2021年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷

2021年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）﹣2021的絕對值是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣2．（3分）從2021年5月26日在南昌召開的第十二屆中國衛(wèi)星導(dǎo)航年會上獲悉，至2020年，我國衛(wèi)星導(dǎo)航產(chǎn)業(yè)總值突破4000億元，年均增長20%以上，其中4000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.4×1012 B．4×1010 C．4×1011 D．0.4×10113．（3分）下列幾何體中，其主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A． B． C． D．4．（3分）某中學(xué)七（1）班的6位同學(xué)在課間體育活動時進(jìn)行一分鐘跳繩比賽，成績（單位：個）如下：122，146，134，146，152，121．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．152，134 B．146，146 C．146，140 D．152，1405．（3分）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°6．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（2a2）4＝8a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b27．（3分）在同一時刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時刻，有人測得一高為1.8m的竹竿的影長為3m，某一高樓的影長為60m，那么這幢高樓的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m8．（3分）函數(shù)y＝+中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣1 C．x≥2 D．x≥2且x≠﹣19．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為（）A．4 B．2 C．3 D．10．（3分）某商品經(jīng)過兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，已知兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（）A．20% B．25% C．30% D．36%11．（3分）如圖，在邊長為a的等邊△ABC中，分別取△ABC三邊的中點A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分別取△A1B1C1三邊的中點A2，B2，C2，得△A2B2C2；這樣依次下去…，經(jīng)過第2021次操作后得△A2021B2021C2021，則△A2021B2021C2021的面積為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，菱形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象上，若∠BCD＝60°，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）分解因式：3a3﹣27ab2＝．14．（5分）有背面完全相同，正面分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，并從中隨機(jī)抽取一張，則抽中正面的圖形一定是軸對稱圖形的卡片的概率為．15．（5分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍為．16．（5分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線BD的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則線段EF的長為．三、解答題（本大題共5小題，共44分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟）17．（7分）計算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．18．（9分）如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．求證：（1）△ADE≌△BCF；（2）四邊形DECF是平行四邊形．19．（9分）某學(xué)校為了解全校學(xué)生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校有3000名學(xué)生，估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．20．（9分）在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度．如圖所示，測得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD．（結(jié)果保留根號）21．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；（3）若點P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點P的坐標(biāo)．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分.）22．（6分）若實數(shù)x滿足x2﹣x﹣1＝0，則x3﹣2x2+2021＝．23．（6分）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，則△ABC的面積為．24．（6分）已知非負(fù)實數(shù)a，b，c滿足＝＝，設(shè)S＝a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則的值為．25．（6分）如圖，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上．當(dāng)點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分.）26．（12分）為迎接“五一”小長假購物高潮，某品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種襯衫，其中甲、乙兩種襯衫的進(jìn)價和售價如下表：襯衫價格甲乙進(jìn)價（元/件）mm﹣10售價（元/件）260180若用3000元購進(jìn)甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進(jìn)乙種襯衫的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種襯衫每件的進(jìn)價；（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種襯衫共300件的總利潤不少于34000元，且不超過34700元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案；（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種襯衫進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種襯衫每件優(yōu)惠a元（60＜a＜80）出售，乙種襯衫售價不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？27．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，且，過點D的直線DE⊥AC交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連結(jié)AD、OE交于點G．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)BE，在（2）的條件下，求BE的長．28．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標(biāo)為（4，3）．（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若點P是拋物線上的點且在直線l上方，連接PA、PD，求當(dāng)△PAD面積最大時點P的坐標(biāo)及該面積的最大值；（3）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ＝45°，求點Q的坐標(biāo)．

