2021年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第四冊(cè)全冊(cè)分章節(jié)分課時(shí)同步練習(xí)+單元測(cè)試

第九章解三角形

9.1正弦定理與余弦定理

9.1.1正弦定理

三三三三三三三三三三—三?—三三―三壬工――

課后篇鞏固提升

…一基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練

1.在AABC中，下列關(guān)系式中一定成立的是()

A.〃>bsinAB.4=0sinA

C.a<hsinADaNbsinA

蠲D

|解析［由正弦定理，得就，所以。二::鬻.在△ABC中,0〈sin5W1,故《^21,所以a^bsinA.

2.在ZkABC中,。=4封6=4/音,則3=()

答案A

薊由正弦定理可得看=焉，

..nbs\nA

?-sinB=-------

a4V32,

又。=4百>力=4,?：A>A.：8=”.故選A.

o

3.在AABC中，已知6=3,c=8,A/則AABC的面積等于（）

A.6B.12C.6V3D.12V3

gSc

解析SAA8c=gbc-sinA=gx3x8xsin三=6遍.故選C.

4.(2020黑龍江大慶四中高一月考)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“力,c.若邛=等，則B=()

4或當(dāng)

答案k

眼麗由正弦定理得鬻=篝=1,所以tan8=1.又因?yàn)锽C（O,兀），所以8=*

5.（2020江蘇南京秦淮中學(xué)高一期中）在AABC中，若a=2g,A=30°，則的值為（）

sino.+二sin,c二

A.4V3B.2V3C.4D.2

S1]A

庭麗由題可知4=2百,4=30°，令號(hào)=3=啖=2R（R為HNBC的外接圓半徑），

所以卜+，_2/?sinB+2/?sinC=2/?=_a_=莘_=小點(diǎn)即^__"￡_=4百

sinF+sinCsinF+sinCsin41'sinF+sinC

2

6.（2020浙江紹興一中高一期中）在△ABC中，若力=2,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

O

A.若〃=1,則c有一解

B.若。二百，則c有兩解

C.若4=1則C有兩解

D.若。=3廁c有兩解

量D

麗|由b=2,A="pMnA=2sin]=l￥a=\或“》2時(shí),c有一解，當(dāng)1<a<2時(shí),c有兩解，結(jié)合選項(xiàng)知選

----OO

D.

7.（多選題）（2020江蘇如東高級(jí)中學(xué)高一期中）已知A,B,C是AABC的三個(gè)內(nèi)角,下列結(jié)論一定成立的

有（）

A.sin（B+C）=sinA

B.cos（A+B）=cosC

C.若A>B,則sinA>sin8

D.若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形

答案|AC

解析由A+B+C=TI,得sin（B+0=sin（7t-A）=sin力，故A正確;cos（A+8）=cos（兀-C）=-cosC,故B不正確；由

三角形中大角對(duì)大邊,A>8,則a>"根據(jù)正弦定理有sinA>sin氏故C正確;在三角形中，若sin2A=sin

2B,則2A=28或2A+28=兀,所以A=8或A+8=]則AABC是等腰三角形或直角三角形，故D不正確.故

選AC.

8.在AABC中力,c分別是A,B,C所對(duì)的邊.若A=105°,B=45°力=2在，貝ijc=QABC的面

積為.

答案|2V3+1

麗由題得C=180°-105°-45°=30°.

根據(jù)正弦定理白=肅，可知需=木，解得c=2.

故M8C的面積為5=^sinA=|x2V2x2xsin105。=2夜＞罕=遍+1.

9.已知在中方C=15,AC=10,A=60°,則cosB=

由正弦定理得益=飴

/CsinA_10x孚_

V3

所以sinB=

BC15-3'

因?yàn)锳CvBC,所以B<A=60°,則8為銳角,

V6

所以cosB==—

3°

10.在△A8C中，若―=―=―則△ABC是三角形.

cos2cos2cos2

麗由正弦定理得當(dāng)=普=當(dāng),

cos2cos?cos?

uu1、1.4.B.C

所以sm-=sin-=sin-.

因?yàn)锳,8,Ce（（U）,所以捐,黑（0,￡

所以?=5=a所以A=B=C.故"BC為等邊三角形.

