二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問題)

二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問題) 個性化學(xué)案二次函數(shù)綜合應(yīng)用題（拱橋問題）適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級初中三年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60知識點二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.掌握二次函數(shù)解析式求法。2學(xué)會用二次函數(shù)知識解決實際問題，掌握數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)一步熟悉，點坐標(biāo)和線段之間的轉(zhuǎn)化。3.進(jìn)一步體驗應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的過程，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。教學(xué)重點1.從實際問題中抽象出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并能理解坐標(biāo)系中點坐標(biāo)和線段之間關(guān)系；

2.根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)教學(xué)難點如何根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并判斷直角坐標(biāo)系建立的優(yōu)劣。教學(xué)過程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)平時的時候我們能夠看到小船可以從橋的下面通過，但是當(dāng)夏天雨季到來，水平面上升，這時小船還能從橋的下面通過嗎？對于這樣的問題我們可以利用我們所學(xué)的二次函數(shù)來解決。這節(jié)我們就看二次函數(shù)解決拱橋問題。二、知識講解考點/易錯點1：二次函數(shù)解析式的形式1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）2、頂點式：y=a(x-h)2+k（a≠0）頂點坐標(biāo)（h，k）直線x=h為對稱軸，k為頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，也是二次函數(shù)的最值3、雙根式：y=a(x-)(x-)（a≠0）(,是拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo))并不是什么時候都能用雙根式，當(dāng)拋物線與x軸有交點時才行4、頂點在原點：5、過原點：6、頂點在y軸：考點/易錯點2：建立平面直角坐標(biāo)系在給定的直角坐標(biāo)系,中會根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置2、能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,描述物體的位置。三、例題精析【例題1】【題干】有一座拋物線形拱橋，正常水位時，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達(dá)式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（m）時，橋下水面的寬度為d（m），求出將d表示為h的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)正常水位時橋下的水深為2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行．【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，且過點（10，－4）∴故（2）設(shè)水位上升hm時，水面與拋物線交于點（）則∴（3）當(dāng)d＝18時，∴當(dāng)水深超過2.76m時會影響過往船只在橋下順利航行?！窘馕觥宽旤c式：y=a（x-h）+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)．【例題2】【題干】如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將達(dá)到警戒線CD，這時水面的寬為8m.若洪水到來，水位以每小時0.1m速度上升，經(jīng)過多少小時會達(dá)到拱頂?【答案】解：以AB所在的直線為x軸,AB中點為原點，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點E在y軸上,且B、D兩點的坐標(biāo)分別為（5，0）、（4，2）設(shè)拋物線為y=ax2+k.

由B、D兩點在拋物線上，有

解這個方程組，得

所以，

頂點的坐標(biāo)為（0，）則OE=÷0.1=（h）

所以，若洪水到來，水位以每小時0.1m速度上升，經(jīng)過小時會達(dá)到拱頂.【解析】以AB所在的直線為x軸,AB中點為原點，建立直角坐標(biāo)系，求出解析式【例題3】【題干】如圖是拋物線拱橋，已知水位在AB位置時，水面寬，水位上升3m，達(dá)到警戒線CD，這時水面寬．若洪水到來時，水位以每小時0.25m的速度上升，求水過警戒線后幾小時淹到拱橋頂？OOxCXyDBAEF【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2＋h又知B(2，0)，D(2，3)∴解得：∴y＝－x2＋6∴E(0，6)即OE＝6EF＝OE－OF＝3t＝＝＝12(小時)答：水過警戒線后12小時淹到拱橋頂．【解析】建立直角坐標(biāo)系，求出解析式四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越強(qiáng)．(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增加？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？（2）第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？（3）第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？【鞏固】1、有一座拋物線形拱橋，拋物線可用y=表示．在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時，水面CD的寬是10m．

(1)在正常水位時，有一艘寬8m、高2.5m的小船，它能通過這座橋嗎?(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計)．貨車正以每小時40km的速度開往乙地，當(dāng)行駛1小時時，忽然接到緊急通過:前方連降暴雨，造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點O時，禁止車輛通行)．試問:如果貨車按原來的速度行駛，能否安全通過此橋?若能，請說明理由．若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時多少千米?

【拔高】1、一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時，涵洞頂點與水面的距離為2.4m。這時，離開水面1.5m處，涵洞寬ED是多少?是否會超過1m?．五、課程小結(jié)用函數(shù)的觀點來認(rèn)識問題，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題；

（2）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，

建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題；（3）找到兩個變量之間的關(guān)系；

掌握數(shù)形結(jié)合思想；

（4）從拱橋問題中體會到函數(shù)模型對解決實際問題的價值．感受數(shù)學(xué)在生活實際中使用六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)】如圖