人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《最短路徑問題》教案設(shè)計(jì)

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題）

時間：主備人:

課程設(shè)計(jì)修改和反思

教學(xué)（學(xué)習(xí)）目標(biāo)：

1.能運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各

點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”探索最短路徑問題。

2,能運(yùn)用“三角形兩邊之和大于第三邊”作為關(guān)于最短路徑的

選址問題的理論依據(jù)，會運(yùn)用圖形成軸對稱的性質(zhì)解決實(shí)際問題

中最短路徑的問題。

3.通過作圖，體會圖形的變化在解決最值問題中作用，感悟轉(zhuǎn)

化思想。

教學(xué)重點(diǎn)：

利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問

題.

教學(xué)難點(diǎn)：

確定最短距離及理論說明

教學(xué)方法：

啟發(fā)式教學(xué)法、類比學(xué)習(xí)法、自主學(xué)習(xí)法、

教學(xué)設(shè)計(jì)：

課前設(shè)計(jì)問題：

最短路徑問題：是生活中的實(shí)際問題，在解決修路、鋪管道等

問題的時候可以起到節(jié)約人力、物力、財(cái)力的作用，這就需要把

導(dǎo)?思?議?

課程設(shè)計(jì)修改和反思

實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。

今天我們就通過幾個實(shí)際問題學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)最短路徑。

（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前讓學(xué)生們清楚學(xué)習(xí)這節(jié)課的知識

在解決生活實(shí)際問題中有什么作用，同時讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)知識

應(yīng)用的廣泛性。）

導(dǎo)：

相傳，古希臘亞歷山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫

海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解

的問題：

如圖，從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地,

到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答

了這個問題，這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。

（設(shè)計(jì)意圖：利用問題故事的形式導(dǎo)入，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,

又明確的出示了這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。）

知識回顧：

1.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？

導(dǎo)?思?議?

課程設(shè)計(jì)修改和反思

2.如圖，點(diǎn)P是直線1外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線1上各點(diǎn)連接的所

實(shí)？

4.如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)

A?

（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前先讓學(xué)生預(yù)習(xí)幾個知識點(diǎn)，便于

這節(jié)課學(xué)生們能熟練的運(yùn)用所學(xué)的知識解決本節(jié)課的內(nèi)容。）

師：讓我們回到剛才出示的問題中，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題，并明確作圖要求。?B

抽象成

數(shù)學(xué)問題

導(dǎo)?恩?議?堤瓚陟

課程設(shè)計(jì)修改和反思

作圖：在直線1上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問題.

（設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用

數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行解決。）

思：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1異側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在1上找

到一個點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離的和最短？

根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”“兩邊之和大于第三邊

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生們思考假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1異側(cè)的兩個

點(diǎn)，如何在1上找到一個點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離的

和最短的問題，并用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行驗(yàn)證和推理。）

師：回到剛才的問題上。

問題如果點(diǎn)A.B分別是直線1同側(cè)的兩個點(diǎn)，又應(yīng)該如何解

決？

思：1.如何把“同側(cè)”轉(zhuǎn)換“異側(cè)”？

2.滿足直線1上的任意一點(diǎn)C,使CB與CB'的長度相等？

利用軸對稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)夕

3.在直線1上求作一點(diǎn)C,使AC+"曰問題.

導(dǎo)?恩?議?堤瓚陟

課程設(shè)計(jì)修改和反思

（設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置思考問題，一步步引導(dǎo)學(xué)生開闊思維，使

問題簡單化，達(dá)到解決問題的目的。）

議：你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？

證明：在直線L上找除點(diǎn)C外一點(diǎn)U,由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B'C,BC'=B'C.

即AC+BC最短.

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分理解為什么“兩點(diǎn)之間線段最短”，并

能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識推理論證。）

師：接下來整理一下這道“將軍飲馬''問題的作圖方法。

作法：

（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)二；

（2）連接AB',與直線L相交于點(diǎn)C.

則點(diǎn)C即為所求.

（設(shè)計(jì)意圖：通過以上過程的推導(dǎo)和論證，對于這道題讓學(xué)生整

理出清晰的的作圖步驟，并規(guī)范語言敘述。）

導(dǎo)?恩?議?堡熨寥

課程設(shè)計(jì)修改和反思

師：我們剛才是左B點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，那么能不能作A

點(diǎn)的對稱點(diǎn)，直線L上找一點(diǎn)C,使AC+BC最短問題？

（讓學(xué)生在原來的圖上進(jìn)行作A點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，作完后

發(fā)現(xiàn)了什么？）

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試用不同的方法，在直線L上找一點(diǎn)C,

使AC+BC最短問題，發(fā)散學(xué)生的思維，使所學(xué)的知識點(diǎn)進(jìn)行靈活

運(yùn)用。）

師：通過對這道題，同學(xué)們能不能總結(jié)一下關(guān)于求線段之和最短

及最短路徑問題的方法？（讓學(xué)生們自己總結(jié)）

方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點(diǎn)是關(guān)鍵，

1.將“同側(cè)”問題轉(zhuǎn)換“異側(cè)”問題；

2.利用的軸對稱的性質(zhì)將相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

3.將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長。

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對于這類最短路徑問題，有明確的做題思路，

和正確的方法，以便于關(guān)于此類問題靈活的拓展應(yīng)用。）

變式1：

如圖:M、N為AABC邊AB、AC上的兩點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)P,使

△PMN的周長最小。?

M/AN

BC

導(dǎo)?恩?議?堡熨如

課程設(shè)計(jì)修改和反思

（設(shè)計(jì)意圖：變式一是對“將軍飲馬問題”的靈活運(yùn)用，求△PMN

的周長最小，其中線段MN的長度是定值，只需求得MP+NP

最小。）

變式2：

如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先

到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他

確定這一天的最短路線。

A-----------------------------------[0

C■

?D

B

（設(shè)計(jì)意圖：變式二是“將軍飲馬問題”的拓展和延伸，學(xué)生由

“兩點(diǎn)一線”到“兩點(diǎn)兩線”的探索，激發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題的

欲望，和濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。）

課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？還存在哪

些疑問？

方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點(diǎn)是關(guān)鍵，

1.將“同側(cè)”問題轉(zhuǎn)換“異側(cè)”問題；

導(dǎo)?恩?議?堤熨如

課程設(shè)計(jì)修改和反思

2.利用的軸對稱的性質(zhì)將相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換;

3.將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長。

運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想。

課時練：

1.如圖.P為^AOB內(nèi)一點(diǎn)，Pl,P2分別是P關(guān)于OA,0B的對

稱點(diǎn)，交0A于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N,若PlP2=8cm.則^PMN的

周長是（）.

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3,

0）,點(diǎn)C是y軸上一個動點(diǎn)，當(dāng)AABC的周長最小時，則求此時

點(diǎn)C的坐標(biāo).

布置作業(yè):

導(dǎo)?恩?議?堡熨寥

課程設(shè)計(jì)修改和反思

教材P93頁第15題；

課時練P72-74頁。

板書設(shè)計(jì)：

方法總結(jié)：

此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點(diǎn)是關(guān)鍵，

1.將“同側(cè)”問題轉(zhuǎn)換“異側(cè)”問題；

2.利用的軸對稱的性質(zhì)將相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

3.將求