2024高考數(shù)學(xué)講義：立體幾何

2024高考數(shù)學(xué)講義：立體幾何

目錄

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積及體積........................................3

1.1.［備考領(lǐng)航］..............................................................3

1.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］.........................................................3

1.3.［記結(jié)論?提速度］.........................................................7

1.4.［提速度］.................................................................8

1.5.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］...........................................................9

1.6.［練后悟通］..............................................................10

1.7.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］..........................................................10

1.8.［練后悟通］..............................................................12

1.9.［定向精析突破］..........................................................12

1.10.［跟蹤訓(xùn)練］.............................................................15

1.11.［定向精析突破］.........................................................16

1.12.［跟蹤訓(xùn)練］.............................................................18

1.13.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］必.................................................21

2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系...........................................29

2.1.［備考領(lǐng)航］.............................................................29

2.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］.......................................................29

2.3.［記結(jié)論?提速度］.......................................................32

2.4.［提速度］...............................................................32

2.5.［跟蹤訓(xùn)練］.............................................................35

2.6.［跟蹤訓(xùn)練］.............................................................37

2.7.［跟蹤訓(xùn)練］.............................................................39

2.8.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］..................................................39

3.直線、平面平行的判定與性質(zhì).................................................47

3.1.［備考領(lǐng)航］.............................................................47

3.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］.......................................................48

3.3.［記結(jié)論?提速度］.......................................................51

3.4.［提速度］...............................................................51

3.5.［定向精析突破］.........................................................51

3.6.［跟蹤訓(xùn)練］.............................................................53

第1頁(yè)共150頁(yè)

3.7.［跟蹤訓(xùn)練］..............................................................56

3.8.［跟蹤訓(xùn)練］..............................................................58

3.9.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］...................................................59

4.直線、平面垂直的判定與性質(zhì).................................................67

4.1.［備考領(lǐng)航］.............................................................67

4.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］......................................................68

4.3.［記結(jié)論?提速度］.......................................................71

4.4.［提速度］...............................................................71

4.5.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］.........................................................72

4.6.［練后悟通］.............................................................73

4.7.［定向精析突破］.........................................................73

4.8.［跟蹤訓(xùn)練］............................................................75

4.9.［定向精析突破］........................................................76

4.10.［跟蹤訓(xùn)練］............................................................77

4.11.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］0.................................................78

5.空間向量及空間位置關(guān)系.....................................................88

5.1.［備考領(lǐng)航］.............................................................88

5.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］........................................................88

5.3.［記結(jié)論?提速度］........................................................93

5.4.［提速度］................................................................93

5.5.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］..........................................................94

5.6.［練后悟通］..............................................................95

5.7.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］..........................................................95

5.8.［練后悟通］..............................................................97

5.9.［跟蹤訓(xùn)練］..............................................................98

5.10.［跟蹤訓(xùn)練］...........................................................101

5.11.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］這................................................102

6.空間向量的綜合應(yīng)用.........................................................112

6.1.［備考領(lǐng)航］.............................................................112

6.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］.......................................................112

6.3.［記結(jié)論?提速度］.......................................................115

6.4.［提速度］...............................................................115

第2頁(yè)共150頁(yè)

6.5.［跟蹤訓(xùn)練］................................................................117

6.6.［跟蹤訓(xùn)練］................................................................119

6.7.［跟蹤訓(xùn)練］................................................................122

6.8.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］4....................................................................................................124

6.9.［跟蹤訓(xùn)練］................................................................135

6.10.［跟蹤訓(xùn)練］...............................................................137

6.11.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］...........................................................139

6.12.［跟蹤訓(xùn)練］..............................................................140

6.13.［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］M................................................................................................141

6.14.［跟蹤訓(xùn)練］..............................................................149

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積及體積

1.L［備考領(lǐng)航］

核心素

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

養(yǎng)

1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀

察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球1.空間幾何體的

及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用結(jié)構(gòu)特征.1.直

這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)2.空間幾何體的觀想象.

