《微積分二》二重積分

§8.7二重積分一、二重積分的根本概念二、二重積分的計(jì)算一、二重積分的根本概念

我們仿照求曲邊梯形的面積的方法來(lái)求曲頂柱體的體積

一、二重積分的根本概念引例(曲頂柱體的體積)

設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)

且f(x,y)

0

試求以曲面z

f(x,y)為頂

以區(qū)域D為底

以平行z軸的直線為母線的曲頂柱體的體積

一、二重積分的根本概念引例(曲頂柱體的體積)提示

其中d為各小區(qū)域直徑的最大值.用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積

Vi

Vi

f(xi

yi)

i

用小平頂柱體的體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體積

將分割加細(xì)

取極限

求得曲頂柱體體積的精確值

si(xi,yi)用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域

1

2

n

定義8

8(二重積分)

設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的二元函數(shù)

在每個(gè)小區(qū)域

i上任取一點(diǎn)(xi,yi)

作積分和

si(xi,yi)

將D任意分成n個(gè)小區(qū)域

n

(i

1,2,

,n)

定義8

8(二重積分)

在每個(gè)小區(qū)域

i上任取一點(diǎn)(xi,yi)

作積分和如果當(dāng)各小區(qū)域直徑中的最大值d趨于0時(shí)積分和的極限存在且與小區(qū)域的分割及點(diǎn)(xi,yi)的選取無(wú)關(guān)那么稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分記作其中D稱為積分區(qū)域

f(x,y)稱為被積函數(shù)

d

稱為面積元素

設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的二元函數(shù)

將D任意分成n個(gè)小區(qū)域

n

(i

1,2,

,n)

定義8

8(二重積分)

在每個(gè)小區(qū)域

i上任取一點(diǎn)(xi,yi)

作積分和如果當(dāng)各小區(qū)域直徑中的最大值d趨于0時(shí)積分和的極限存在且與小區(qū)域的分割及點(diǎn)(xi,yi)的選取無(wú)關(guān)那么稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分記作

設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的二元函數(shù)

將D任意分成n個(gè)小區(qū)域

n

(i

1,2,

,n)

注：如果函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)那么f(x,y)在D上一定是可積的d

稱為面積元素在直角坐標(biāo)系中常用平行于x軸和y軸的兩組直線分割D

于是小區(qū)域的面積為

i

xi

yi(i

1,2,

,n)

因此

在直角坐標(biāo)系中面積元素為d

dxdy

所以在直角坐標(biāo)系中二重積分可記為Dz

f(x,y)二重積分的幾何意義

以曲面z

f(x,y)

為頂、區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積在D上為正在D上為負(fù)在D上有正有負(fù)以曲面z

f(x,y)

為頂、區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積的負(fù)值xy面上方的柱體體積與xy面下方的柱體體積之差例1.利用二重積分的幾何意義求以下二重積分.解：(1)表示以平面z

2

為頂、區(qū)域D為底的柱體的體積，故即半球的體積.故二重積分的性質(zhì)

二重積分與一元函數(shù)定積分具有相應(yīng)的性質(zhì)

下面論及的函數(shù)均假定在區(qū)域D上可積

二重積分的性質(zhì)性質(zhì)6設(shè)M與m分別是f(x,y)在D上的最大值和最小值A(chǔ)為D的面積那么有性質(zhì)7設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)A為D的面積那么在D上至少存在一點(diǎn)()使得1

在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(1)區(qū)域D為X型區(qū)域

D

{(x

y)|a

x

b

1(x)

y

2(x)}----化為兩次定積分來(lái)計(jì)算二、二重積分的計(jì)算

(2)區(qū)域D為Y型區(qū)域

D

{(x

y)|c

y

d

1(y)

x

2(y)}提示

z

f(x,y)為頂

以閉區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V

提示

截面是以區(qū)間[j1(x0),j2(x0)]為底、以曲線z

f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形.二重積分的計(jì)算

對(duì)于x0

[a,b],

曲頂柱體在x

x0的截面面積為曲頂柱體體積為(1)區(qū)域D為X型區(qū)域

D

{(x

y)|a

x

b

1(x)

y

2(x)}設(shè)二重積分的計(jì)算

對(duì)于x0

[a,b],

曲頂柱體在x

x0的截面面積為曲頂柱體體積為(1)區(qū)域D為X型區(qū)域

D

{(x

y)|a

x

b

1(x)

y

2(x)}設(shè)注

計(jì)算一般二重積分只需取消f(x,y)

