第八章 模型4用臨界思想速解取值范圍問(wèn)題模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)模型4

用臨界思想速解取值范圍問(wèn)題【問(wèn)題背景】“臨界狀態(tài)”一般可以認(rèn)為是從一種狀態(tài)向另一種狀態(tài)變化過(guò)程中，發(fā)生轉(zhuǎn)變時(shí)的那一“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的“極限”狀態(tài)（位置）．在解決具有一定制約關(guān)系的相關(guān)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常運(yùn)用“臨界狀態(tài)”，即研究問(wèn)題中的某變量變化到某一狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)“轉(zhuǎn)折”或者“極限”的時(shí)刻，把動(dòng)態(tài)變化（或不定量）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題（或定量）問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算、事半功倍的解題效果．【解決方法】【典例1】（2024湖南長(zhǎng)沙一中9月開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，，分別為左、右頂點(diǎn)，P為C右支上的點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若直線PF與以線段為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為（）A．

B．

C．

D．【套用模型】如圖1，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，則，則，P為C右支上的點(diǎn)，取PF的中點(diǎn)為B，連接OB，則．圖1第一步：整體審題，根據(jù)題目的條件和設(shè)問(wèn)，分析變量的變化過(guò)程（狀態(tài)），確定“臨界點(diǎn)”根據(jù)題目的條件和設(shè)問(wèn)，確定本題中有兩個(gè)“臨界點(diǎn)”.第二步：分析變量在“臨界點(diǎn)”附近“形”的變化形式，從而確定“臨界點(diǎn)”及“臨界值”．若直線PF恰好與以線段為直徑的圓相切于B點(diǎn)，【破瓶頸】找兩個(gè)臨界點(diǎn)，直線與圓O相切和圓O經(jīng)過(guò)，F(xiàn)，P點(diǎn)，這兩個(gè)臨界點(diǎn)都取不到，對(duì)應(yīng)的雙曲線離心率也都不能取到則，即，根據(jù)雙曲線的定義得，又，所以，即，此時(shí)離心率為．考慮極限情況，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)，F(xiàn)，P點(diǎn)，則，離心率．第三步：根據(jù)“臨界值”，確定題設(shè)問(wèn)題的答案．由以上可知，直線PF與以線段為直徑的圓相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是，故選D．【典例2】（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.【套用模型】依題意可知，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意．第一步：整體審題，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系，確定“臨界點(diǎn)”．由上可知，當(dāng)函數(shù)與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以．第二步：確定“臨界值”．又，所以，，此時(shí)，【破瓶頸】函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象是同一直線，都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以直線方程也是一樣的第三步：根據(jù)“臨界值”，確定題設(shè)問(wèn)題的答案．所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，．所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【典例3】（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【套用模型】依題意，恒成立，即恒成立．令，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)的圖象相交，不合題意．第一步：整體審題，根據(jù)題目的條件和設(shè)問(wèn)，分析變量的變化過(guò)程，確定“臨界點(diǎn)”．當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，【指點(diǎn)迷津】要符合要求，則需使函數(shù)的圖象不在函數(shù)的圖象下方，那么臨界點(diǎn)即兩個(gè)函數(shù)的圖象相切時(shí)的情形，此時(shí)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線就是的圖象，切線方程為．第二步：確定“臨界值”．又函數(shù)的圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線，將代入切線方程，則有，得，.第三步：根據(jù)“臨界值”，確定題設(shè)問(wèn)題的答案．，故當(dāng)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2024·廣東·一模）1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．（2023·山西·一模）2．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作x軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，已知，，點(diǎn)P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·吉林·二模）3．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．（22-23高三上·浙江臺(tái)州·期末）4．已知函數(shù)若函數(shù)在恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．（22-23高三上·河南·階段練習(xí)）5．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·北京昌平·二模）6．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）7．已知斜率為3的直線l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)，且與C的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C．（1,3） D．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）8．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（22-23高三下·河北衡水·階段練習(xí)）9．已知函數(shù)若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·湖南·一模）10．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·重慶·三模）11．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）12．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·云南昆明·一模）13．已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．（22-23高三上·安徽滁州·階段練習(xí)）14．定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①對(duì)任意的恒有成立；②當(dāng)時(shí)，.記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．D【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件解出，，根據(jù)焦半徑的取值范圍即可解出離心率范圍，再結(jié)合橢圓離心率，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以有，故，，因?yàn)?，既有，，解得，又因?yàn)闄E圓離心率，所以.故選：2．