構(gòu).表面積.2.數(shù)

2.了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積3.空間幾何體的學(xué)建模.

和體積的計(jì)算公式（不要求記憶）.體積.3.數(shù)

3.會(huì)用斜二側(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖4.與球有關(guān)的學(xué)運(yùn)算

形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的切、接問(wèn)題

簡(jiǎn)易組合）的直觀圖

i--二」….11---------:---------------------------

1.2.［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］

重點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

第3頁(yè)共150頁(yè)

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

5D'

>

圖形

ABAB

底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似

相交于一點(diǎn)，

側(cè)棱互相平行且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

但不一定相等

側(cè)面

平行四邊形三角形梯形

形狀

［提醒］特殊的四棱柱

四棱柱I平導(dǎo)歌形I平行六面體I理恒平行六面體1

長(zhǎng)方體I濾象等I正四棱柱睛髀底四

上述四棱柱有以下集合關(guān)系：｛正方體｝｛正四棱柱｝｛長(zhǎng)方體｝｛直平行

六面體｝｛平行六面體｝｛四棱柱｝.

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

\o

③

圖形EIA

互相平行

長(zhǎng)度相等

且

且延長(zhǎng)線交

母線相等，垂

相交于一于一占

直

點(diǎn)

于底面

全等的

全等的矩全等的

軸截面等腰三角圓

形等腰梯形

形

側(cè)面矩形扇形扇環(huán)

第4頁(yè)共150頁(yè)

展開(kāi)圖

［提醒］球的截面的性質(zhì)

（1）球的任何截面都是圓面；

（2）球心和截面（不過(guò)球心）圓心的連線垂直于截面；

（3）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=

y］R2—d2.

［逐點(diǎn)清］

L（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形

D.用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面

解析：選ADA正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行；C

不正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可能不相等；D正確，用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截

面是一個(gè)圓面，故選A、D.

2.（必修2第8頁(yè)A組1（1）題改編）在如圖所示的幾何體中，是棱柱的

為.（填寫所有正確的序號(hào)）

①②③④⑤

解析：由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱.

答案：③⑤

重點(diǎn)二直觀圖

1.畫法：常用斜二測(cè)畫法.

2.規(guī)則：（1）原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸、y'

軸的夾角為45°（或135°）,z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直；

（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸

和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中

變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

第5頁(yè)共150頁(yè)

［逐點(diǎn)清］

3.（必修2第19頁(yè)練習(xí)3題改編）如圖，直觀圖所表示的

平面圖形是（）

A.正三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.直角三角形

解析：選D由直觀圖中A'C〃y'軸，B'C〃x'軸，還原后AC〃

y軸，BC〃x軸，所以aABC是直角三角形，故選D.

重點(diǎn)三空間幾何體的表面積與體積

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

側(cè)面

展開(kāi)圖Q.J法軟，

側(cè)面S圓柱側(cè)=2口S圓臺(tái)側(cè)=

S圓錐側(cè)=nrl

積公式rln(r+rz)1

［提醒］（1）幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積

與所有底面面積之和;

（2）圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化

當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半

徑為零時(shí)，得到圓錐，由此可得：

S圓柱側(cè)=2nrl----*S圓臺(tái)側(cè)=n（r+r（）1-----*S圓錐側(cè)=nrl.

2.空間幾何體的表面積與體積公式

表面積體積

S表面積=5側(cè)

柱體（棱柱和圓柱）V=Sh

+2S底

S表面積=S側(cè)

錐體（棱錐和圓錐）V=|sh

+S底

1

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積=5側(cè)V=3(S±+

第6頁(yè)共150頁(yè)

+S上+S下s下+qs上?S下）h

4

球S=4nR2R3

［逐點(diǎn)清］

4.（必修2第27頁(yè)練習(xí)1題改編）已知圓錐的表面積等于12"cm2,其

側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為（）

A.1cmB.2cm

3

C.3cmD.5cm

解析：選B由題意，得S表=nr2+nrl=nr2+Jir?2r=3nr2=12

n,得r2=4,所以r=2（cm）.