2021年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）﹣2021的絕對值是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【分析】根據(jù)絕對值的定義即可得出答案．【解答】解：﹣2021的絕對值為2021，故選：B．【點評】本題考查了絕對值，掌握負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）從2021年5月26日在南昌召開的第十二屆中國衛(wèi)星導(dǎo)航年會上獲悉，至2020年，我國衛(wèi)星導(dǎo)航產(chǎn)業(yè)總值突破4000億元，年均增長20%以上，其中4000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.4×1012 B．4×1010 C．4×1011 D．0.4×1011【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．據(jù)此解答即可．【解答】解：4000億＝400000000000＝4×1011，故選：C．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．3．（3分）下列幾何體中，其主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A． B． C． D．【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．【解答】解：A．圓柱的主視圖和左視圖都是矩形，但俯視圖是一個圓形，不符合題意；B．圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓（帶圓心），不符合題意；C．長方體的三視圖都是長方形，但這些矩形的長與寬不盡相同，不符合題意；D．球的三視圖都是大小相同的圓，符合題意．故選：D．【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．4．（3分）某中學(xué)七（1）班的6位同學(xué)在課間體育活動時進(jìn)行一分鐘跳繩比賽，成績（單位：個）如下：122，146，134，146，152，121．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．152，134 B．146，146 C．146，140 D．152，140【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵146出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是146個；把這些數(shù)從小到大排列為：121，122，134，146，146，152，則中位數(shù)是＝140（個）．故選：C．【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題，掌握各知識點的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠4＝∠1，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求得∠3的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，∴∠4＝∠1＝45°，∵∠3＝∠4+∠2，∴∠3＝45°+35°＝80°．故選：C．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．6．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（2a2）4＝8a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】根據(jù)整式的加減運算法則以及乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：A、a2與a3不是同類項，故A不符合題意．B、原式＝2a3，故B符合題意．C、原式＝16a8，故C不符合題意．D、原式＝a2+2ab+b2，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（3分）在同一時刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時刻，有人測得一高為1.8m的竹竿的影長為3m，某一高樓的影長為60m，那么這幢高樓的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【分析】設(shè)此高樓的高度為x米，再根據(jù)同一時刻物高與影長成正比例出關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：設(shè)這幢高樓的高度為x米，依題意得：＝，解得：x＝36．故這幢高樓的高度為36米．故選：D．【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）函數(shù)y＝+中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣1 C．x≥2 D．x≥2且x≠﹣1【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0計算即可．【解答】解：由題意得：2﹣x≥0，x+1≠0，解得：x≤2且x≠﹣1，故選：B．【點評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為（）A．4 B．2 C．3 D．【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠BOC＝120°，過點O作OM⊥BC，然后結(jié)合，等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)分析求解．【解答】解：過點O作OM⊥BC，交BC于點M，∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，又∵OB＝OC，OM⊥BC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，MB＝MC，∴在Rt△COM中，∠OCM＝30°，∴OM＝OC＝1，CM＝OM＝，∴BC＝2CM＝2，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，理解相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．10．（3分）某商品經(jīng)過兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，已知兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（）A．20% B．25% C．30% D．36%【分析】設(shè)每次降價的百分率為x，利用經(jīng)過兩次降價后的價格＝原售價×（1﹣降價的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出每次降價的百分率．【解答】解：設(shè)每次降價的百分率為x，依題意得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合題意，舍去）．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，在邊長為a的等邊△ABC中，分別取△ABC三邊的中點A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分別取△A1B1C1三邊的中點A2，B2，C2，得△A2B2C2；這樣依次下去…，經(jīng)過第2021次操作后得△A2021B2021C2021，則△A2021B2021C2021的面積為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計算，再總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：∵點A1，B1分別為BC，AC的中點，∴AB＝2A1B1，∵點A2，B2分別為B1C1，A2C2的中點，∴A1B1＝2A2B2，∴A2B2＝（）2?a，…∴AnBn＝（）n?a，∴A2021B2021＝（）2021?a∴△A2021B2021C2021的面積＝?[（）2021?a]2＝，故選：D．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，菱形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象上，若∠BCD＝60°，則的值為（）A． B． C． D．【分析】連接AC、BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的對稱性，即可得出∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCD＝30°，解直角三角形求得tan30°＝＝，作BM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，證得△OMB∽△CNO，得到＝（）2，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得結(jié)果．【解答】解：連接AC、BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵菱形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象上，∴A與C、B與D關(guān)于原點對稱，∴AC、BD經(jīng)過點O，∴∠BOC＝90°，∵∠BCO＝∠BCD＝30°，∴tan30°＝＝，作BM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，∵∠BOM+∠NOC＝90°＝∠NOC+∠NCO，∴∠BOM＝∠NCO，∵∠OMB＝∠CNO＝90°，∴△OMB∽△CNO，∴＝（）2，∴＝，∴＝﹣，故選：D．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）分解因式：3a3﹣27ab2＝3a（a+3b）（a﹣3b）．【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝3a（a2﹣9b2）＝3a（a+3b）（a﹣3b），故答案為：3a（a+3b）（a﹣3b）．