二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問(wèn)題)

二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問(wèn)題) 個(gè)性化學(xué)案二次函數(shù)綜合應(yīng)用題（拱橋問(wèn)題）適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.掌握二次函數(shù)解析式求法。2學(xué)會(huì)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)一步熟悉，點(diǎn)坐標(biāo)和線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)化。3.進(jìn)一步體驗(yàn)應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)1.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并能理解坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和線(xiàn)段之間關(guān)系；

2.根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并將有關(guān)線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)如何根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并判斷直角坐標(biāo)系建立的優(yōu)劣。教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)平時(shí)的時(shí)候我們能夠看到小船可以從橋的下面通過(guò)，但是當(dāng)夏天雨季到來(lái)，水平面上升，這時(shí)小船還能從橋的下面通過(guò)嗎？對(duì)于這樣的問(wèn)題我們可以利用我們所學(xué)的二次函數(shù)來(lái)解決。這節(jié)我們就看二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題。二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1：二次函數(shù)解析式的形式1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）2、頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a≠0）頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）直線(xiàn)x=h為對(duì)稱(chēng)軸，k為頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，也是二次函數(shù)的最值3、雙根式：y=a(x-)(x-)（a≠0）(,是拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))并不是什么時(shí)候都能用雙根式，當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)時(shí)才行4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)：5、過(guò)原點(diǎn)：6、頂點(diǎn)在y軸：考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2：建立平面直角坐標(biāo)系在給定的直角坐標(biāo)系,中會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置2、能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,描述物體的位置。三、例題精析【例題1】【題干】有一座拋物線(xiàn)形拱橋，正常水位時(shí)，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（m）時(shí)，橋下水面的寬度為d（m），求出將d表示為h的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m，為保證過(guò)往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過(guò)多少米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在橋下的順利航行．【答案】（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2，且過(guò)點(diǎn)（10，－4）∴故（2）設(shè)水位上升hm時(shí)，水面與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)（）則∴（3）當(dāng)d＝18時(shí)，∴當(dāng)水深超過(guò)2.76m時(shí)會(huì)影響過(guò)往船只在橋下順利航行?！窘馕觥宽旤c(diǎn)式：y=a（x-h）+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)．【例題2】【題干】如圖，有一座拋物線(xiàn)形的拱橋，橋下面處在目前的水位時(shí)，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將達(dá)到警戒線(xiàn)CD，這時(shí)水面的寬為8m.若洪水到來(lái)，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂?【答案】解：以AB所在的直線(xiàn)為x軸,AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)E在y軸上,且B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5，0）、（4，2）設(shè)拋物線(xiàn)為y=ax2+k.

由B、D兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，有

解這個(gè)方程組，得

所以，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）則OE=÷0.1=（h）

所以，若洪水到來(lái)，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過(guò)小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂.【解析】以AB所在的直線(xiàn)為x軸,AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求出解析式【例題3】【題干】如圖是拋物線(xiàn)拱橋，已知水位在AB位置時(shí)，水面寬，水位上升3m，達(dá)到警戒線(xiàn)CD，這時(shí)水面寬．若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.25m的速度上升，求水過(guò)警戒線(xiàn)后幾小時(shí)淹到拱橋頂？OOxCXyDBAEF【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：y＝ax2＋h又知B(2，0)，D(2，3)∴解得：∴y＝－x2＋6∴E(0，6)即OE＝6EF＝OE－OF＝3t＝＝＝12(小時(shí))答：水過(guò)警戒線(xiàn)后12小時(shí)淹到拱橋頂．【解析】建立直角坐標(biāo)系，求出解析式四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越強(qiáng)．(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增加？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？（2）第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？（3）第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？【鞏固】1、有一座拋物線(xiàn)形拱橋，拋物線(xiàn)可用y=表示．在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m．

(1)在正常水位時(shí)，有一艘寬8m、高2.5m的小船，它能通過(guò)這座橋嗎?(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車(chē)從甲地出發(fā)需經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地，已知甲地距此橋280km(橋長(zhǎng)忽略不計(jì))．貨車(chē)正以每小時(shí)40km的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通過(guò):前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車(chē)接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車(chē)輛通行)．試問(wèn):如果貨車(chē)按原來(lái)的速度行駛，能否安全通過(guò)此橋?若能，請(qǐng)說(shuō)明理由．若不能，要使貨車(chē)安全通過(guò)此橋，速度應(yīng)超過(guò)每小時(shí)多少千米?

【拔高】1、一個(gè)涵洞成拋物線(xiàn)形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開(kāi)水面1.5m處，涵洞寬ED是多少?是否會(huì)超過(guò)1m?．五、課程小結(jié)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題；

（2）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，

建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題；（3）找到兩個(gè)變量之間的關(guān)系；

掌握數(shù)形結(jié)合思想；

（4）從拱橋問(wèn)題中體會(huì)到函數(shù)模型對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值．感受數(shù)學(xué)在生活實(shí)際中使用六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)】如圖