11.在AABC中M=2,c=&,sinA+COSA=0,則角B的大小為.

|解析|因?yàn)榻茿是三角形的內(nèi)角，所以Ae（0,jc）.又因?yàn)閟inA+cosA=0,所以tanA=-l.所以A=%.由正弦

定理可知三=-7,則1=3,所以sinC=；.因?yàn)锳=%所以Ce（0,；）,因此C=?.由三角形內(nèi)角和

sm4smCV2smC24\4/6

~2

定理可知8=7C-A-C吟.

12.在A48C中，求證:產(chǎn)券=等.

b-ccosAsm力

怔明因?yàn)樵贏ABC中，就=熹=媼^=2R（R為AABC的外接圓半徑）,

所以左力_2RsinA-2RsinCcos8

2RsinB-2RsinCcosA

_sin(B4-C)-sincosB_sin8cosc_sin8_右邊

sin(i4+C)-sinCcos/lsinAcosCsinA'

所以等式成立，即衛(wèi)竺=駕.

b-ccosAsinA

…一能力提升練

1.滿足條件C=60°,AB=%,8C=：的△48<7有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

^gc

隆明由于BCsinC=M<V3<，所以AABC有兩解.故選C.

2.在"BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,acosB=(ac-b)cosA,則角A的大小為()

A?B，7C.qD.J

6432

|解析［由正弦定理得sinAcosB=(V2sinC-sinB>cos4,即sin(A+B)=&sinCeosA,即sinC=V2sinCeos

A,所以cosA=冬故A=］故選B.

3.已知A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4力,。,且滿足a=6,c=2仿tanA+tan8=鬻，則SaAfic=()

A.3V2B.9V2C.9V3D.3%

量B

解析由2sin

----tanA+tanB=cosAf,

得sin4cosB；co_sinB=誓因?yàn)?A#),所以嗎=2sinC.因?yàn)閟inC/),所以cosB=g,又因?yàn)锽G

cosAcosBcosAcosB2

(0,兀)，所以8帶,所以SM8c=%csinB=gx6x2乃x?=9企.

4.在銳角AABC中，若C=2B,則押范圍為()

A.(V2,V3)B.(V3,2)

C.(0,2)D.(V2,2)

量A

臃麗由正弦定理得:=喝=等=2cosB.

----bs\nBsmB

:'△ABC是銳角三角形，,：三個(gè)內(nèi)角均為銳角，

即0<B4,0<284,0<7I-3B4解得夫BC，.：［<COS8<景.：笑(夜,遍).

ZZZO4ZZ0

5.(多選題)(2020山東濟(jì)南歷城第二中學(xué)高一月考)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若

C=［,c=3且該三角形有兩解，則a的值可以為()

O

A.4B.5C.6D.7

^M］AB

解麗丁該三角形有兩解,C=/c=3,

?：asid<c<a,即3<。<6.故選AB.

o

6.在A4BC中,AB=AC=4,BC=2.O為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BO=2,連接8,則ABOC的面積

是.

|解析|過(guò)點(diǎn)4作BC的垂線，交BC于點(diǎn)E,則所以sin/ABC=^，則sinZCBD=sin(K-Z

480=乎，所以SA8°=；BZ>8Csin/CBO="x2x2x乎=乎.

7.在A4BC中,8=120°,AB=&，角A的平分線A￡>=K，則AC=.

答案歷

解析如圖,

B

由正弦定理易得?

sinZ-ADBsinB'

s\nZ.ADB-sin120°

故sinNAD8磴即NAD8=45°.

在△A5O中，已知N3=120°,NAO3=45°，即N84Q=15°.由于AO是N34。的角平分線，故N

3AC=2NBAQ=30°.在△ABC中,N5=120°,N3AC=30°,易得NACB=30°.在^ABC中，由正弦定理

得..即,H=.黑。，故AC=?

s\nz.ABCs\nz.ACBsmlzOsm30

8.(2020浙江高一檢測(cè))己知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且“cosC+V3asinC=6+c,則

A=；若4=百，且AABC只有唯一解，則b的取值范圍為.

匿案g(0,㈣U⑵

|解析|因?yàn)閍cosC+V3asinC=h+c,

所以由正弦定理得sinAcosC+V3sinAsinC=sinB+sinC,則sinAcosC+V3sinAsinC=sinAcos

C+cosAsinC+sinC,

所以gsinA=cosA+l,則sin(A-，=g,

所以A=5

當(dāng)。二加嗚或a^b時(shí),ZkABC有唯一解，即b二市給=2,或0<bWV5,所以Z?^(0,V3]U{2}.

