí)刻突然發(fā)生。3.1、2齡魚體形太小,不能被捕。4.3、4齡魚在一年中的后4個(gè)月的第一天集中一次產(chǎn)卵5.i齡魚到來年分別長(zhǎng)一歲成為i+1齡魚,i=1,2,3,其中上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚四.模型的建立與求解4.1.問題分析.對(duì)題中一些術(shù)語的解釋:對(duì)自然死亡率的理解:此題中給出的魚的自然死亡率是指平均死亡率,即單位時(shí)間魚群死亡數(shù)量與現(xiàn)有魚群數(shù)量的比例系數(shù),它與環(huán)境等其它外在因素?zé)o關(guān);這是一個(gè)有量綱的量,它既不是簡(jiǎn)單的百分率又不是簡(jiǎn)單的變化速率,實(shí)際上它是百分比率的變化率。它應(yīng)該理解為以每年死亡80%的速率減少,并不是在一年內(nèi)恰好死亡80%。另一方面,魚群的數(shù)量是連續(xù)變化的,且1,2齡魚在全年及3,4齡魚在后4個(gè)月的數(shù)量只與死亡率有關(guān)。由此可知,各齡魚的變化滿足:對(duì)捕撈強(qiáng)度系數(shù)的理解:捕撈強(qiáng)度系數(shù)是單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)的比例系數(shù),單位時(shí)間4齡魚捕撈量與4齡魚群總數(shù)成正比,捕撈強(qiáng)度系數(shù)是一定的,且只在捕撈期內(nèi)〔即每年的前8個(gè)月〕捕撈3,4齡魚。所以,捕撈強(qiáng)度系數(shù)k影響了3,4齡魚在捕撈期內(nèi)的數(shù)量變化:那么有對(duì)卵的成活率的理解:1,2齡魚不產(chǎn)卵,3,4齡魚在每年的后四個(gè)月產(chǎn)卵,我們假設(shè)了在9月初一次產(chǎn)卵,因此可將每年的產(chǎn)卵量n表示為:.問題一分析:對(duì)于問題一,要實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲,即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變,因此我們要算出每年初各齡魚組的數(shù)量。中已對(duì)自然死亡率,捕撈強(qiáng)度系數(shù)和卵成活率作出了解釋,即1,2齡魚僅受自然死亡率的影響;而3,4齡魚不僅受自然死亡率的影響,還受捕撈強(qiáng)度系數(shù)的影響;因?yàn)樵摲N魚的最高壽命為4,所以在后四月中4齡魚都不存活;,而對(duì)于1齡魚的數(shù)量,是3,4齡魚在前年的后4年產(chǎn)卵所存活下來的數(shù)量;對(duì)于捕撈量,題中規(guī)定只在1到8月才能捕撈,而且1,2齡魚不被捕撈,所以主要來源于對(duì)3,4齡魚的捕撈。根據(jù)這些關(guān)系可列出一系列的方程,其中捕撈量作為目標(biāo)函數(shù),其他的作為約束條件,建立一個(gè)非線性規(guī)劃模型,再然后用lingo軟件和matlab軟件進(jìn)行求解。.問題二分析: 對(duì)于問題二,合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞,又要使總收益最高,這就有可能發(fā)生滿足了前者滿足不了后者之類的情況。我們處理方法是先確定一個(gè)策略使其收益最高,再檢驗(yàn)此捕魚策略是否能保證5年后魚群的生產(chǎn)能力不受到太大的破壞,假設(shè)它讓魚群的生產(chǎn)能力受到了嚴(yán)重破壞,我們?cè)偾罅硗庖环N策略。但從理論分析可知,5年后將在魚群盡可能接近可持續(xù)魚群的情況下來使捕撈量到達(dá)最大。對(duì)于破壞大小,我們采用1齡魚群數(shù)量變化率來衡量,即以第六年初1齡魚群數(shù)量的變化量與承包時(shí)魚群數(shù)量初值之比表示,因?yàn)?,3,4齡魚群的數(shù)量在很大程度上受承包初1齡魚影響,根據(jù)關(guān)系,可以知道5年后2,3,4齡魚群的數(shù)量肯定會(huì)有較大變化。只要該比值小于5%,我們就認(rèn)為魚群的生產(chǎn)能力沒有受到太大破壞。 題中已經(jīng)給了我們各年齡組的初始值,而問題一中也已得出一組迭代方程,我們利用這些迭代方程,求出各年的魚量分布;同樣可以根據(jù)問題一中捕撈量的表達(dá)式求出5年的總捕撈量,以此來確定我們的最優(yōu)捕撈策略。再然后我們通過驗(yàn)證來確定其5年后魚群的生產(chǎn)能力有沒有受到太大破壞。4.2.