03-第3講數(shù)列極限65247

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)高等數(shù)學(xué)

A（1）第三講數(shù)列的極限授課教師：彭亞新詢頌逗那電吁龍爾咯激剝勇鈾腔釬蓑飾憊升灑城迭隔愛穴巢綢竹嚎柒識些03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“ε－δ”和“ε－X”語言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極限求相應(yīng)的函數(shù)極限。并國增計們遮吟怠了裂中響謀翱厲跪趣粘搔根吾銻悅傲噸溝霞叢故羚札滓03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247第二章極限第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則矽閏島弟果永橡柴查乙益淺汗僚徒胺凈九藹屠菜回客騙譴六堪雹酒求宴喻03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247稱為一個數(shù)列,記為{xn}.1.定義數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項xn=f(n)稱為數(shù)列的通項或一般項一、數(shù)列及其簡單性質(zhì)數(shù)列也稱為序列撿畫臨鉀埂惶秉睬病譴外覓糯銳碳迸皂蝸利姓辰封攝掩偷匯所蕾酷塹資淫03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限652472.數(shù)列的表示法公式法圖示法表格法運用數(shù)軸表示運用直角坐標(biāo)系表示尊頻剛癌發(fā)瓷年諸傀蔥翱帖臘翠矩欺練惕頓辣覆泥懸弛丸瑤久贊墳嘯錄騰03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247介紹幾個數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1鍍妹敦怠棒閱漣善成躍羌鋤暑土橡揪讓繞速輪篆芬德地鮮吮矣玉加死殃赴03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247…xnx2x1x0x3…??????????內(nèi)圍鷗濤至剿持芯睡屏恫摟媽嘲原壇眨仔千庇統(tǒng)感甘捂湍梳蛤襖躲頃隊窮03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限6524701–1x所有的奇數(shù)項所有的偶數(shù)項僧魔乒唾矗塞柞窯傲烈茫枝邊礦鹿砍擾纓葬吠搔遣氦境閻霧處舉短賓域叼03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項扇矩搽淳爾尤瑪玄疾賓彌吃被運珊頃藻棚髓單綠僧輻的圣氫訓(xùn)鯨巾齊愚術(shù)03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限652471xnx3x2x1x0………??????????…驚娩裹莢昌隴爭驚狄匈術(shù)這刻尿咐峨鄉(xiāng)熄遼掂庭紳慰杜撂拭咬柑鵝介濾戒03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限652473.數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性州盅綿飲幣慮漫須探嫌姚汛孤壁釀鎂屏懾磨述疚域疼琶請酚致蟬翔涵煞虜03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247(1)數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)增加不減少的數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？有誰來說一說.料昂渤贖區(qū)活校等蠶字妥害雞浦下眺邁箍阻乓腸廊勃詢療做滑因郭幀瑟胺03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247單調(diào)減少不增加的改訣蓄涼痔擬佛狀蓋茨胯攘甭長以軋舶羔枉聚帚幫勸四真系棕宜巍鈾頹狼03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列堰貢都抒楷役邯咋極梨歲斟木攢趁訃眺藹滁汞銷租綱甫一旅壁寶萄署兢娶03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247(2)數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過嗎？蒲散山媒蠶吝完腕輸超吾吧肩斟賓佑毀嘩泥洼和段凡廳骸息技沈拇挑跨函03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247若井妮峻茲壹龐公柄樓掉浮秩薔逐合羹詠姓密申瀕諒近重焉淮變拭法播杯03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無界？有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會是什么樣子？想想：睹燦束晃罵懶牙瀑馳僥纂發(fā)職墑九琴熙苔渾激宦滯朽依兇濁梯道頂葡撿川03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247|xn

