五年級奧數(shù)專題-長方體和正方體

五年級奧數(shù)專題--長方體和正方體長方體和正方體（一）專題簡析在數(shù)學競賽中,有許多有關長方體、正方體的問題。解答稍復雜的立體圖形問題要注意幾點：1,必須以基本概念和方法為基礎,同時把構成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2,依賴已經積累的空間觀念,觀察經過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3,求一些不規(guī)則的物體體積時,可以通過變形的方法來解決。例1.一個零件形狀大小如下圖：算一算,它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）變式訓練.一個長5厘米,寬1厘米,高3厘米的長方體,被切去一塊后（如圖）,剩下部分的表面積和體積各是多少？.把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段,表面積增加了2平方分米,求這根木料原來的體積。.有一個長8厘米,寬1厘米,高3厘米的長方體木塊,在它的左右兩角各切掉一個正方體（如圖）,求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？例2.有一個長方體形狀的零件,中間挖去一個正方體的孔（如圖）,你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）變式訓練1.有一個形狀如下圖的零件,求它的體積和表面積。（單位：厘米）。62.有一個棱長是4厘米的正方體,從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后,剩下物體的體積和表面積各是多少？43.如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上（如圖）,那么得到的物體的體積和表面積各是多少？例3.一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體,拼成的長方體的表面積比原來的長方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？變式訓練1.把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體,這個大長方體的表面積比原來兩個長方體的表面積的和減少了46平方厘米,而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24厘米,那么它的體積是多少立方厘米？.一根長80厘米,寬和高都是12厘米的長方體鋼材,從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體后,它的表面積減少了多少平方厘米？.把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個長方體,它們的表面積最多會減少多少平方分米？例4.把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米,求大長方體的表面積。變式訓練.一塊小正方體的表面積是6平方厘米,那么,由1000個這樣的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？.一個長方體的體積是385立方厘米,且長、寬、高都是質數(shù),求這個長方體的表面積。.有24個正方體,每個正方體的體積都是1立方厘米,用這些正方體可以拼成幾種不同的長方體？用圖畫出來。例5.一個長方體,前面和上面的面積之和是209平方厘米,這個長方體的長、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？變式訓練1.有一個長方體,它的前面和上面的面積和是88平方厘米,且長、寬、高都是質數(shù),那么這個長方體的體積是多少？.一個長方體的長、寬、高是三個連續(xù)偶數(shù),體積是96立方厘米,求它的表面積。.一個長方體和一個正方體的棱長之長相等,已知長方體長、寬、高分別是6分米、4分米、25分米,求正方體體積。第14講長方體和正方體（二）專題簡析在長方體、正方體問題中,我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中,物體在水中會占領一部分的體積。解答上述問題,必須掌握這樣幾點：1,將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗）,體積不變；2,兩個物體熔化成一個物體后,新物體的體積是原來物體體積的和；3,物體浸入水中,排開的水的體積等于物體的體積。例1.有兩個無蓋的長方體水箱,甲水箱里有水,乙水箱空著。從里面量,甲水箱長40厘米,寬32厘米,水面高20厘米；乙水箱長30厘米,寬24厘米,深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱,使兩箱水面高度一樣,現(xiàn)在水面高多少厘米？變式訓練1.有兩個水池,甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米,乙水池空著,它長6分米、寬和高都是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池,使兩個水池中水面同樣高。問水面高多少？2.有一個長方體水箱,從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放進一個棱長20厘米的正方體鐵塊后,鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？3.一段鋼材長15分米,橫截面面積是1.2平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋,求這根據鋼筋的長。例2.將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質正方體熔成一個大正方體（不計損耗）,求這個大正方體的體積。變式訓練1.有三個正方體鐵塊,它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體,求這個大正方體的體積。2.將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個正方體鐵塊熔成一個長方體,已知這個長方體的長是13厘米,寬7厘米,求它的高。3.把8塊邊長是1分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體,這個大正方體的表面積是多少平方分米？例3.有一個長方體容器,從里面量長5分米、寬4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中,水面上升多少分米？變式訓練.有一個小金魚缸,長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？.有一個正方體容器,邊長是24厘米,里面注滿了水。有一根長50厘米,橫截面是12平方厘米的長方形的鐵棒,現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方厘米的水？.有一塊邊長是5厘米的正方體鐵塊,浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵后,水面下降了0.5厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？例4.有一個長方體容器（如下圖）,長30厘米、寬20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊,再朝左豎起來,里面的水深應該是多少厘米？變式訓練.有兩個長方體水缸,甲缸長3分米,寬和高都是2分米；乙缸長4分米、寬2分米,里面的水深1.5分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸,水在甲缸里深幾分米？.有一塊邊長2分米的正方體鐵塊,現(xiàn)把它煅造成一根長方體,這長方體的截面是一個長4厘米、寬2厘米的長方形,求它的長。.像例題中所說,如果讓長30厘米、寬10厘米的面朝下,這時的水深又是多少厘米？例5.長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米？變式訓練1.一個長方體,不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,這個長方體的體積是多少立方厘米？2.一個長方體,不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米,且長、寬、高都是質數(shù),這個長方體的體積是多少立方厘米？3.一個長方體的體積是48立方厘米,并且長、寬、高是三個連續(xù)的偶數(shù)。這個長方體的表面積是多少平方厘米？第15講長方體和正方體（三）專題簡析：解答有關長方體和正方體的拼、切問題,除了要切實掌握長方體、正方體的特征,熟悉計算方法,仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外,還必須知道：把一個長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分,新增加的表面積等于切面面積的兩倍。例1.一個棱長為6厘米的正方體木塊,如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊,表面積增加多少厘米？變式訓練1.把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體,這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2.有一個棱長是1米的正方體木塊,如果把它鋸成體積相等的8個小正方體,表面積增加多少平方米？3.把一個正方體的六個面都涂上紅色,然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體,沒有涂顏色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？例2.有一個正方體木塊,把它分成兩個長方體后,表面積增加了24平方厘米,這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？變式訓練.把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體,這個長方體的表面積是多少平方厘米？.有一個正方體木塊,長4分米、寬3分米、高6分米,現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體,表面積最多增加多少平方分米？.有三塊完全一樣的長方體積木,它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米,現(xiàn)把三塊積木拱成一個大的長方體,怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？例3.有一個正方體,棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的小正方體,這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過程中,每切一切,就會增加兩個3X3平方分米的面，你能用這種思路來計算所求問題嗎？變式訓練1.用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體,至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是6厘米的正方體,需要多少個小正方體？2.有一個長方體,長10厘米、寬6厘米、高4厘米,如果把它鋸成棱長是1厘米的小正方體,一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？3.把24個棱長是1厘米的小正方體擺成一個長方體,這個長方體的表面積至少是多少平方厘米？例4.一個正方體的表面涂滿了紅色,然后如下圖切開,切開的小正方體中：（1）三個面涂有紅色的有幾個？（2）二個面涂有紅色的有幾個？（3）一個面涂有紅色的有幾個？（4）六個面都沒有涂色的有幾個？變式訓練1.把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色,然后切成1立方厘米的小正方體,這些小正方體中,一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？2.把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體,然后在大正方體的表面涂上顏色,已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個,那么,這些小正方體一共有多少個？3.把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色,然后切成1立方分米的小正方體,在這些小正方體中,六個面都沒有涂色的有多少個？例5.一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米,若把它切割成三個體積相等的小長方體,這三個小長方體表面積的和最大是多少平方