模型建立問題一模型1.由中對(duì)自然死亡率的理解中的〔1〕式,可知1,2齡魚的生長(zhǎng)只受自然死亡率的影響,由此可知1,2齡魚的生長(zhǎng)的微分方程滿足方程〔1〕:T年的i齡魚在T+1年變?yōu)閕+1齡魚,2.而對(duì)于3,4齡魚的生長(zhǎng),在前八個(gè)月,他們的生長(zhǎng)不僅受自然生長(zhǎng)率的影響,還受捕撈強(qiáng)度系數(shù)的影響,而后四個(gè)月僅受自然生長(zhǎng)率的影響。我們以一年為一個(gè)時(shí)間單位,那么這一時(shí)間單位可以分為兩個(gè)階段,見圖〔1〕:02/31 I:捕撈期 II:產(chǎn)卵期 圖〔1〕因此,eq\o\ac(○,1).前八個(gè)月3、4齡魚生長(zhǎng)的微分方程滿足:由于每年的捕撈只在1到8月進(jìn)行,并且只能捕到3,4齡魚,所以任意一個(gè)時(shí)刻的捕撈量為,那么年捕撈量為:eq\o\ac(○,2).后四個(gè)月3、4齡魚生長(zhǎng)的微分方程滿足方程〔1〕: 所以年初1齡魚的總量 3.根據(jù)以上分析,我們可以建立非線性規(guī)劃模型:目標(biāo)函數(shù):約束條件:?jiǎn)栴}二模型針對(duì)漁業(yè)公司的5年捕撈方案,我們利用已得到的迭代方程在各個(gè)年齡組的魚的初始值的前提下,可迭代求出各齡魚群第i年的魚量的分布的函數(shù)。整個(gè)生存過程滿足的關(guān)系式為同時(shí)寫出目標(biāo)函數(shù):4.3.模型求解問題一求解.1由中的3,我們可將目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為:目標(biāo)函數(shù)為:約束條件:.2然后我們利用lingo軟件和matlab軟件分別進(jìn)行求解。1〕lingo程序:〔附錄1〕直接運(yùn)行,輸出結(jié)果為:Localoptimalsolutionfoundatiteration:92Objectivevalue:0.3887076E+12VariableValueReducedCostK17.36292-1.034723N0.6078067E+130.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.3887076E+121.00000020.0000000.1258406E-022〕matlab程序:〔附錄2〕首先,建立fun1.m、max1.m、1.m、picture.m文件,運(yùn)行picture.m文件,畫出n關(guān)于k的圖像:由圖像,,我們看出,這與事實(shí)是相符的。然后,在命令窗口中輸入1.m文件中命令,運(yùn)行出結(jié)果我們觀察到,,,,因此,我們改變k的取值區(qū)間即步長(zhǎng),建立了文件2.m、3.m,從而求得更精確的結(jié)果。從運(yùn)行結(jié)果看:k=17.3000或k=17.4000,取最大值f=3.8871e+011最后,建立主程序3.m〔程序見附錄2〕從運(yùn)行結(jié)果看:,f=3.8871e+011問題一所求結(jié)果為:.3結(jié)果分析3齡魚的捕撈強(qiáng)度為7.29/年;4齡魚的捕撈強(qiáng)度為17.36/年:最優(yōu)可持續(xù)捕撈量,可持續(xù)捕撈的魚群大小〔條數(shù)〕:1齡2齡3齡4齡分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),4齡魚在年末存活的數(shù)量占全部數(shù)量的比例相對(duì)很小。問題二求解.1將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為:其中這樣max就變?yōu)殛P(guān)于k的函數(shù),易于求解。.2用matlab軟件求解1、利用matlab軟件,建立fun.m文件(見附錄3);2、首先,我們對(duì),建立main.m主程序〔見附錄3〕根據(jù)運(yùn)行結(jié)果,我們觀察到,,,其中,接著,改變k的取值區(qū)間及范圍,建立主程序main1.m,main2.m,求解出更精確的結(jié)果。運(yùn)行結(jié)果分析:,f=1.6056e+012問題二所求結(jié)果為:.3、驗(yàn)證5年后魚群的生產(chǎn)能力有沒有受到太大破壞迭代求得第六年初各齡魚群的數(shù)量為:第一年各齡魚群的數(shù)量為第六年1齡魚數(shù)量占第一年1齡魚數(shù)量的比例為:.4、結(jié)果分析捕撈強(qiáng)度在區(qū)間〔17.5,17.8〕內(nèi)時(shí)〔因?yàn)殡娔X精確度問題,暫時(shí)只能精確到這一區(qū)間〕,總捕撈量到達(dá)最大值。