9.在NBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。力,。,已知到=若.

acos/l

(1)求角A的大小;

⑵設(shè)a=20,b=3；求sin(2B-A)的值.

g(1)由正弦定理可得2sinC：inB=cosB,

—sin/iCOSA

即2sinCeosA=sinAcosB+cosAsinB

=sin(A+B)=sinC.

因?yàn)閟inCWO,所以cos

又因?yàn)锳W(0,7t),所以A=]

(2)由正弦定理捻=熹，得sin5=等=鬻=竽，所以cosB=±』-sin2B=土耳.

所以cos2B=1-2sin2B=1-2

sin2B=2sinBcosB=±嚕.

lo

當(dāng)sin25二時(shí),sin(23-A)=sin2BcosA-cos2Bsin

163，

當(dāng)sin28=-^^時(shí),sin(28-A)=sin28cos/A-cos28sin

lo32

所以sin(2B-A)的值是吟星或冷竺

…八素養(yǎng)培優(yōu)練

在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足當(dāng)=sinB+sinC

cosB+cosC

⑴若"BC還同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):@=7,②6=10,③?=8,④"BC的面積5=10百,請(qǐng)指

出這三個(gè)條件，并說(shuō)明理由；

⑵若。=3,求AABC周長(zhǎng)L的取值范圍.

翻因?yàn)榱猩?=sinB+sinC

I—Icos4cosB+cosC'

所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

即sinAcosB-cosAsinB=sinCeosA-cosCsinA,

所以sin(A-B)=sin(C-74).

因?yàn)锳,民(0,兀)，

所以A-8=CA即2A=B+C,所以人存

(□△ABC還同時(shí)滿足條件①③④理由如下：

若AABC同時(shí)滿足條件Q像

則由正弦定理得sin8=粵竺=竽＞1,

所以AABC不能同時(shí)滿足條件。診,

所以XABC同時(shí)滿足條件(3)(?),

所以AABC的面積S=，csinA=|xZ?x8xy=10V3,^以A=5,與②f盾，所以AABC同時(shí)滿足條件

(D@④.

(2)在AABC中，由正弦定理得上肅=急=2

因?yàn)镃=--B,

所以/?=2V3sinB,c=2V3sin（竽-8）,

+3=6（：sinB+：cos+3=6sin3+?+3.

所以L=a+b+c=sinB+sin佟一J

ZLO

因?yàn)锽G(0年)，

所以(],^I),sin(B+3)G1J,

6666Z

所以2^8(：周長(zhǎng)心的取值范圍為(6,9].

第九章解三角形

9.1正弦定理與余弦定理

9.1.2余弦定理

三三三三三三三三三三—三?—三三―三壬工――

課后篇鞏固提升

…一基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練

1.在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若Z?=3,c=2,cosA=g,則a=()

A.5B.V7C.4D.3

§1]D

|解析何余弦定理可得a2=b2+c2-2i>ccosA=9+4-2x3x2xg=9,解得a=3.故選D.

2.在AA8C中，已矢口h2=ac且c=2a,貝ljcosB等于()

答案|B

解析因?yàn)閎2=ac,c=2a,^ff以『=2cF,b=&a.所以cosB="_3

------Zac2Q2Q4

3.已知為△"(?的三邊長(zhǎng),若滿足3+b-c>(a+Z?+c)=的則C的大小為()

A.60°B.90°C.120°D.1500

ggc

解析因?yàn)?ci+b-c)(a+/?+c)-ab,

所以J+zAc'二.曲即a

cabL

所以cosC=4,所以C=120°.

4.在AABC中,si嗎=*,b,c分別為角A,8,C的對(duì)應(yīng)邊），則AABC的形狀為（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

薪B

底明因?yàn)閟i魔=土羅=軟所以cos=空2亦總2,2整理得下+必］,符合勾股定理.故“BC為直

角三角形.

5.在AA8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a力,c,已知sinA/sinB/sinC=3/5；7,那么這個(gè)三角形中最大

角的度數(shù)是（）

A.135°B.90°C.120°D.1500

ggc

解析因?yàn)閟inA/sinB/sinC=3/5；7,故a.b,c=3/5：7,設(shè)〃=3A（Q0）,則b=5k,c=7k.由大邊對(duì)大

角定理可知，角C是最大角，由余弦定理得cosC=萼M=W.因?yàn)?°<C<180°,因此,C=120°.故選

ZabL

C.