5.（必修2第37頁(yè)2題改編）一個(gè)半徑為21的球形冰塊融化在一個(gè)半徑

為14的圓柱形的水桶內(nèi)，則水面的高度為

4JiX213

解析：設(shè)水面的圖度為h,則一g-----=nX142Xh,解得h=63,所以

水面高度為63.

答案：63

6.（必修2第28頁(yè)A組3題改編）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相/

鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的

幾何體體積的比為"

解析：設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,它截出棱

111111

錐的體積為丫1=/鍵*5bx產(chǎn)而abc,剩下的幾何體的體積V2=abc-

147

74-^0abc=4tTs^abc,所以VI：V2=l：47.

答案:1:47

L3.［記結(jié)論?提速度］

［記結(jié)論］

1.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的

、萬(wàn)

關(guān)系為S直觀圖=^S原圖形，S原圖形=2啦S直觀圖.

2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

第7頁(yè)共150頁(yè)

(1)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R：

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=，§a；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2R=&a.

(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,

則2R=da2+b2+c2；

13

(3)正四面體內(nèi)切球半徑是高的本外接球半徑是高的》兩半徑之比為1：

1.4.［提速度］

1.如圖所示的直觀圖中，O'A'=0'B'=2,則其平

面圖形的面積是()/\

A.4B.4y［2ZA

C.2V2D.8

解析：選AS原△A0B=2姆SaA'O'B'

=2V2X-X2X2Xsin45°=4.

2.(2020?天津高考)若棱長(zhǎng)為2$的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則

該球的表面積為()

A.12nB.24”

C.36nD.144n

解析：選C設(shè)外接球的半徑為R,易知2R=^X2小=6,所以R=3,

于是表面積S=4nR2=36n,故選C.

3.若正四面體的棱長(zhǎng)為a,則其內(nèi)切球的半徑為

解析：因正四面體的棱長(zhǎng)為a,則正四面體的高為坐a.

因正四面體內(nèi)切球半徑是高的/即r=￥fa.

考點(diǎn)理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

第8頁(yè)共150頁(yè)

取考點(diǎn)T空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.5.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］

［題組練透］

1.給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母

線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才A

是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋-

轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同

底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)

邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.

2.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A'B'CD'中被截去一部分，其中EH〃A'

D’.剩下的幾何體是（）

A.棱臺(tái)B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

解析：選C由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.故選C.

3.把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

A.10B.10^3

C.10A/2D.5^3

解析：選B設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h.因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)等于圓錐的

底面周長(zhǎng)，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2mr=20”，所以r=10,所以

第9頁(yè)共150頁(yè)

h=[202—002=00巾.

4.（2020?全國(guó)卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇

跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為

邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則

其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A.4B-2

季+l+1

C.4D.-2—

解析：選C設(shè)正四棱錐的高為h,底面正方形的邊長(zhǎng)為2a,斜高為m,

1

依題意得h2=2X2aXm,即h2=am①，易知h2+a2=m2②，由①②得

=字,所以m~a苧.故選C

2a2a

1.6.［練后悟通］

空間幾何體概念辨析題的常用方法

定緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模

義法型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

反通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只

例法要舉出一個(gè)反例即可

IgA.I空間幾何體的表面積

1.7.［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］

［題組練透］

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為01,02,過(guò)直線0102的平面截

該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12^2nB.12n

C.8巾nD.10n

解析：選B設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x,

貝IJ由x2=8,得x=2也，

第10頁(yè)共150頁(yè)

，S圓柱表=2S底+S側(cè)=2XnX(V2)2+2nX也X2加=12n.故選B.

2.（2021?河南周口模擬）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，AA1，底面ABC,AB±BC,AA1=AC=2,直線A1C與側(cè)

面AA1B1B所成的角為30°,則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A.4+4^2B.4+4小

C.12D.8+4啦

解析：選A連接A1B（圖略）.因?yàn)锳A1_L底面ABC,則AA1_LBC,又

AB±BC,AAinAB=A,

所以BC_L平面AA1B1B,所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為N

CA1B=3O°.又AA1=AC=2,所以A1C=2，LBC=&.又ABLBC,則AB=

血，則該三棱柱的側(cè)面積為2&X2+2X2=4+4&.