【點評】本題考查了提公因式法和平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解題的關(guān)鍵．14．（5分）有背面完全相同，正面分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，并從中隨機(jī)抽取一張，則抽中正面的圖形一定是軸對稱圖形的卡片的概率為．【分析】卡片共有5張，軸對稱圖形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根據(jù)概率公式即可得到卡片上所畫圖形恰好是軸對稱圖形的概率．【解答】解：卡片中，軸對稱圖形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根據(jù)概率公式，P（軸對稱圖形）＝．故答案為．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．15．（5分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍為a≥﹣2且a≠0．【分析】利用一元二次方程根的定義和判別式的意義得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2且a≠0．故答案為a≥﹣2且a≠0．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．16．（5分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線BD的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則線段EF的長為．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分線，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分線，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案為：．【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，共44分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟）17．（7分）計算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．【分析】先分別化簡絕對值，二次根式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，代入特殊角三角函數(shù)，然后再計算．【解答】解：原式＝6×﹣（﹣1）﹣2×1﹣4＝3﹣+1﹣2﹣4＝﹣3．【點評】本題考查實數(shù)的混合運算，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0），熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．18．（9分）如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．求證：（1）△ADE≌△BCF；（2）四邊形DECF是平行四邊形．【分析】（1）由SAS證明△ADE≌△BCF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，則∠EDC＝∠FCD，再證DE∥CF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AC＝BD，∴AC﹣CD＝BD﹣CD，即AD＝BC，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE與△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）由（1）得：△ADE≌△BCF，∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，∴∠EDC＝∠FCD，∴DE∥CF，∴四邊形DECF是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，證明△ADE≌△BCF是解題的關(guān)鍵．19．（9分）某學(xué)校為了解全校學(xué)生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校有3000名學(xué)生，估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．【分析】（1）根據(jù)動畫類人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)；（2）總?cè)藬?shù)減去其他類型人數(shù)可得體育類人數(shù)，據(jù)此補全圖形即可；（3）用樣本估計總體的思想解決問題；（4）根據(jù)題意先畫出列表，得出所有情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為15÷30%＝50（名）；（2）喜愛“體育”的人數(shù)為50﹣（4+15+18+3）＝10（名），補全圖形如下：（3）估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有3000×＝600（名）；（4）列表如下：甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）?。祝。ㄒ?，?。ū?，?。┅仼仼佀械瓤赡艿慕Y(jié)果為12種，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種結(jié)果，所以恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率為＝．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?0．（9分）在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度．如圖所示，測得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD．（結(jié)果保留根號）【分析】作BF⊥CD于點F，設(shè)DF＝x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長，在直角△DCE中表示出CE的長，然后根據(jù)BF﹣CE＝AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長．【解答】解：作BF⊥CD于點F，根據(jù)題意可得ABFC是矩形，∴CF＝AB，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，∴AB＝2，∴CF＝2，設(shè)DF＝x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，則BF＝＝x（米），在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC＝，∴EC＝（x+2）米．∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．解得：x＝4+1，則CD＝4+1+2＝（4+3）米．答：CD的高度是（4+3）米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；（3）若點P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入y＝即可求得k2，得到反比例函數(shù)的解析式，再把B（﹣2，n）代入反比例函數(shù)的解析式即可求得n的值，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象即可求得；（3）設(shè)P（x，x+1），利用三角形面積公式得到AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，根據(jù)兩點間的距離公式得到（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，然后解方程求出x即可得到P點坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直線y＝k1x+b經(jīng)過A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1；（2）觀察圖象，k1x+b＞的x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）設(shè)P（x，x+1），∵S△AOP：S△BOP＝1：4，∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P點坐標(biāo)為（，）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分.）22．（6分）若實數(shù)x滿足x2﹣x﹣1＝0，則x3﹣2x2+2021＝2020．【分析】解法一：由等式性質(zhì)可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，再將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為x?x2﹣2x2+2021，把x2＝x+1代入進(jìn)行降次后化簡，再將x2﹣x＝1整體代入計算可求解；解法二：由等式性質(zhì)可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，將代數(shù)式化為x2（x﹣2）+2021，把x2＝x+1代入進(jìn)行降次后化簡，再將x2﹣x＝1整體代入計算可求解．