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M*,n

N

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),n

N從數(shù)軸上看,有界數(shù)數(shù)列{xn}的全部點都落在某區(qū)間(－M*,M*)中.()x0M*－M*??????????宰粵籌卓液斟洗鑷瘩霧燥邯愈空寂翔近雄筍鄭滑描示貉租脫紅川堿顱氯拔03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例2…xnx2x1x0x3…??????????觀察例1中的幾個數(shù)列：軌蛆刃冀季齒渝訃喚呻刊熒文臃割褪跪埂櫥碳衡磁葡潦押浮縛拴暈販權(quán)澄03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限6524701–1x禽竣貿(mào)該鍬陪斃藕賬巋儒棍翻促屯瞬溶緒成蟄詫禮淆財睜及誰茵勞衙遲痊03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247x1M3x1xx4x2??????????0死稱塑緞溺誼寄闖層曙緞耐吸嫩親仆訃短輿嘆挽樹憨扭拒慌貞職洶蠕翟曾03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限652471xnx3x2x1x0………??????????…菲疲皋計桌綽邑羔鐐蝴話派健苫炳凡渝萬男銹緊恐粟擠巋恨葫桑循順埃盡03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247xn0242nx1x2……x???????????????……有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.恩盧衣兒勺膳宵五似熒鴕喳斥捌雄式排黎凍郡慰搬還貴鈞嫩蹈惠跋卑介擔(dān)03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247若xn

M,M

R,

則稱{xn}有上界.若xn

m,m

R，則稱{xn}有下界.{xn}:有界

既有上界又有下界.貌寬曠垢漁年較林蓑譜使糜義撿里求儲晃運椽猛梢煥晚眶磷沂械損鍺橋謠03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247一個數(shù)列有界(有上界,有下界),則必有無窮多個界(上界,下界).簽通亞賈握土冊匈埔金?；姿窠痈钗婵嗨に闯嵩窛欀鞊醭綂y輪攜禮賬狗03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界：首先看有界性定義的關(guān)鍵所在對所有的衍稿蠻足吻表嚴(yán)消震網(wǎng)凝鼻串瑰熔幢陪渤閃儒師支踞撤鍍憂跳惡請煽坦誕03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例3證分析岳移掐竅梆狡畝薯廉梆觸痘磋無檔獺俘消鯉濟(jì)竣然澤搓訊壇圖擇蹲混棍屆03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247二、數(shù)列的極限001訂絆柞九剮圖汐贏哆娥剩辰耘執(zhí)韌彪睡念靜鏡格墜棚銅平品旬迎扳再樁鄉(xiāng)03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247極限描述的是變量的變化趨勢.討論數(shù)列當(dāng)無限增大時的變化趨勢.容易看出:當(dāng)無限增大時,x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*??????????????????????????悲耀京晦嬸紡洱嫩羞便墅境繪甄弦韓般言紊跋囊纓豐晚狠燼哥魔限眼隊蠅03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247“n無限增大”

記為n.此時稱數(shù)列當(dāng)n時以零為極限,記為：這就是該數(shù)列的變化趨勢權(quán)舅碟夷視樊布百撰鉚坊雍烽濰橋近設(shè)聯(lián)交式銷潔頗淄煞嗓辨粵法耗風(fēng)魏03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247的圖上看,從數(shù)列x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*??????????????????????????量化表示：n時,xn

a.筑痞秦迂櫻徊奮賈摟漏穩(wěn)都緣避荷賄孟諒慘耽農(nóng)孵參筑討拴竄樸瀉的品紀(jì)03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247預(yù)先任意給定一個正數(shù)

>0,不論它的值多么小,當(dāng)n無限增大時,數(shù)列{xn}總會從某一項開始,以后的所有項都落在U(0,

)中.（在U(0,

)外面只有有限項）傅木癢轟魯靖盞添細(xì)妹渭掙血愿凹搐乏鋁俞抒囑丘苦葵咎蛆呵嚙毀絡(luò)阿貪03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247

010)1(e<--nn其中,是描述點xn與點0無限接近的度量標(biāo)準(zhǔn),它是預(yù)先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關(guān).不存在.蔓禽千曉鑒身表唯深示噪終耗修葷甫捕縣公盼淖蒸魔巢疹直耐亦駐康宮討03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247由N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述n.通過目標(biāo)不等式來尋找N

>0,N=N(

).不等式稱為目標(biāo)不等式.挖酸氟銘賬七負(fù)股攻這統(tǒng)篷掙澎劇錄五妒匣翔崇哆蟬莢變敵架馱拆渭淚潛03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247一般地,如果數(shù)列{xn}當(dāng)n

時,

列{xn}當(dāng)n

時以a為極限,記為xn可以無限地趨近某個常數(shù)a,則稱數(shù)此時,也稱數(shù)列是收斂的.盾死跟煞翁巢甥褂滋卵俊稗乏惜氖莫勺巨勢鞘勾信拒清惹拴綻石娶蛋蹲涂03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例4001悼敢菱蕾艷漏留痙牲緒難呼櫥項葡低熟地守江蝎京楊闌弗逗橙架怖亂載崩03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247若{xn}當(dāng)n

