【分類討論在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究6400字（論文）】

第第頁(yè)共8頁(yè)分類討論在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究摘要數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)的靈魂，也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的保證。根據(jù)新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)思維的主要方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的主要部分。分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想之一，在數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合和整理中起著不可替代的作用。分類討論的理念不僅可以幫助學(xué)生有效地理解和構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，為數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化，闡明和組織復(fù)雜的問題。幫助學(xué)生解決問題并提高他們的數(shù)學(xué)思維水平。本文簡(jiǎn)要討論了分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。它簡(jiǎn)要討論了在高中集合、一些初等函數(shù)、等比數(shù)列的求和等數(shù)列以及初中的不等式、幾何問題中常見需要分類討論的問題，一些不確定的條件或結(jié)論引起的分類討論。對(duì)于初中和高中的一些數(shù)學(xué)難題，通過(guò)從大到小，從整體到一般，從一般到特殊的問題進(jìn)行分類和討論，是解決問題的有效途徑。當(dāng)面對(duì)不同級(jí)別的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們?nèi)绾尾拍芮擅畹剡\(yùn)用分類討論的思想，使學(xué)生能夠理解所有數(shù)學(xué)問題的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。關(guān)鍵字：中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論教學(xué)應(yīng)用目錄第一章緒論 6第一節(jié)分類討論的概述 6第二章分類討論思想的相關(guān)理論分析 7第一節(jié)分類討論的概念 7第二節(jié)引起分類討論的原因 7第三節(jié)分類討論的解題步驟 8第三章分類討論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 8第一節(jié)高中集合問題 8第二節(jié)高中函數(shù)問題 9第三節(jié)高中數(shù)列問題 10第四節(jié)分類討論在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 11第五節(jié)如何簡(jiǎn)化分類討論 12第四章結(jié)論與研究 13第一節(jié)結(jié)論 13第二節(jié)后續(xù)研究 14參考文獻(xiàn) 14第一章緒論第一節(jié)分類討論的概述馬克思主義告知我們，同一對(duì)象在不同階段的需求需要逐步分析。需要對(duì)不同事物的需求進(jìn)行詳細(xì)分析，并且同一事物的相同需求在各個(gè)方面都是不同的。因此，對(duì)特定問題的特定分析天然就是我們數(shù)學(xué)領(lǐng)域中至關(guān)重要的分類討論思想。數(shù)學(xué)結(jié)論的特殊性和數(shù)學(xué)方法的局限性就是導(dǎo)致我們目前面臨的數(shù)學(xué)問題的主要原因。一些問題的結(jié)論是不確定的，某些問題的結(jié)論在解決問題中具有多種形式，并且某些問題包含參數(shù)。綜上所述，我們的問題解決方法是將不確定條件根據(jù)一定的轉(zhuǎn)換方法分為確定的類別，將各種形式根據(jù)一定的屬性分為幾種類別。唯一的形式是劃分要研究的問題。根據(jù)主題需求將其分為幾類，將每個(gè)類別轉(zhuǎn)換為每個(gè)要解決的小問題，并通過(guò)歸納和總結(jié)來(lái)解決問題。這是分類討論的思想。建立分類討論的前提和適用范圍是在現(xiàn)實(shí)生活中產(chǎn)生的。許多問題很復(fù)雜，許多情況是多種多樣的，甚至結(jié)果是不確定的。正是由于這些不確定性，它們無(wú)法統(tǒng)一。我們必須敬重對(duì)象的多樣性，我們必須更準(zhǔn)確地表達(dá)豐富多彩的數(shù)學(xué)情況。分類思想，概括思想和化歸思想等都是人們幾千年前關(guān)于數(shù)學(xué)思想智慧的體現(xiàn)。我們必須站在高個(gè)子的肩膀上，再次對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行深造。