6.

某地需要建設(shè)臨時(shí)醫(yī)院，其占地是由一個(gè)正方形和四個(gè)以正方形的邊為底邊、腰長(zhǎng)為400m的等腰

三角形組成的圖形（如圖所示），為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為（）

答案D

|解析|設(shè)等腰三角形的頂角為a,由三角形的面積公式，得4個(gè)等腰三角形的面積和為4xix400x400sin

a=320000sina,由余弦定理可得正方形邊長(zhǎng)為4002+4002-2x400x400cosa=4002-2cosa,故

正方形面積為160000(2-2cosa)=320000(1-cosa),所以所求占地面積為320000(1-cosa+sina)=320

00[v2sin(a-=)3n

0+1」,所以當(dāng)a-7=［，即當(dāng)時(shí),占地面積最大，此時(shí)底角為一^=故選D.

424Lo

7.（多選題）（2020海南中學(xué)高一期中）已知AABC中，角A,民。所對(duì)的邊分別為。力,c,且

A=60°,h=2,c=>/3+1，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.C=75°或C=105。

B.B=45°

C.a=\［6

D.該三角形的面積為粵

答案BC

艇畫(huà)由余弦定理，得/=/+。2-2從'cosA=4+4+2百-2x2x(d5+l)x：=6,所以。=逐.由正弦定理，得

卷=焉所以如片等=等=棄于。。＜8＜12。。，所以8=45。.所以C=18。。BA=75。.

三角形4BC的面積為，csinA=gx2x(百+l)x苧=昔"綜上所述，選BC.

8.在AABC中，邊a,b的長(zhǎng)是方程f-5x+2=0的兩個(gè)根，則a+b=，若C=60°，則邊

c=.

答案|5V19

解析由題意得〃+〃=5,?！?2.由余弦定理得c2=a2+b2-2ahcosC=a2^h1-ah=(a+h)2-3ah=52-3'X-2=[9,^

c=V19.

9.在銳角三角形A3C中,A3=3,AC=4.若AABC的面積為3次測(cè)5c的長(zhǎng)是.

|解析|由題可知/8/0而4=38,所以sinA埒.又因?yàn)椤?8C為銳角三角形，所以A=60°,由余弦定

理cosA-,得即BC=y/13.

/：2：bcQ

10.設(shè)2a+\,a,2a-\為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是.

腹氨2,8)

庭畫(huà)因?yàn)?a-1＞0,所以最大邊為加+1.因?yàn)槿切螢殁g角三角形，所以a1+(2a-\)2＜(2a+1產(chǎn),化簡(jiǎn)

得0＜。＜8.又因?yàn)椤?2〃-1＞2。+1,

所以。＞2,所以2＜。＜8.

11.在A48C中，求證:答=3優(yōu)).

怔明右邊=sinAcosB-cosAsinB

sinC

sin71八sinB.

=^-7-C0SB-^-T-COSA

smcsine

_aa2+c2-b2bb2+c2-a2

c2acc2bc

_a2+c2-b2b2+c2-a2_a2-b2

~~2?2?—-c2

=左邊.

所以。2一戶=sin(48)

c2sinC?

能力提升練

1.（2020江蘇揚(yáng)州大橋高級(jí)中學(xué)高一月考）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。力￡,若（L+c^Btan

8=遮這,則B的值為（）

屋或常D.抖莖

ga]D

|解析|**（a2+c2-fe2）tanB=V^ac,且cosB=七哈亙?，二sin8=苧,.：8=三或拿故選D.

2.在"BC中，已知A8=3,BC=Vn,AC=4,則邊AC上的高為（）

.3V23百C.|D.3V3

A—BT

答案|B

解雨如圖,

在中,BD為AC邊上的高，且AB=3,8C=g,AC=4.因?yàn)閏osA=之型空所以sjnA=?

