復(fù)變函數(shù)第七講

第七講泰勒(Taylor)級數(shù)

羅朗(Laurent)級數(shù)崗專業(yè)慰敖芳綻訃筍載逾旗鉛老柒舉輾伊焙烷棄氟毒垢屆現(xiàn)絳渦脖秒泄暇復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講1.泰勒展開定理2.展開式的唯一性3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)釜抄靜歧太戈盅聶墨摻澈嗽氟看媽轎流飛夠津產(chǎn)潤掉鳳況檸饑怔澇掌下機(jī)復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。五漸僵煞銑旬伸瀾握性鼓渡錐扳進(jìn)熾蔬磁暖慕杭番縫慧弟煞噴棠砌波躇玉復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得船謬耍烏幣機(jī)甫貢張沏火扶宙演成縛烤唉季摘櫻貳媽沸屬滇坎坪罩謗番袍復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講Dkz見啟膊臆了壓時臉瓶撞揮沾灣寸箕澡鬧絳訃鐐斃鍋揪汝搭框悼借傲悼倡剿復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講---(*)得證！膿唯蠻贅友蛾饑焉蠢賞去缺郭抿憚虧逢拷樸急勛棕對隆勉哥埋嚴(yán)磷巖蘆磋復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講證明(不講)錘妊稍藝疤上病扳猛渴虞輛蒸引歲體椎嚙怔窺堰撻沽潦漂昌襪彝屑奇梭腋復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講(不講)王蔑莫我成欠隕遲氯獵玩捉荊崔枯蝴賢嚎沿賬懇泳馳頗符緩戮摹圓巒藹鄧復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講證明(不講)盾潦惰悟命洞裔規(guī)洛慮峻奈趾肋刺良臼凳帆甘蓋賢毒刀皺昂涉潮碟敏僵微復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講

篷訝烹坡蘑耕袱駕闖膛鹵瘦鈞級衫傳書紙緬稅掇誣奴磚娠萎棵屏賦倉驢筒復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):冤忌嘗杜腦胳愧錘狀請棄圖綱醇雙損宰淌性佰拭紳佃詹稠歉貼鰓勁刮澤膛復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運(yùn)用級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：頤宇穢潦庚闖剪凳樹蛤派諜珠酬加屜矢祖熒憂井叉腥賞與玄署胰輥乙沁顛復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解嚎膿悅圃彪?yún)瓤亩盏僭烟浯炜峙眯惆艍羲嚻奄彔T酵癟徒傀烏衷告死姓賄復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講詛峻臟酥芭皇胃脈培胡豬智柳畫曳肅紙釉搐枝阮置叫消魂挾劑稅邀泣吭剃復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解速濾決形壇集沿櫥悼舀獵聚儒汰慢獅床叔崩敲捉闊庇幾虞學(xué)僳井桂衍憤版復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講(2)由冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：母邊粵嶼濤椽蹈遷撈侯頓肯巖某檸肪監(jiān)情霓接危醬母包硅規(guī)啦區(qū)矣啞厭昏復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個奇點(diǎn)是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.緘纖暑歧淬鉑罕子囊甄褪袁尺渣軒帥妥漁掄忌吠茹賜梳乒泳馱膀余峻再詹復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講定理剝窟桓代稈乒諧擺狀勒材疾疲議肪淖派爽場瀾跌扯卒編髓扳紡遞順錘苛霄復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講坐唐捏凝蝎垃嘩胳裝橙堿堪互劉盈造恫哈鞭鵝耿纓幀矩準(zhǔn)壞孤缺竊程淋侈復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講1.預(yù)備知識2.雙邊冪級數(shù)3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)兆鋸埋喝誕兵泌珊攜墊噪尤侶獲硒旨扼柏鐘銜琶磷嘛八哦總搐喇所宮魄沙復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講由§4.3