有許多不同形式的數(shù)學(xué)問題，有些是探索性問題，有些是邏輯問題，有些則更全面。解決這些數(shù)學(xué)問題需要學(xué)習(xí)者具有一定水準(zhǔn)的邏輯思維能力，并且掌握這種方法還可以磨練他們的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯思維能力。首先，將每個(gè)細(xì)分并按類別進(jìn)行討論，分成幾部分，進(jìn)行歸納總結(jié)。結(jié)果的表達(dá)可以在各節(jié)中進(jìn)行描述，這是分類的最主要邏輯。在數(shù)學(xué)講習(xí)中，講好所需要的基礎(chǔ)知識(shí)是貫穿教室中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方法的亮線，而運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法學(xué)習(xí)則是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的暗線。自從學(xué)生走出校園以來(lái)，他們通常所學(xué)的知識(shí)不會(huì)存在很長(zhǎng)時(shí)間，但是數(shù)學(xué)思維方法始終可以牢記在心。實(shí)際上，在任何教學(xué)活動(dòng)中，所有過(guò)程都是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維方法則是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)和提高索要經(jīng)歷主要?dú)v程。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，如何能巧妙的利用分類討論是一種十分重要的思維方式。分類討論是中學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思維方法之一。它可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，并且在適當(dāng)分類的情況下，避免出現(xiàn)缺失解。它還可以提高學(xué)生全面分析和解決問題的能力，并幫助學(xué)生獲得嚴(yán)格而認(rèn)真的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。分類討論的思想貫穿于我們的中學(xué)學(xué)習(xí)。眾所周知，這是我們學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法之一。在使用分類討論解決問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)對(duì)分類討論思想運(yùn)用的熟練且自如。不能正確的運(yùn)用好分類討論就不可能學(xué)好數(shù)學(xué)，在初高中教學(xué)中，分類討論擁有十分重要的內(nèi)容。通過(guò)對(duì)有關(guān)分類討論思想方法的文件研究和分析，聯(lián)合我們自身的講習(xí)履歷，我們發(fā)覺分類具有的三個(gè)元素：被討論的對(duì)象;討論后所標(biāo)準(zhǔn)得出的類概念;分類的方法。朱成杰指出，科學(xué)分類的重要標(biāo)準(zhǔn)是必須力所能及的把需要進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)對(duì)象，做到不重復(fù)，無(wú)遺漏的分類。下面就對(duì)于引起分類討論的元素和分類討論的解題步驟開展討論。第二章分類討論思想的相關(guān)理論分析第一節(jié)分類討論的概念分類討論思維是一種基本的解決問題的思維方式，它是一種對(duì)數(shù)學(xué)中難以解決問題簡(jiǎn)潔化的思維過(guò)程，它將要探討的數(shù)學(xué)對(duì)象按照要求將其分成幾個(gè)不同的種別，然后針對(duì)每個(gè)類別進(jìn)行研究以解決問題。當(dāng)無(wú)法根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象基本屬性的異同點(diǎn)，按照規(guī)定的原則或規(guī)定的要求，用相同的方式處理問題或以相同的形式表示和推廣問題時(shí)，在此基礎(chǔ)上，將對(duì)象分成相互關(guān)聯(lián)的幾個(gè)部分，并逐級(jí)展開討論。最后，總結(jié)了幾個(gè)部分的結(jié)論，以解開這個(gè)問題的謎底。分類討論的本質(zhì)是對(duì)復(fù)雜的問題降低其解題難度，將一個(gè)復(fù)雜的問題分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題，然后進(jìn)行將問題逐步解決。第二節(jié)引起分類討論的原因分類討論思想對(duì)于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是十分重要的。對(duì)于初高中階段用分類討論思想來(lái)解決的題目，主要因由可以概括為下面幾個(gè)方面:1.