ZX3X4LL

故BD=AB-sinA=3x苧=

3.已知A43C中,A,5,C的對(duì)邊的長(zhǎng)分別為〃力,“=120°,〃=&1,”3C的面積為則c+h=（）

A.4.5B.4V2C.5D.6

ggc

=

I解析[由三角形的面積公式可得S^ABc^bcsinA=1/?cx^y=苧?c=g，所以bc=4.由余弦定理得

6Z2=/?2+C2-2Z?CCOSA,即/+。2-2乂4乂(1)=21,得b2+c2=17.所^(/?4-c)2=/?2+c2+2Z?c=174-2x4=25,0

此,c+6=5.故選C.

4.(2020遼寧高一期中)AABC的面積S=〃2_3-c)2,則sin4=()

A塔B.A噓D片

17171517

|解析|根據(jù)S=1z?csinA,又a2=b2+c^-2bccosA,則S=cT-^b-c)1-cT-bl-c'+2bc--2bcco3A+2bc,^以-2Z?ccos

A+2bc=：hcsinA,化簡(jiǎn)得sinA=-4cosA+4,聯(lián)立［sin,4cosA+4,解得sjn

2(sin27l+COS2A=1,17

5.(2020廣東高三模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代語(yǔ)言表

示為:在ZkABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃力,c,則“8。的面積S也[(也2-(等馬2].根據(jù)此公

式，若acos3+3+3c)cosA=0,且廣上廿二2,則aABC的面積為()

A.V2B.2V2C.V6D.2V3

宣A

解析由czcos8+(/?+3c)cosA=0,得sinAcosB+cosAsinB+3sinCeosA=0,即sin(A+B)+3sinCeosA=0,

即sinC(l+3cosA)=0.因?yàn)閟inC#0,所以cosA=f.由余弦定理，得//-/="ccosA=|bc=2,所以

bc=3,由ZkABC的面積公式得S=J；[(be產(chǎn)。-)2]=x(32-l2)=故選A.

6.(多選題)(2020江蘇南京秦淮中學(xué)高一期中)^.AABC中，角A,氏C所對(duì)的邊分別為。力c且(。+勿；

(a+c)；S+c)=9/10；11,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA/sinB.sinC=4/5/6

BZABC是鈍角三角形

C."3C的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則NBC外接圓半徑僅為苧

答案|ACD

(a-\-b=9x,

|解析|因?yàn)?a+b)；(a+c)；(Z?+c)=9；10：11,所以可設(shè)Q+c=10%,其中x>0,解得a=4x,b=5x,c=6x,所

b+c=11%

以sinA；sinB/sinC=a：b；c=4；5；6,所以A正確;由上可知c邊最大，所以三角形中C最大.

-27222

又cosC=a汽c=(4x)+:x)；(6x)=卜所以c為銳角，所以B錯(cuò)誤;由上可知4邊最小，所以

2ab2x4xx5x8

三角形中A最小，又cos4=歿J=8)；?黑?』=*所以cos24=2面41/所以cos2A=cosC,

由三角形中C最大且C為銳角可得2AG(0,兀),CG所以2A=C，所以C正確;由正弦定理得

2穴=就，又sinC=JLeos2c=唱，所以2R=搭，解得/?=苧，所以D正確.故選ACD.

7.在AABC中,sin1=竿HB=5,8C=1,則AC=.

gm]4V2

畫(huà)畫(huà)由余弦定理得AC2=AB2+BC1-2ABBCcofiB,

又cosB=1-2sin2^=1-2x^=-1-

故Ad=25+l-2x5xlx(-|)=32,

所以AC=4\[2.

8.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知/?=3,a+c=3V5,sinC=2sinA

⑴求a,c的值；

⑵求sin(2B+；)的值.

廨|(1)由正弦定理看=就^及sinC=2sinA,得c=2a.因?yàn)閍+c=3V5,所以a=y/5,c=2\[5.

(2)由余弦定理得b^a+e-laccosB,

4

所以cosB=-.

因?yàn)?是三角形內(nèi)角，所以0<3<兀

所以sinB=Jl-cos2B=1.

24

所以sin2B=2sinBcosB=—,

、7

cos2B=2cos-fl-l=—.

所以sin(284-；)=sin28cos7+cos28sin7

\4/44

24V2,7V231V2

25225250.

素養(yǎng)培優(yōu)練

(2020山東泰安高三模擬)已知a,b,c分別為aABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若AABC是銳角三角形，若

△A8C同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):?4(勃=13;③?=15;瑟inC=g.