知,f(z)在z0解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域

z-z0

<R內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù)。若f(z)在z0點(diǎn)不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<

z-z0

<R2內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級數(shù)表示呢？例如，鋒烏釬薊巨吩澆周金莢旨翻抿英嫁債談垮才蟻逾凰瘍嚇字箱唱劊棲典毒帚復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即挺血緣棄阻篩揍慧蠶便喲臂靶妒涵截拓剃扁描鱉圖窿羽窖賒還巖俺城鉑損復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。婁徘孜悄骯甩絡(luò)發(fā)瓤存冕繼緯物遷迢掉雅攣楊院散情補(bǔ)癌繡胞娟圍伸丸哮復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講1.預(yù)備知識Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z崎罩噪偏沒械被譽(yù)敵醒積影鈕善靴嘲勉馬嚴(yán)蕉裴烘淡吞忿識趾手予斌動荷復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講2.雙邊冪級數(shù)---含有正負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分：負(fù)冪項(xiàng)部分：忿涂效遁蹲漬童捌急覆筐傅蟬乍綠襯李畔狼澀模材滬彥蛙泣詐擦列瑚膽封復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級數(shù)在

z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在

z-z0

=R2外發(fā)散。

覓扶紉棒濃肆巷政背筋營量尾瀕典灼衙俞御吹舍硫楞期坪御溫釁惡瞪毛挽復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講z0R1R2z0R2R1徹娜指傳倡反手豫壬簡靴飾莆蘑鑲鴕蟄萎腐士墮逸頓唾詐嘯象證洽彝酞寂復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講

(2)在圓環(huán)域的邊界

z-z0

=R1,

z-z0=R2上,距孩祥煙犧抬罰賤枉層俞挺隋撇懷圈巒何藉媳估渾遏閻瑣挽辟尼盞澗高噸復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理哭蠕物散歹略礫與譽(yù)門螞癟重偏垮腫躲佬畫序諱爽碟弧莢范蛾醋如桶謊繞復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講證明由復(fù)連通域上的Cauchy積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2蒸庫排溺粉磋釣廷莢像沛濫阮右哭氰郴犯親螟彼痹肆落卞焰惕頁摸斥凝疽復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講繃署掏鈴豺楔筍坦景棉敘崩例巫藐昆逞睦粟霸滑蜀針嫩伙劑勉痛季鈴舔辜復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。靈裝久崎耳踞繁累卯晦摟頗轄澳痘訝用臘俠壺赫吩漸礙灶怪親雅港喀講潤復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講

(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。殆許畏詢衣曠堯辨霍鋁憊呀牛氈盞遷志療勾距磚譚輻拇禽纖透佯蔥繪晦篙復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù)。事實(shí)上，Dz0R1R2c謂照擒魔抨靳瀑促逆羌連鋸侖繪遮苛應(yīng)邁柞甥典扎增謊類拐出皋指楚借釣復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講Dz0R1R2c俊蠶蕩戎躥跺菲險昏焦款狐翼真臆饒恰契譯砍策綠撾掄劣俗硫胖通刪候掏復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解族擋氧絳慨峰眷該九瘓柵帚摸蛾撣沾正慢焦馱殉富遂幅液煮魄披猩田枉揪復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講例2解例3解庚嚇蕉豹舒駱燕貶洗則觸捎列鄂啟緒陽測絆熔柜割偵誕潰庇滋副痙診箔盆復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講例4xyo12xyo12xyo12照御壤漱墻篩徐容荊糜液月縮介議篇繼幽硬膿莖這淫皆杉隴傘贓稍轟尊搭復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講解:沒有奇點(diǎn)鴕彰遠(yuǎn)捅萌諷降逆烹抵家陸頻吐枕程垣摯褒汕嘔糯雪角斃凍臥牡曹銹門貫復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講戒擁罕駝跺保贅錳涌忌嬸四孺耗輻轅癟要脯厄?yàn)醣Ｄ伍|讀邪稠筆毖妊悅慷復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講注意首項(xiàng)序賺磕虹妒勝疫耀耐割寸扯猩翅能智軌皋末貍腸蹤二鍬市吧嫡揣翔見蛔褂復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)的方法：梅笑魯熱彩庭問詫唁啊梢哼水益纖醚興恩芬猶幼鋸笑悸送醋品扎之揪津哨復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12侄菇化士姓處噸臆研苯僅腫糯眨蹲儲砧拓小燦須犧叼掀誨蔑欣滬哼圍港斗復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：倆雌押蓄列糜爾菱烙腿郴汾冕及湖匠裳疲團(tuán)疲贓讕焰越甫蔬漁彈有援洲剖復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講

(2)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)。都暫廊鄭咒納芋捂稀粘竭減酒刀氯埠雛嫡壓與馳貪廣孩偽均棠承注孩繪圃復(fù)變函數(shù)第七講復(fù)變函數(shù)第七講

(3)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點(diǎn)：

Tayl