在這種捕撈強(qiáng)度下,5年后1齡魚數(shù)量占第一年1齡魚數(shù)量的比例為98%,即可認(rèn)為生產(chǎn)能力沒有受到太大破壞。因此,求解出的結(jié)果即為最優(yōu)捕魚策略。五.模型的評(píng)價(jià)我們采用了非線性規(guī)劃的思想建立模型,通過求解有約束的非線性最大值問題,找到一組最優(yōu)解。問題一,在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變)的前提下,用固定努力量的捕撈方式,確定捕撈策略以得到最大捕撈總質(zhì)量。我們結(jié)合人口增長(zhǎng),地中海鯊魚模型,用微分、積分的方法來分析每年各齡魚的數(shù)量,建立每年捕撈量的方程,用lingo軟件與matlab軟件分別求解,兩個(gè)結(jié)果誤差很小,肯定了結(jié)果的正確性。問題二,所求模型為五年〔五組類似問題一的模型〕魚群生長(zhǎng)模型的組合。由于所給的初始魚群并不是可持續(xù)捕撈的魚群,為了在五年內(nèi)既得到最大的收益,又不破壞魚群的生產(chǎn)能力,即五年后在到達(dá)產(chǎn)量最高的條件下使得魚群盡量接近可持續(xù)捕撈魚群。我們?cè)谖迥陜?nèi)以同樣的強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)固定努力量的捕撈。對(duì)于每年每條齡魚在每個(gè)時(shí)刻的條數(shù),我們可以用算法迭代求解出n年的條數(shù),從而比擬第六年年初與初始時(shí)刻條數(shù)的差值,得出生產(chǎn)能力的破壞度不顯著。本模型采用連續(xù)模型的方法,成功地解決了可持續(xù)捕撈問題,得到了較為精確且合理的結(jié)果。六.模型的改良我們知道,原題中沒有說明四齡以上的魚如何處理。我們假設(shè)的是上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚,而事實(shí)上還可以假設(shè)這種魚只活到4齡,以后它就死掉了。這對(duì)模型沒有太大的差異,只是我們所做的假設(shè)的分析計(jì)算稍復(fù)雜,但計(jì)算結(jié)果也只是稍有差異,在我們模型的根底上,我們可以假設(shè)魚只能活到4齡,這樣計(jì)算更簡(jiǎn)便一些。目標(biāo)函數(shù):約束條件:我們可將上面的目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為:目標(biāo)函數(shù)為:約束條件:用lingo軟件進(jìn)行求解,算法見附錄4:lingo2算法直接運(yùn)行得:Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:0.3887076E+12Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:209VariableValueReducedCostK17.362930.000000N0.6078058E+130.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.3887076E+121.00000020.0000000.1258410E-02即而以我們的假設(shè)算得出的結(jié)果為兩個(gè)結(jié)果相差甚小,但改良的模型計(jì)算非常簡(jiǎn)便。七.參考文獻(xiàn)趙靜,但琦,《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)〔第3版〕》高等教育出版社姜啟源、謝金星、葉俊,《數(shù)學(xué)模型〔第三版〕》高等教育出版社,2003劉來福,《最優(yōu)捕魚策略問題答案評(píng)述》,數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1997年1月八.