B【分析】將代入雙曲線方程，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由，結(jié)合和離心率公式可得的范圍，再由雙曲線的定義，討論共線時(shí)，取得最小值，結(jié)合離心率公式可得的范圍，再由，取交集可求得結(jié)果【詳解】解：令代入雙曲線的方程可得.由，可得，即為，即有①.又恒成立，只要求出的最小值即可.由雙曲線的定義，可得，，即由共線時(shí)，取得最小值，可得，即有②，由，結(jié)合①②可得，e的范圍是.故選:B.3．A【解析】首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時(shí)，，之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時(shí)，，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下，而函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.4．A【分析】先作函數(shù)圖象，再旋轉(zhuǎn)直線，觀察確定滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)在恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如下圖，的圖象是過(guò)定點(diǎn)斜率為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)直線與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，直線在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，斜率在內(nèi)變化，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A5．D【分析】設(shè)，則函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)的直線，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象，要使不等式恒成立，函數(shù)圖象需在函數(shù)圖象的下方，進(jìn)而分類(lèi)討論得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)的直線，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象，如下圖所示：不等式恒成立，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方.結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，需滿足當(dāng)時(shí)，，時(shí)，解得.綜上可得，.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的求解，分類(lèi)討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.6．C【詳解】恰有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，同一坐標(biāo)系，畫(huà)出與的圖象，直線過(guò)時(shí)，，直線與，相切時(shí)，由圖知，時(shí)，兩圖象有兩交點(diǎn)，即的取值范圍是，故選C.【方法點(diǎn)睛】根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法：①直接法：可利用判別式的正負(fù)直接判定一元二次方程根的個(gè)數(shù)；②轉(zhuǎn)化法：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是方程根的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；③數(shù)形結(jié)合法：一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.本題的解答就利用了方法③.7．B【分析】法一：設(shè)直線與曲線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解；法二：利用漸近線與雙曲線的關(guān)系直接求解.【詳解】法一：設(shè)直線方程，與聯(lián)立得，設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即，離心率;法二：易知漸近線方程為,由題意得，離心率，故選:B.8．A【分析】不等式在上恒成立的兩個(gè)臨界狀態(tài)是與相切和與相切時(shí)，故求兩種狀態(tài)下的值，即可得的取值范圍．【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖像如圖所示.在上恒成立即函數(shù)的圖像恒在直線的圖像的下方，且直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，，可得，解得，則直線斜率為，即；當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)由，得，令，得或（舍），所以由圖像可知故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．9．A【分析】作出和的圖象，由題意可得不等式等價(jià)為的圖象在圖象的下方，通過(guò)圖象觀察可得所求范圍．【詳解】作出函數(shù)的圖象，以及函數(shù)|的圖象，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的恒成立，即為的圖象在的圖象的下方，由圖象可得時(shí)，的圖象在的圖象的下方，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，以及圖象平移特點(diǎn)，屬于中檔題．10．D【解析】由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.11．B【分析】由恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，根據(jù)在的值域以及函數(shù)特征，得，利用分離參數(shù)再討論在恒成立時(shí)，的取值范圍，即可求解.【詳解】由，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即有，時(shí)，恒成立，則，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在恒成立，即在恒成立，所以，綜上，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及不等式恒成立問(wèn)題，分類(lèi)討論和分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12．D【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即函數(shù)的圖象在直線的上方，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即函數(shù)的圖象在直線的上方，如圖，考慮直線與二次函數(shù)相切，，解得或，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題的求解方法，考查函數(shù)的圖象的作法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.13．B【分析】先畫(huà)出函數(shù)圖象，再取特殊值運(yùn)用排除法求解.【詳解】作出的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，由圖知，合題意，排除選項(xiàng)C、D；當(dāng)時(shí)，由圖知不恒成立，排除故選A.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式及圖象、不等式恒成立、數(shù)形結(jié)合思想及選擇題的特殊值法，屬于難題．特殊值法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見(jiàn)的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:（1）求值問(wèn)題（可將選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證）；（2）求范圍問(wèn)題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問(wèn)題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和公式問(wèn)題等等．14．D【解析】求出的解析式，作出的圖象，與兩個(gè)函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得的取值