⑴條件①④能否同時(shí)滿足,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)以上四個(gè)條件，請(qǐng)?jiān)跐M足三角形有解的所有組合中任選一組,并求出對(duì)應(yīng)的AABC的面積.

網(wǎng)(1)AABC不能同時(shí)滿足①④.理由如下：

若AABC同時(shí)滿足①④則在銳角三角形A8C中,sinC=1<所以0<C<[

DZo

又因?yàn)锳音，所以g<4+C<],

所以B>5,這與AABC是銳角三角形矛盾，

所以△ABC不能同時(shí)滿足(D@.

(2)因?yàn)閊ABC需同時(shí)滿足三個(gè)條件，由(1)知不能同時(shí)滿足而④，故只可能同時(shí)滿足①@③氮②③

④若同時(shí)滿足②③@因?yàn)閏>a,所以C>A,則則8:這與AABC是銳角三角形矛盾.故AABC

OL

不能同時(shí)滿足②③④

若同時(shí)滿足①②⑥，因?yàn)閍2=b2+c2-2hccosA,所以?/十?Dx*15xg,解得6=8或b=l.

當(dāng)b=7時(shí)cosC=^-^-^-=~<0

HJ'2x7x1326'

所以c為鈍角，與題意不符合，

o2?-1o2ii

當(dāng)b=8時(shí),C==白所以為銳角，滿足題意，所以.所以的面積

cosZ7X?oX；U；Zo>0,C6=8AABC

S=1/?csinA=30b.

第九章解三角形

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

課后篇鞏固提升

L如圖，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為

50&m,/ACB=45°，/C48=105°后，就可以計(jì)算A,8兩點(diǎn)間的距離為()

A.100mB.50V3m

C.100V2mD.200m

ggA

I解桐在M8C中4c=50痘m,NAC8=45。,NC4B=105°，即NABC=30°,

由正弦定理得一巧方=-4^7-

sinZJlcBs\n/J\BC

所以備=舒，解得AB=100(m).故選A.

2.如圖，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CO的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前

進(jìn)100米到達(dá)B后,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50米，山坡對(duì)于地平面的坡角為4則

cos0=()

A

A.2V3+1B.2V3-1

C.V3-1D.V3+1

|g麗在AABC中,由正弦定理得BC=%；累(=嘿嚓1=50(n-V2),

1-------1smZ-ACBsin(45-15)

在4BCD中,sinNBDC=BCsi吸一=50空問(wèn)x學(xué)=國(guó)-1,又因?yàn)閏os8=sinNBDC,所以cos

6=75-1.故選c.

3.某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩個(gè)觀察所分別位于CQ兩點(diǎn)，已知AAC。為等邊三角形，且0c=gkm,當(dāng)目

標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)（A,B兩點(diǎn)位于8兩側(cè)）時(shí)，測(cè)得NC￡>B=45°,/8C￡>=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離

約為（）

A.l.lkmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km

ggc

I解析

如圖所示,NCBQ=180°-ZCDB-ZBCD=180°-45°-75°=60°,

在ABC。中，由正弦定理，得噂=「培「，故BO=2sin75°.在AABO中,NADB=45°+60°=105°,

V3sin/5

~2

由余弦定理，得AB2=AZ）2+B。221c.BOcos105°，所以AB=，5+2V^2.9（km）.

故炮兵陣地與目標(biāo)的距離為2.9km.故選C.

4.（2020黑龍江齊齊哈爾實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖所示，位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距

40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距

20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東6的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos0等于（）

.北

I壬東

喑

譚

隨明在△ABC中48=40,AC=20,NBAC=120°，由余弦定理得BC^^AE^+A^-lABACcos

120°=402+202-2X40X20XCOS1200=2800,所以BC=20夕.由正弦定理得ainZACB=ABsi^BAC=

亨.由N8AC=120°知NACB為銳角，故cos/4cB=苧.故cos8=cos(/ACB+30°)=cos/ACBcos

o?/?o_2V7V3V211_x/21,,、出

3a0A-sinNAACBsin3a0nx-------—x—=?故選DB.

5.如圖，從氣球4上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高度是60m,

則河流的寬度是（）

A.240(V3-l)m

B.180(V2-l)m

C.30(V3+l)m

D.120(V3-l)m

ggD

解桐由題意可知/A8C=105°,/8AC=45°,C=30°，所以AC=￡=一槳'=120.