3.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,若母線長(zhǎng)為10,則

圓臺(tái)的表面積為（）

A.81nB.100五

C.168nD.169n

解析：選C圓臺(tái)的軸截面如圖，設(shè)上底面半徑為r,下殲人

底面半徑為R,高為h,母線長(zhǎng)為1,/\

則它的母線長(zhǎng)為1=班2+R—r2=

N4r2+3r2=5r=10,

所以r=2,R=8.

故S側(cè)=n（R+r）l=n（8+2）X10=100n,

S表=5側(cè)+”r2+nR2=100n+4n+64n=168n.

4.如圖，設(shè)正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正I

三棱錐的高SO=3,則此正三棱錐的表面積為/\\f

解析：如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,斜高為h',過(guò)

點(diǎn)0作OELAB,與AB交于點(diǎn)E,連接SE,則SELAB,SE=h'.

?S側(cè)=2S底,

第11頁(yè)共150頁(yè)

?3a?hz=^a2X2.

.,.a=V§h'.

VSO±OE,/.SO2+OE2=SE2.

.?.32+(*x/M)2=h，2.

/.h,=2小,.,.a=yj3h'=6.

.，.S底=叫2=坐><62=9由，S側(cè)=2S底=184.

AS表=5側(cè)+S底=9巾+18班=274.

答案：27小

1.8.［練后悟通］

求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖

的表面積形面積的方法求多面體的表面積

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后

求旋轉(zhuǎn)體

求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)

的表面積

圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求

幾何體的出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作

表面積差，求出所給幾何體的表面積

-三1_____________空間幾何體的體積

1.9.［定向精析突破］

考向1直接利用公式求體積

［例1］(1)(2021?全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一

個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的體積

為

第12頁(yè)共150頁(yè)

⑵(2021?江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各B

棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積

為

［解析］(1)截面圖如圖所示，因?yàn)閳A臺(tái)下底面半徑為

5,球的直徑為10,則圓臺(tái)的下底面為過(guò)球心的截面，OC=

n1

OB=5,O'C=4,ZOOZC=y,則圓臺(tái)的高為3,V=§

h(Sl+VsiS2+S2)=25n+20n+16n=61n.

(2)如圖，取BC中點(diǎn)0,連接AO.

?..正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,，AC=2,OC=1,則AO=

小.

?.?AA1〃平面BCC1B1,

二點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為4.

1

又,.MBB1C1=/2X2=2,

1「2#

/.VD-BB1C1=3X2XV3=3.

［答案］(l)61n(2)呼

考向2割補(bǔ)法求體積

［例2］如圖，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4,BC=2,沿中位線EF

折起，使得NAEB為直角，連接AB,CD,則所得的幾何體的體積

為

B

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［解析］法一(分割法)：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM平行于AB,交D

F

AD于點(diǎn)M,作CN平行于BE,交EF于點(diǎn)N,連接MN.由題意可

知ABCM,BENC都是矩形，AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=

］

CM=2小,所以S4AEB=5><2X2=2,

因?yàn)榻孛鍯MN把這個(gè)幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-

1

MNFD,又因?yàn)橹比庵鵄BE-MCN的體積為V1=SZ^ABE?AM=,><2X2X2

111

=4,四棱錐C-MNFD的體積為V2=^S四邊形MNFD?

33乙D

X(1+2)X2X2=2,所以所求幾何體的體積為Vl+V2=6.

法二(分割法)：如圖，連接AC,EC,則幾何體分割為四棱錐C

1<3+4、14

-ADFE和三棱錐C-ABE,VC-ADFE^xl-^—X2jX2=y,A

R

1(\\4

VC-ABE=gX(jX2X2jX2=§,所以幾何體的體積為VC-ADFE+VC-ABE=

法三(補(bǔ)形法)：如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M,使得CM=2,延長(zhǎng)

EF至點(diǎn)N,使得FN=1,連接DM,MN,DN,得到直三棱柱

ABE-DMN,所以幾何體的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減

去四棱錐D-CMNF的體積.