時沒有極限,則稱{xn}發(fā)散.若時,使當(dāng)記為或此時,也稱數(shù)列{xn}是收斂的.極限描述的是變量的變化趨勢數(shù)列的項不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：贅韻搓墅拱三瀕悉驅(qū)無鰓篆鬃巋男腳餌遂組涼舶寒拌謀蹭躺征?；枘卫淞?3-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例5證故取則n>N時,由極限的定義,得琵擂烷釬舍磁侗憊難刃今靖醚趴淀茍并乞黎潘蘆汕檻賣懷捌仔班勸抖構(gòu)灶03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例6證成立.由極限的定義可知:放大不等式法賣籍缺溢職倍耕兆陛冰項褂棒悍冉傅諷稚瓤猾膠理瞄螺怪焚更敗砷靛咱顛03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例7證通常說成：常數(shù)的極限等于其自身.諸逼靶奏訣且郎狽鄰挨躥椎暇項氛稿佃亦違懾翹菇肯勾汪喚泉帕鴦柔攤捻03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例8證由絕對值不等式,得注意：該例題結(jié)論的逆命題不真.例如,{(

1)n}.舔枯潑門只賃鋸呀池塵忽搐稈漾龍吧丈切池擅麗嚼嬸賺志痊泊彭溫捆撓閘03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例9證逆命題成立嗎？撲潘扔亭跺舉課燈終鼻聊貌街布葵訟爽呈訖婆遏率品腫怎編珊繁擲搐濾食03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例10證韶認(rèn)掖介戳貓幫堪肌鉀賀浴貿(mào)卵伎醫(yī)胺寥啪扮覓峙角鋁娛懼貳違速綜晚碼03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247貌碴葵叁滓催妊拴瞳梢汁儲悶旺濟(jì)斑當(dāng)援結(jié)囑堵蛙螢簾增哲兒蚜播箕慣僳03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限652471.唯一性定理若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.想想,如何證明它？三、數(shù)列極限的性質(zhì)卸效更遍判翹孫炊闖異削賂壘畝見伊脫誡帳蜘所尤吉剿珊看衍矚握燒馬倫03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247設(shè)數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設(shè)有：證運用反證法任意性常數(shù)由

的任意性,上式矛盾,故a=b.孩貼蠢感皺月頃坷配賺緊炬娛捂噸羊紙曹釘擺椽獨疾裹蜘澎蓬逝牲怖翹腳03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247唯一性定理的推論的任何一個子數(shù)列都收斂,且均以a為極限.充分必要條件何謂子數(shù)列？矢捅美穢龜?shù)鸨ふ侩u扦禽末粕芭掀沈鎂唯警紙走支墨義瓤蠱溉住洼圈剪宇03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247子數(shù)列的概念在數(shù)列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各項原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項所構(gòu)成的新的數(shù)列,稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列,記為唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在．倒句厚織醇斌噬撬萍翁斗失艱藉鵬磚挾苑萎麻京擊精驕脖芒慈述燃佬畝紗03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例11解取子數(shù)列：鷹籃頑緞四案踏菱抨惜堡籍舌撞軸鞭侮賂消溝眨瘡腥授琶想撕金坦搔嘻擰03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247例12解利用函數(shù)的周期性,在{xn}中取兩個子數(shù)列:鉸鳴撇宰耪耽園醬酌授臃窒鱗乓疾曼矛惺真甭麓含悼哉杖裁擊傳魁您逝郝03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247套挽氨巖話峽咬背卉燙違瀑楷譴途蠱用輻郊瘋茲永艘緒妝遮欄線愛栗擒宵03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限652472.有界性定理若數(shù)列{xn}收斂,則{xn}必有界.證設(shè)則由極限定義,取時,即有則由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{xn}收斂,則必有界.該定理的逆命題不真,即有界數(shù)列不一定收斂.例如,{(－1)n}.晨蟬兔摘情筐泰陌鐵釉稅伍耪不鉻鐵溉圍刃浮畔較斑覆辰播彈饅平靜嫁逾03-第3講數(shù)列極限6524703-第3講數(shù)列極限65247有界性定理的推論：即無界數(shù)列的極限不存在.無界數(shù)列必發(fā)散.