------sinesm30

BC_AC尸r_ACs\n^.BAC_120sin450

sinZBAC=sin乙48C'仔'?一siUBC=sinl050

60V2

-=120(V3-l),

sin600cos4504-cos60°sin45

即河流的寬度為120（g-l）m.故選D.

6.如圖，為了測(cè)量山坡上燈塔CD的高度，某人從高為/2=40的樓AB的底部A處和樓頂B處分別測(cè)得

仰角為6=60°,a=30°,若山坡高為〃=35,則燈塔的高度是（）

解析|過(guò)點(diǎn)B作BE_LDC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)4作于點(diǎn)F,如圖所示,

在"BD中，由正弦定理得缶=亮而,即一［91:(9。0加=

所以AD="等，在Rt^ADF中,DF=ADs\n夕=螭等些,又山高為則燈塔CD的高度是

sin(p-a)sin(p-a)

CP=DF-CF=/lcos7in-a=40XTX^-35=60-35=25.古攵選B.

7.某船在4處看到燈塔S在北偏西40°方向，它向正北方向航行50海里到達(dá)B處，看到燈塔S在北偏

西76°方向，則此時(shí)船到燈塔S的距離為海里(sin40°=0.6428,sin76°=0.9703,sin

36°=0.5878,結(jié)果精確到0.1).

答案|54.7

解畫(huà)由條件可得/BS4+/8AS=76°,

所以NBSA=76°-40°=36°.

在ASAB中，由正弦定理，得.黨°=.一

s\nz.BASsin乙8sA

/Bsin/BAS50sin40°

所以BS二=54.7.

s\nz.BSAsin36°

8.(2020山東濟(jì)南濟(jì)鋼高級(jí)中學(xué)高一期中)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，公路北側(cè)

有一座山，山腳C與公路處于同一高度，當(dāng)汽車行駛到A處時(shí)測(cè)得山頂。在北偏西45°的方向上，仰

角為火行駛300米后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂D在北偏西15°的方向上，仰角為彼.若夕=45°,則仰角a

的正切值為.

答案］存1

由題意可得N048=45°，/ABC=105°,AB=300米,/CB￡>=45°.

在AABC中，可得/AC8=180°-45°-105°=30°,

利用正弦定理可得遙CBAC

sin45=sinl05.

解得C8=300A/I米,AC=150（乃+V2）<.

在RtABCD中，由/CBO=45°可得CC=C8=300魚(yú)米，在Rt"CQ中，可得tana=<=

300/

=V3-1.

150(V6+V2)

9.如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一

個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°,且座位A,B間的距離為

10后米，則AN=米，旗桿的高度為米

/旗桿

產(chǎn)尊二1跳/

|觀禮臺(tái)啟一八60。

A八

答案|20百30

回明依題意可知NNBA=45°,NBAN=180°-60°-15°=105°,

所以NBN4=180°-45°-105°=30°.

48NA

由正弦定理可知

sin乙BNAsin^NBA'

所以米.

s\n^.BNA

所以在RtAAMN中,MN=ANsin/N4M=2075X苧=30(米)，所以旗桿的高度為30米.

10.如圖所示，我國(guó)漁船編隊(duì)在島A周圍海域作業(yè)，在島A的南偏西20°方向有一個(gè)海面觀測(cè)站8,某

時(shí)刻觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近，現(xiàn)測(cè)得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航，

上級(jí)指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里州的速度向島A直線航行以保護(hù)我國(guó)漁船編隊(duì),30分

鐘后到達(dá)D處，此時(shí)觀測(cè)站測(cè)得B,D間的距離為21海里.

⑴求sinNBDC的值;

(2)試問(wèn)海警船再向前航行多少分鐘方可到達(dá)島A?

陶⑴由已知可得CD=40x1=20,4iABDC中，根據(jù)余弦定理求得cos/BCC=嚓票奈=}

所以sin/BDC=竽.

(2)由已知可得/84。=20°+40°=60°,

所以sin/ABQ=sin(N8OC-60°)

_4V31_/1\V3_5V3

在AABD中，由正弦定理可得AD=BDxsir^ABD=空篝祟=匕,所以仁益x60=22.5分鐘.即海警

s\nz.BADsmZ.BAD40

船再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)島A.