因?yàn)閂ABE-DMN=gx2X2)X4=8,

1fl+2)

VD-CMNF=§X［^-X2JX2=2,

所以幾何體的體積為VABE-DMN-VD-CMNF=8—2=6.

［答案］6

考向3等體積法求體積

［例3］已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為BB1,

AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD1的體積為

第14頁(yè)共150頁(yè)

［解析］如圖，?.?正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,

M,N分別為BB1,AB的中點(diǎn)，

A11

..SAANM=2X1X1=2,

111

，VA-NMD1=VD1-AMN=§X2*2=]

［解題技法］

1.處理體積問(wèn)題的思路

,——,：轉(zhuǎn)換底面與高，將原來(lái)不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為

轉(zhuǎn)~jj容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不容易看出的高轉(zhuǎn)換

：為容易看出并容易求解的高

:將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，便：

JLn于計(jì)算，

;將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱：

拼S錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱、將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱：

:柱、還臺(tái)為錐,這些都是拼補(bǔ)的方法

2.求體積的常用方法

直接

對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

法

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)

割補(bǔ)

算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成

法

熟悉的幾何體，便于計(jì)算

等體選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利

積法用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

1.10.［跟蹤訓(xùn)練］

1.如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為

1,且AA1，底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為（)

A.*B.坐

C..平

解析：選A三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱

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鏈A-B1BC1的高為享底面積為今故其體積為白X^X孚=雪.

乙乙。乙乙.乙

2.如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2小cm,側(cè)面

積為8#cm2,則它的體積為cm3.

解析：記正四棱錐P-ABCD的底面中心為點(diǎn)0,棱AB的

中點(diǎn)為H,連接P0,HO,PH,則P0_L平面ABCD,

因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面積為8由cm2,所以8出=4></2T

XPH,解得PH=2,在Rt^PHO中，H0=V3,所以P0=l,所

1

以VP-ABCD=§?S正方形ABCD?P0=4cm3.

答案：4

3.在梯形ABCD中，ZABC=y,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2,將梯形

ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為1）

2n4n

A.

5n

C.~^-D.2n

解析：選C如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H.則由旋

轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所

圍成的幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐.其中圓柱的底面半徑R=AB

=1,高h(yuǎn)l=2HC=BC=2,其體積Vl=nR2hl=nX12X2=2n；J---

11

圓錐的底面半徑r=DH=l,高h(yuǎn)2=HC=l,其體積V2=§"r2h2=gnX12

JIJI5兀

Xl=w.故所求幾何體的體積為v=vi—V2=2Jt—.

i號(hào)點(diǎn)四i與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

LIL［定向精析突破］

考向1幾何體的外接球

［例4］（2021?福州市適應(yīng)性考試）設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于

底面，AB=AC=2,ZBAC=90°,AA1=3/，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同

第16頁(yè)共150頁(yè)

一球面上，則該球的表面積是（）

A.24nB.18n

C.26兀D.16n

［解析］依題意得三棱柱ABC-A1B1C1的外接球即底面為正方形（邊長(zhǎng)為

2）、高為3地的長(zhǎng)方體的外接球，故該球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)該球

的半徑為R,則有（2R）2=22+22+（3也）2=26,故該球的表面積為4"R2=

26n,故選C.

［答案］C

考向2幾何體的內(nèi)切球

［例5］（2020?全國(guó)卷ffl）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓

錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

［解析］易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PEA

及其內(nèi)切球。如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則sinZBPE=

OT=PB=3,所以O(shè)P=3R，所以PE=4R=［PB2-BER=

732-12=2小,所以R=凈，所以內(nèi)切球的體積R3=

號(hào),即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為乎九

［答案］.