【解答】解法一：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，x3﹣2x2+2021＝x?x2﹣2x2+2021＝x（x+1）﹣2x2+2021＝x2+x﹣2x2+2021＝﹣x2+x+2021＝﹣1+2021＝2020．解法二：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，∴原式＝x2（x﹣2）+2021＝（x+1）（x﹣2）+2021＝x2﹣x﹣2+2021＝1﹣2+2021＝2020，故答案為2020．【點評】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，將等式轉(zhuǎn)化為x2＝x+1，x2﹣x＝1是解題的關(guān)鍵．23．（6分）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，則△ABC的面積為2或14．【分析】過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，得BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，得CD＝＝3，①△ABC是鈍角三角形時，②△ABC是銳角三角形時，分別求出AC的長，即可求解．【解答】解：過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，∴CD＝＝3，①△ABC是鈍角三角形時，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC?BD＝＝2；②△ABC是銳角三角形時，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC?BD＝×7×4＝14，故答案為：2或14．【點評】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類討論思想．24．（6分）已知非負(fù)實數(shù)a，b，c滿足＝＝，設(shè)S＝a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則的值為．【分析】設(shè)＝＝＝k，則a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，可得S＝﹣4k+14；利用a，b，c為非負(fù)實數(shù)可得k的取值范圍，從而求得m，n的值，結(jié)論可求．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，∴S＝a+2b+3c＝2k+1+2（3k+2）+3（3﹣4k）＝﹣4k+14．∵a，b，c為非負(fù)實數(shù)，∴，解得：﹣≤k≤．∴當(dāng)k＝﹣時，S取最大值，當(dāng)k＝時，S取最小值．∴m＝﹣4×（﹣）+14＝16，n＝﹣4×+14＝11．∴＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用，設(shè)＝＝＝k是解題的關(guān)鍵．25．（6分）如圖，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上．當(dāng)點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為+1．【分析】取AD的中點H，連接CH，OH，由勾股定理可求CH的長，由直角三角形的性質(zhì)可求OH的長，由三角形的三邊關(guān)系可求解．【解答】解：如圖，取AD的中點H，連接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵點H是AD的中點，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，點H是AD的中點，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，當(dāng)點H在OC上時，CO＝OH+CH，∴CO的最大值為OH+CH＝+1，故答案為：+1．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分.）26．（12分）為迎接“五一”小長假購物高潮，某品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種襯衫，其中甲、乙兩種襯衫的進(jìn)價和售價如下表：襯衫價格甲乙進(jìn)價（元/件）mm﹣10售價（元/件）260180若用3000元購進(jìn)甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進(jìn)乙種襯衫的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種襯衫每件的進(jìn)價；（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種襯衫共300件的總利潤不少于34000元，且不超過34700元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案；（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種襯衫進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種襯衫每件優(yōu)惠a元（60＜a＜80）出售，乙種襯衫售價不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？【分析】（1）用總價除以單價表示出購進(jìn)襯衫的數(shù)量，根據(jù)兩種襯衫的數(shù)量相等列出方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)甲種襯衫x件，表示出乙種襯衫（300﹣x）件，然后根據(jù)總利潤列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據(jù)襯衫的件數(shù)是正整數(shù)解答；（3）設(shè)總利潤為W，根據(jù)總利潤等于兩種襯衫的利潤之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分情況討論求解即可．【解答】解：（1）依題意得：＝，整理，得：3000（m﹣10）＝2700m，解得：m＝100，經(jīng)檢驗，m＝100是原方程的根，答：甲種襯衫每件進(jìn)價100元，乙種襯衫每件進(jìn)價90元；（2）設(shè)購進(jìn)甲種襯衫x件，乙種襯衫（300﹣x）件，根據(jù)題意得：，解得：100≤x≤110，∵x為整數(shù)，110﹣100+1＝11，答：共有11種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)總利潤為w，則w＝（260﹣100﹣a）x+（180﹣90）（300﹣x）＝（70﹣a）x+27000（100≤x≤110），①當(dāng)60＜a＜70時，70﹣a＞0，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝110時，w最大，此時應(yīng)購進(jìn)甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；②當(dāng)a＝70時，70﹣a＝0，w＝27000，（2）中所有方案獲利都一樣，③當(dāng)70＜a＜80時，70﹣a＜0，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝100時，w最大，此時應(yīng)購進(jìn)甲種襯衫100件，乙種襯衫200件；綜上：當(dāng)60＜a＜70時，應(yīng)購進(jìn)甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；當(dāng)a＝70時，（2）中所有方案獲利都一樣；當(dāng)70＜a＜80時，應(yīng)購進(jìn)甲種襯衫100件，乙種襯衫200件．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系，（3）要根據(jù)一次項系數(shù)的情況分情況討論．27．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，且，過點D的直線DE⊥AC交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連結(jié)AD、OE交于點G．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)BE，在（2）的條件下，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧所對的圓周角相等得到∠CAD＝∠DAB，根據(jù)等邊對等角得到∠DAB＝∠ODA，則∠CAD＝∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE＝3，AD＝2，解直角三角形得到∠DAB＝30°，則∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，DF＝2，再根據(jù)S陰影＝S△DOF﹣S扇形DOB即可得解；（3）過點E作EM⊥AB于點M，連接BE，解直角三角形得到AM＝，EM＝，則MB＝，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵＝，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵OD∥AE，∴△OGD∽△EGA，∴＝，