概念本身是分類定義的。如絕對(duì)值等。2.題目中有關(guān)的數(shù)學(xué)定律、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是有前提或范圍限制的，又或者是因?yàn)榉诸愃o出的。3.當(dāng)面對(duì)含有字母系數(shù)(參數(shù))的問題時(shí)，需要對(duì)該字母系數(shù)（參數(shù)）的不同取值范圍進(jìn)行討論。4.某些無(wú)法確定的數(shù)目、不確定的圖形的箱子或所處的地方，不確定的定論等都要展開分類討論的。第三節(jié)分類討論的解題步驟分類討論有關(guān)的題目通常與開放鉆探性題目結(jié)合在一起。無(wú)論你是在分類中展開鉆探研究還是在鉆探中展開分類，你都必須要具有牢固的知識(shí)底子和活躍的思維方式，這樣你在應(yīng)對(duì)題目時(shí)應(yīng)全方位的思考和協(xié)調(diào)，切記以偏概全。通常面對(duì)需要解決的有關(guān)分類討論型的問題-般步驟是:1確定分類對(duì)象。2.對(duì)問題中的某些條件展開適當(dāng)分類(需要理清分類的邊界,確保分類的標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)，無(wú)遺漏。）3.逐類進(jìn)行討論。(有時(shí)分類并不是-次成功的，還要展開逐級(jí)分類，對(duì)于不同級(jí)的分類，其分類的要求并不是一致的）。4.總結(jié)各種討論的成果，并將其概括以得出最終答案。當(dāng)使用分類討論思想解決問題時(shí)，有必要保證在正確的基礎(chǔ)上盡可能縮減問題所需要的分類，以簡(jiǎn)化難以解決的題目的過(guò)程。第三章分類討論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用第一節(jié)高中集合問題在高中有關(guān)集合方面知識(shí)里面有很多實(shí)例而體現(xiàn)出了分類討論。比如對(duì)于問題中給的兩個(gè)集合，在集合內(nèi)經(jīng)常性含有未知的參數(shù)，由于集合的之間的相互聯(lián)系要討論集合是不是存在空集的情況。對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，做這些問題最容易忘記的就是是不是考慮到了存在空集，所以學(xué)習(xí)者運(yùn)用好分類討論來(lái)解決問題是十分重要的。集合作為在高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中根本的知識(shí)，其中容納的有關(guān)數(shù)學(xué)的思維方式也是學(xué)習(xí)者們必需要牢記的。集合章節(jié)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始，不僅僅是為了以后的的學(xué)習(xí)打下底子，更是為了讓學(xué)習(xí)者更好的掌握后面的知識(shí)。高中時(shí)期有關(guān)于集合的知識(shí)有很多例子，它們大部分都反映了分類討論思想。例如，對(duì)于標(biāo)題中給予的兩個(gè)集合，這兩個(gè)集合中經(jīng)常有未知量。此時(shí)，根據(jù)集合的包含關(guān)系，有必要對(duì)集合是不是空集展開討論。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，做這些問題時(shí)最容易忘記的是考慮空集，因此學(xué)生有必要使用分類討論來(lái)解決問題。作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，這方面的有關(guān)課程包含學(xué)習(xí)者必須掌握的數(shù)學(xué)思想。作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開端“集合”一章為以后的學(xué)習(xí)和學(xué)生更好地學(xué)習(xí)以下知識(shí)奠定了基礎(chǔ)。例：已知集合，,若是的子集,求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析:由于空集是所有集合的子集，并且是任何非空集合的真子集，因此當(dāng)關(guān)系倆個(gè)集合之間的關(guān)系時(shí)，必須為空集賦予優(yōu)先級(jí)，并且不能將其忽略。但是學(xué)生通常會(huì)傾向于少談?wù)摽占鴮?dǎo)致犯錯(cuò)誤。另外，當(dāng)集合在數(shù)字線上分為兩個(gè)部分時(shí)。且當(dāng)不是空集時(shí)，請(qǐng)注意討論中的哪一部分是處于集合中的。如果該集合為不等式解集，則在涉及未知量的題目時(shí)，使用數(shù)字軸或維恩圖更為簡(jiǎn)單明了。解：有題目可知：存在兩種情況為空集時(shí)，不為空集時(shí)，解之，得第二節(jié)高中函數(shù)問題函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重。