［規(guī)律探求］

考向1是幾何體的外接球：一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為

球的外接問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心

看個(gè)到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

性考向2是幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問(wèn)題，一般是

將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱

錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑

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解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題的思維流程是：

1定.、、口如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；：

找共三空廠如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑;

n_______________________一…、

性,V1i選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含:

作截面H球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），：

1

：達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的

3...........................

求半徑、根據(jù)作出截面中的幾何元素,建立關(guān)于球半控的方程,！

下結(jié)論口并求解…_________________j

1.12.［跟蹤訓(xùn)練］

1.已知圓柱的高為2,底面半徑為小，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在

同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積等于（）

16

A.4nB.T31

32

D.16n

解析:選D如圖，由題意知圓柱的中心0為這個(gè)球的球

心，于是,球的半徑r=OB=q（）A2+AB2=712+~市~2=

2.故這個(gè)球的表面積S=4nr2=16n.故選D.

2.（2020?全國(guó)卷I）已知A,B,C為球0的球面上的三個(gè)

點(diǎn)，為aABC的外接圓.若。01的面積為4幾，AB=BC=AC=OO1,則

球。的表面積為（）

A.64nB.48兀

C.36兀D?32幾

解析：選A如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,。01的半

徑為r,因?yàn)椤?1的面積為48，所以4“=mr2,解得r=

AB

2,又AB=BC=AC=OO1,所以而布丁=2r，解得AB=

2小,故001=2小，所以R2=OOZ+r2=（2巾）2+22=16,所以球0的表

面積S=4nR2=64n.故選A.

3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PDL底面

ABCD,且PD=2a.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為

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解析：由題意知，當(dāng)球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四

棱錐時(shí)球的半徑最大.作出其側(cè)視圖，如圖所示.易知球的半2aH\

徑r:(2T)a.D(W4(B)

答案：(2—也)a

微專題(十四)思想方法

化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想一一立體幾何中的最值問(wèn)題

［典例1］正四面體ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，BP

+PE的最小值為舊，則該四面體內(nèi)切球的體積為

［解析］如圖①所示，在正方體中作出一個(gè)正四面體ABCD,

將正AABC沿AC邊翻折，使平面ABC與平面ACD在同一平面內(nèi)，如圖

②.

要使得BP+PE最小，則B,P,E三點(diǎn)共線，此時(shí)BE=MR.

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為x,在aABE中，由余弦定理可得

（VI加=x2+儕2-2?x??cos^-,解得x=2y[2.

1

所以正方體的棱長(zhǎng)為2,正四面體的體積V正四面體=丫正方體一4X§X

18

EX2X2X2一

1

設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r,由等體積法可得V正四面體=4X§S4ABC

Xr,

,811r-8

整理得§=4XgXrX]X（2也）2siny,

解得r=V.

所以該四面體內(nèi)切球的體積V'

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［答案］斗要

［點(diǎn)評(píng)］本題為典型的表面距離最值問(wèn)題，滲透了空間問(wèn)題平面化的思

想，考查了正四面體體積與內(nèi)切球半徑的計(jì)算，考查了空間思維及轉(zhuǎn)化能力,

體現(xiàn)了等體積法的應(yīng)用.本題還可以采用常規(guī)方法求解正四面體的體積，即利

用正四面體體積公式V=^a3（a為正四面體的棱長(zhǎng)）求解.

［典例2］（1）如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將

△ACD沿對(duì)角線AC折起使平面ACD'，平面ACB,則此時(shí)

空間四面體ABCD'體積的最大值為（）

壁51/3

入279

C.1D.V亞

（2）如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面

ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)棱AAl=a（a>3）,M是BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)P是矩形DCC1D1上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，且滿足N

APD=ZMPC,則三棱錐P-BCD的體積的最大值

是

［解析］⑴取AC中點(diǎn)0,連接D，0（圖略）.

設(shè)NABC=a,則ae（0,n）,

aa

所以D，O=ADcos~^~=2cos5,

1

SAABC=2Xx2sina=2sina.

14

因?yàn)镈'0,平面ABC,所以V四面體ABCD'=§saABCXD'0=§sin

a8aa8

acos-^~=wsin萬(wàn)cos2彳=gsin

a