附錄附錄1:lingo1算法:max=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-1.6)*(1-@exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-0.28*k-2.4)/(1-@exp(-2/3*k-0.8))*(1-@exp(-2/3*(0.8+k)));n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*@exp(-0.28*k-6.4/3)+@exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-@exp(-2/3*k-0.8)))-1);附錄2:用matlab求解,算法如下:picture1.mk=linspace(1,20,20);n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)))-1);plot(k,n)fun1.m文件:functionn=fun1(k)n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)))-1)max1.m文件:functiony=max1(n,k)y=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*exp(-1.6)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*exp(-0.28*k-2.4)/(1-exp(-2/3*k-0.8))*(1-exp(-2/3*(0.8+k)))我們對(duì),主程序1.m:fork=1:1:20n=fun1(k);f=max1(n,k);kfend主程序2.m:fork=17:0.1:18n=fun1(k);f=max1(n,k);kfend主程序3.m:fork=17.3:0.01:17.4n=fun1(k);f=max1(n,k);kfend附錄3:fun.m文件:functiony=fun(k3,k,m,l1,l2,l3)m1=10.1*10^9+29.7*10^9*exp(-0.8)+122*10^9*exp(-1.6)+l1*exp(-1.6)+l2*exp(-1.6);m21=3.29*10^9+10.1*10^9*exp(-(0.8+2/3*k3))+3.29*10^9*exp(-(0.8+2/3*k))+29.7*10^9*exp(-(1.6+2/3*k3))+l3*exp(-(0.8+2/3*k))+122*10^9*exp(-(2.4+2/3*k3))+l3*exp(-2*(0.8+2/3*k))+29.7*10^9*exp(-(2.4+2/3*k3+2/3*k));m22=l1*exp(-(2.4+2/3*k3))+122*10^9*exp(-(3.2+2/3*k3+2/3*k))+29.7*10^9*exp(-(3.2+2/3*k3+4/3*k))+l3*exp(-3*(0.8+2/3*k));y=17.86*k3*(1-exp(-(0.8+k3)*2/3))*m1/(0.8+k3)+22.99*k*(1-exp(-(0.8+k)*2/3))*(m21+m22)/(0.8+k);main.mfork=0:1:20m=1.109*10^5;k3=0.42*k;a=29.7*10^9*0.5*exp(-1/3*(4+2*k3))+10.1*10^9*exp(-(4/3+2/3*k3+2/3*k))+3.29*10^9*exp(-1/3*(4+4/3*k));l1=1.22*10^11*m*(10.1*10^9*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3))+3.29*10^9*exp(-2/3*(0.8+k)))/(1.22*10^11+m*(10.1*10^9*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3))+3.29*10^9*exp(-2/3*(0.8+k))));l2=1.22*10^11*m*a/(1.22*10^11+m*a);l3=10.1*10^9*exp(-(0.8+2/3*k3))+3.29*10^9*exp(-(0.8+2/3*k));y=fun(k3,k,m,l1,l2,l3);kyendmain1.mfork=17:0.1:18m=1.109*10^5;k3=0.42*k;a=29.7*10^9*0.5*exp(-1/3*(4+2*k3))+10.1*10^9*exp(-(4/3+2/3*k3+2/3*k))+3.29*10^9*exp(-1/3*(4+4/3*k));l1=1.22*10^11*m*(10.1*10^9*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3))+3.29*10^9*exp(-2/3*(0.8+k)))/(1.22*10^11+m*

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