為了搞定函數(shù)題目，如何運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)方法可以做到速戰(zhàn)速?zèng)Q。在這些思維方式中，最常用的方式就是對(duì)我題目展開討論。對(duì)于有關(guān)函數(shù)類題目時(shí)，利用分類討論的方法可以將高難度題目化為低難度的題目，而結(jié)合更多的思維方式則更有益于題目的解決。在高中數(shù)學(xué)中的每一個(gè)函數(shù)都有屬于自己的方程式。在某些問題上，出題者經(jīng)常在這些方程式中參含一些未知量。為了解決函數(shù)中的不等式，求解方程式的根和其他問題，都需要對(duì)函數(shù)中未知量或未知量的值展開討論。在求解不等式時(shí)，對(duì)自變量的值展開討論以解決不等式，之后再合并得到的結(jié)論，這就是所需的不等式的解集。在一元二次函數(shù)問題中，更典型的是確定函數(shù)的根和系數(shù)之間的聯(lián)系。在研究完一元二次方程的系數(shù)后，可以確定函數(shù)的根是否存在以及根的數(shù)量。在高中數(shù)學(xué)考試中，對(duì)于未知量不同的確定根的數(shù)量也非常普遍。對(duì)于高中的諸多函數(shù)，學(xué)習(xí)者們經(jīng)常利用分類討論來(lái)解決相應(yīng)的題目，對(duì)各類函數(shù)中的未知量展開分類討論，以保證從每個(gè)鉆研目標(biāo)的角度深入理解題目，并保證解決題目的正確性。例3已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，記作，求的函數(shù)表達(dá)式．解：將原方程配方可得其對(duì)稱軸方程為，⑴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上遞增，在時(shí)，；⑵當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在處有最小值，第三節(jié)高中數(shù)列問題對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的一系列題目，分類討論思想的運(yùn)用非常普遍，它可以解決與數(shù)列有關(guān)的題目。例如，對(duì)于已知的第一項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，為了解出前個(gè)項(xiàng)的和，有必要對(duì)公比和的大小之間的相關(guān)性進(jìn)行分類求解。當(dāng)公比為時(shí)，前個(gè)項(xiàng)的總和是個(gè)首項(xiàng)的總和：當(dāng)公比不為時(shí)，前個(gè)項(xiàng)的總和是第一個(gè)項(xiàng)減去第個(gè)項(xiàng)與公比的乘積，然后除以與公比的差。在計(jì)算等比的前個(gè)項(xiàng)的總和時(shí)，經(jīng)常性的忽略公比就是的情況。應(yīng)用分類討論思想來(lái)解決該題目時(shí)將有助于全面思量該題目。某些數(shù)列都具備自己的數(shù)學(xué)定律，其中我們經(jīng)常碰到奇偶項(xiàng)的不同規(guī)則。此時(shí)，有必要對(duì)數(shù)列的奇偶項(xiàng)展開討論。當(dāng)碰到數(shù)列題目時(shí)，你應(yīng)思量其中的分類討論的運(yùn)用，并感悟和理解其中包含的數(shù)學(xué)分類思想。例已知數(shù)列求它的前項(xiàng)和。分析：本題并沒有說(shuō)明數(shù)列時(shí)等比數(shù)列，所以分類討論時(shí)還要思考這一情況解設(shè)，⑴當(dāng)時(shí)，；⑵當(dāng)時(shí)，；⑶當(dāng)且時(shí)，由，得，兩式相減:，．綜上所述：對(duì)于問題中存在一些不明確的問題前提，結(jié)論或圖形，通常需要通過(guò)分類討論來(lái)解決這些題目，以防止方案解決的不完整。例如，標(biāo)題中的三角形是不是直角，條件方程或不等式包含未知量，而求解的結(jié)果包含不明確未知量。這些都是需要分類討論來(lái)解決的題目。在高中數(shù)學(xué)題目里，你將遇到帶有未知量的既定函數(shù)方程，問你是被否知道它代表的曲線？這些類型的主題都是有關(guān)于它們使用分類討論的思想來(lái)確定不同的圖形非常典型的示例。從這些主題可以看出，在分類討論過(guò)程中不能省略或重復(fù)分類。從初步規(guī)定分類的所有范圍，到規(guī)定分類的標(biāo)準(zhǔn)，展開適當(dāng)?shù)姆诸悾M(jìn)行全方位詳細(xì)的分類，然后得出所有分類的最終結(jié)果，最后對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行總結(jié)獲得問題情況的所有解決方案，以便獲得全面而詳盡的答案。第四節(jié)分類討論在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分類討論會(huì)經(jīng)常性的出現(xiàn)。應(yīng)用分類討論來(lái)解決題目需要學(xué)生擁有更高解題能力。