0的限制.1

在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(1)區(qū)域D為X型區(qū)域

D

{(x

y)|a

x

b

1(x)

y

2(x)}(2)區(qū)域D為Y型區(qū)域

D

{(x

y)|c

y

d

1(y)

x

2(y)}先對(duì)y積分，再對(duì)x積分先對(duì)x積分，再對(duì)y積分

解

矩形區(qū)域D可表示為且ex

y

ex

ey

D

{(x

y)|0

x

1

0

y

1}

所以

(e

1)2

x

1

y

0

y

1圍成的矩形

例2.特殊地，Ⅰ.Ⅱ.

解

與x2

y2

1所圍成的第一象限的圖形

例3.

解

D可表示為

2x

y

3

0與x

y

3

0圍成的圖形

例4.

解

11因?yàn)楦?hào)下的函數(shù)關(guān)于x的一次函數(shù)，“先x后y”積分比較容易，所以

解

例6

應(yīng)用二重積分

求在xy面上由y

x2與y

4x

x2所圍成的區(qū)域的面積A

D

{(x,y)|0

x

2,x2

y

4x

x2}

解:積分區(qū)域如圖

證

區(qū)域D又可表為0

x

a

x

y

a

于是由二重積分得積分區(qū)域D為0

y

a

0

x

y

其中a、b均為常數(shù)

且a

0

例8.練習(xí)2

在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算在平面解析幾何中平面上任意一點(diǎn)有極坐標(biāo)(r,)與它的直角坐標(biāo)(x,y)的變換公式為xrcosyrsin可以證明

直角坐標(biāo)的二重積分與極坐標(biāo)的二重積分的變換公式為

計(jì)算極坐標(biāo)系下二重積分

也要將它化為二次積分

----化為兩次定積分來(lái)計(jì)算什么時(shí)候利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分？如：圓或圓的一局部.1、積分區(qū)域的邊界用極坐標(biāo)表示較簡(jiǎn)單，2、被積函數(shù)中含有如下的形式時(shí)：2

在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

直角坐標(biāo)的二重積分與極坐標(biāo)的二重積分的變換公式為----化為兩次定積分來(lái)計(jì)算2

在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

直角坐標(biāo)的二重積分與極坐標(biāo)的二重積分的變換公式為(1)極點(diǎn)O在區(qū)域D外部

D可表示為

D

{(r,

)|

,r1(

)

r

r2(

)}

于是----化為兩次定積分來(lái)計(jì)算2

在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

直角坐標(biāo)的二重積分與極坐標(biāo)的二重積分的變換公式為(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上

D可表示為

D

{(r,

)|

,0

r

r(

)}

于是----化為兩次定積分來(lái)計(jì)算2

在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

直角坐標(biāo)的二重積分與極坐標(biāo)的二重積分的變換公式為(3)極點(diǎn)O在區(qū)域D內(nèi)部

D可表示為

D

{(r,

)|0

2

,0

r

r(

)}

于是----化為兩次定積分來(lái)計(jì)算提示

提示

解

區(qū)域D可表示為

D

{(r,

)|0

,0

r

2sin

}

例10.

解

D

{(r,

)|0

2

,0

r

1}

區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為

例11.所以I2

例12.練習(xí)例13.利用二重積分的幾何意義說(shuō)明：(1)

當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x,y)為x的奇函數(shù)，即f(?

x,y)=?f(x,y)時(shí)有〔D1為D在x≥0的局部〕(2)

當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x,y)為x的偶函數(shù)，即f(?

x,y)=f(x,y)時(shí)有