11.(2020江蘇高一期末)如圖，我方炮兵陣地位于A處，兩移動(dòng)觀察所分別設(shè)在C,D兩處.已知AAC。為

正三角形.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在點(diǎn)8時(shí)，測(cè)得BC=1千米,8。=2千米.

(1)若測(cè)得求AA8C的面積；

(2)若我方炮火的最遠(yuǎn)射程為4千米，試問(wèn)目標(biāo)B是否在我方炮火射程范圍內(nèi)？

網(wǎng)(1)在△BCD中,由余弦定理得CDr^B^+Blf^BDBCcosZDBC,

.：CD2=1+4-2=3.

VBLT^CCT+BC1,

.：NBC￡>=],

1

?：SAA*ACBCsinZACB

=；xgxlxsing+p

Q)設(shè)NCBD=a,/CDB=。,在&BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cosa,

由正弦定理得COsiny?=sina.

在△A3。中，

AB2=BD1+AD2-2BDADcos0+p

=9-4cosa-2AOcos夕+2V^AOsinfi

=9-4cosa-2Ji4Z)2-sin2a+2V3sina

=9-4cosa-2(2-cosa)+2V3sina

=5+4sinQ-j)

D

W9,

當(dāng)且僅當(dāng)a=?時(shí),4B取至U最大值3,

:，3<4,.：目標(biāo)B在我方炮火射程范圍內(nèi).

第九章測(cè)評(píng)

（時(shí)間:120分鐘滿分:150分）

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a:b:c=4:3:2,則"黑患二=（）

答案|D

畫(huà)由題意舞薯=察鬻=盛，因?yàn)椤?b公4；3；2，設(shè)。=433224,由余弦定理可

2sinA-s\nB

得cosC=

sin2c

2.如圖，從地面上CQ兩點(diǎn)望山頂A,測(cè)得它們的仰角分別為45°和30°,已知CZ）=100米點(diǎn)C位于

8。上,則山高AB等于（）

A.100米B.5OV5米

C.50（百+1）米D.50Vl米

|解析|設(shè)AB=/z,在△A8C中,N4CB=45°,所以BC=h.在4ADB中,=苧,

解得〃=50（g+1）米.故選C

3.（2020黑龍江齊齊哈爾實(shí)險(xiǎn)中學(xué)高一期中）在△ABC中,“2+反+°2=2拉;cosA+2accos仇則AABC一定

是)

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

ggc

解析*'(T+b2+c2=2Z?ccosA+2accosB,

.2,.2,2b2+c2-a2a2+c2-b2

..a+b+c=2bc—2rrb——c+2ac-2-a-c---,

.：(T+b2+c2-b1+c2-cr+a2+c2-&2-2c1,

即/+/=C2,.：AABC一定是直角三角形

故選C.

4.在直角梯形ABC。中/B〃CQ,N45c=90°工B=2BC=2C￡>,則cos/D4C=()

°F

gg]c

臃責(zé)如下圖所示,不妨設(shè)BC=CD=\,?]AB=2,過(guò)點(diǎn)D作DEJ_AB,垂足為點(diǎn)E.

易知四邊形BCZ)E是正方形，則BE=CD=1,

所以AE=A8-BE=1.

在RtMDE中工。=山IE2+DE2=&,在RtAABC中,ACfMB2+B>2=瓜

在"8中,由余弦定理得cosN"Ze-=益亞=母?故選C.

5.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若戾in2A+夜asin8=0力=或。,則（的值為（）

A.1C.f鳴

ggc

解析因?yàn)閎sin2A+&〃sinB=0,

所以由正弦定理可得sinBsin2A+V2sinAsin8=0,

即2sin8sinAcosA+V2sinAsinB=0.

由于sinBsinAM,所以cosA=4,因?yàn)?/p>

0<A<兀，所以A二率又h=y/2c,

由余弦定理可得<72=/?2+c2-2chcosA=2c2+C2+2C2=5C2,

所以￡=2.故選C.

6.（2020湖北黃岡麻城實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三模擬）《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣

泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對(duì)今天的兒何學(xué)和其他學(xué)科仍有深刻的影響.下圖是《易經(jīng)》中記載

的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形

代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為10m,陰陽(yáng)太極圖的半徑為4m,則每塊八卦田的面積約為（）

A.114m2B.57m2

C.54m2D.48m2

ggc

解函如圖所示,

設(shè)。A=。