除了在課堂中滲透和完善外，還必須有目的地加強(qiáng)在日常生活中運(yùn)用這種思維方式的時(shí)機(jī)?？朔俜诸愑懻摃r(shí)的隨機(jī)性和盲目性，提升學(xué)習(xí)者對(duì)利用數(shù)學(xué)思維解決問題的高闊利用。接下來(lái)我將主要以不等式和幾何問題展開詳細(xì)說(shuō)明：例：解不等式分析：解此不等式是需要考慮兩邊是否同正，只有在同正的情況下，我們才可以去掉根號(hào)，否則我們需要考慮同時(shí)平方時(shí)不等號(hào)的方向是否變化，因此根據(jù)運(yùn)算展開分類討論。解：原不等式可化為（1）時(shí)，或（2）時(shí)；則可以解得，或。則原不等式解集為。例：線段與平面平行，平面的斜線與平面所稱的角分別且，，，求與平面的距離。分析：作，垂足為，則即為所求距離．作，垂足為，，由已知可證面，同理可證面，面面，由面面平行的性質(zhì)定理可知．但是由于考慮到在的不同側(cè)的情況，所以對(duì)這類題目我們有必要對(duì)這個(gè)題目?jī)煞N情況展開討論。解：⑴在的同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由已知，。設(shè)，則可用表示，在中，利用勾股定理列方程，解得。⑵在異側(cè)時(shí)，在平面內(nèi)作，交其延長(zhǎng)線于，同理可得。第五節(jié)如何簡(jiǎn)化分類討論分類討論是解決問題的重要策略，但它不是萬(wàn)能的，也不是唯一的。對(duì)于分類討論的題目，在了解和掌握分類討論的同時(shí)，也要注意切記隨意討論，并仔細(xì)審查該主題。要充分探討問題內(nèi)在的特殊，對(duì)分類討論能避開就避開，對(duì)分類討論的過(guò)程能簡(jiǎn)化就簡(jiǎn)化，并提高分類討論的效果。以下是避免和簡(jiǎn)化分類討論的簡(jiǎn)單示例：例：若關(guān)于的方程至少有1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：此問題需要分出三種情況:⑴有個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；⑵有個(gè)正實(shí)數(shù)根和個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；⑶有個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根和個(gè)零根．顯而易見，這樣的解題過(guò)程不僅繁瑣還易出錯(cuò)．我們可以從命題的背面入手，即先探討當(dāng)方程沒有負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)實(shí)數(shù)的范圍，再解出至少含有有個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)的范圍。解：設(shè)全集，設(shè)當(dāng)方程的負(fù)實(shí)數(shù)根為零時(shí)，即只有正實(shí)數(shù)根或零根時(shí)的范圍為集合由，得。所以，即．所以集合的補(bǔ)集是．故實(shí)數(shù)的取值范圍是第四章結(jié)論與研究第一節(jié)結(jié)論通過(guò)對(duì)以上示例的了解，我們可以知道分類討論應(yīng)注意策略。有些討論是無(wú)法避免的，但是有些討論是可以避免或簡(jiǎn)化的。關(guān)鍵是要積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)并優(yōu)化思想和方法。但是，避免分類討論是對(duì)高能力，高要求的問題解決計(jì)策。在基礎(chǔ)年級(jí)的新教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)分類討論的理解和應(yīng)用仍然相對(duì)模糊，教學(xué)中不應(yīng)過(guò)多避免分類內(nèi)容。在高三后期復(fù)習(xí)中，分類討論的教學(xué)和學(xué)生對(duì)分類討論的理解達(dá)到了更為系統(tǒng)和清晰的階段。此時(shí)，談?wù)摫苊夥诸愑懻撌呛虾踹壿嫷摹Ａ硗?，回避分類和分類討論不能分開。避免分類可以視為分類討論的補(bǔ)充。應(yīng)該將它作為鏈接之一納入分類思維和方法體系中，并從整體和局部角度處理這兩個(gè)問題。通過(guò)討論分類討論思想在集合，函數(shù)，不等式，數(shù)列和幾何問題等中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們運(yùn)用正確的分類討論思想對(duì)不同情況進(jìn)行分類和研究，從而將題目化整為零，逐步擊破，然后積零為整?？傮w而言，可以清晰，完整，嚴(yán)格地回答復(fù)雜的問題。解決一些數(shù)學(xué)題目時(shí)，其中的過(guò)程多種多樣。它不能一概而論，難以通過(guò)統(tǒng)一的方式來(lái)處理。它需要基于研究對(duì)象的差異并根據(jù)某些標(biāo)準(zhǔn)。將原始問題分為幾個(gè)不同的類別，并逐一分析和討論每個(gè)類別，然后總結(jié)每個(gè)類別的結(jié)果和結(jié)論，從而最終解決整