有限樣本空間與隨機事件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

有限樣本空間與隨機事件第十章

概率隨機事件與概率引

入確定性現(xiàn)象一般地，把在一定條件下能預(yù)知結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.比如：把石頭拋向空中，它會掉到地面上來；

我們生活的地球每天都在繞太陽轉(zhuǎn)動；

一個人隨著歲月的消逝，一定會衰老死亡……

這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.這里的確定性有兩層含義：一是在一定條件下必然發(fā)生，

二是可以預(yù)知結(jié)果.引

入隨機現(xiàn)象拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；

拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)點數(shù)的情況；

從裝有一些白球和紅球的袋子中隨機摸出一個，事先不能確定它的顏色;有放回地重復(fù)摸取多次，記錄摸到的球的顏色，從記錄的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，例如紅球和白球的大概比例，進而就能知道每次摸出紅球、白球的可能性大概是多少等等．

這類現(xiàn)象的共性是∶就一次觀測而言，出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性，但在大量重復(fù)觀測下，各個結(jié)果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性．這類現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象，它是概率論的研究對象．概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，引

入1.隨機試驗我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能

確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.可重復(fù)性可預(yù)知性隨機性

我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.

研究某種隨機現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.

考慮下面隨機試驗可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.（1）將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；（2）從你所在的班級隨機選擇10名學(xué)生，觀察近視的人數(shù)；（3）在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；探究新知2.樣本空間與樣本點問題1體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同分別標(biāo)號0、1、2、…、9的球放入搖獎器中,經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球，觀察這個球的號碼.這個隨機試驗共有多少個可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？

共有10種可能結(jié)果.用數(shù)字m表示“搖出的球的號碼為m”這一結(jié)果，所有可能結(jié)果可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間Ωω

如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果的ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間

={ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.Ω探究新知

有了樣本點和樣本空間的概念，我們就可以用數(shù)學(xué)方法描述和研究隨機現(xiàn)象，從集合論的角度分析隨機試驗結(jié)果.樣本空間：全體樣本點的集合

…Ω樣本點：

隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果探究新知例1

拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間.解:

因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果,所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h,t}.樣本空間的表達形式不唯一探究新知例2拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數(shù),寫出試驗的樣本空間.解：因為落地時朝上面的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω＝{1,2,3,4,5,6}.探究新知例3

拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.解:擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用(x,y)表示.于是，試驗的樣本空間正面朝上→1反面朝上→0如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解此例的解答過程.Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}.101010第一枚第二枚Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，一般用1和0表示這兩個結(jié)果.探究新知

變式同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果記為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y(tǒng)”呢？解：(1)Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)樣本點的總數(shù)為16.探究新知

變式同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果記為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y(tǒng)”呢？(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)．“x<3且y>1”包含以下6個樣本點(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．

(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)．探究新知問題2

在上面體育彩票搖號試驗中,搖出“球的號碼為奇數(shù)”是隨機事件嗎?搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機事件?如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系?是隨機事件都是樣本空間的子集探究新知3.隨機事件的相關(guān)概念隨機事件(事件)：樣本空間Ω的子集.基本事件：只包含一個樣本點的事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示.事件A發(fā)生：當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn).

必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形.這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集.必然事件：在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生.Ω為必然事件.不可能事件：在每次試驗中都不會發(fā)生.?為不可能事件.（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實數(shù)時，x2＋1≥1；（3）手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮；（4）一個電影院某天的上座率超過50%.（5）如果a＞b，那么a-b＞0；（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張,得到4號簽;（7）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（8）隨機選取一個實數(shù)x，得|x|<0.例題講解隨機事件必然事件不可能事件隨機事件必然事件隨機事件隨機事件不可能事件例4

指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件.例題講解例5

如右圖，一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：

M＝“恰好兩個元件正常”；

N＝“電路是通路”；T＝“電路是斷路”.ACB解：(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間為Ω＝{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.例題講解01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能結(jié)果111

M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}；N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}；T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)}.還可借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果，如下圖.(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正常”；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.ACB課堂練習(xí)2.如圖，由A,B兩個元件分別組成串聯(lián)電路(圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2))，觀察兩個元件正?；蚴У那闆r.

(1)寫出試驗的樣本空間;

(2)對串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點;

(3)對并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點.AB(1)BA(2)解：(1)分別用x1,x2表示元件A,B的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2)表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.(2)事件M=“電路是通路”包含的樣本點為(1,1).(3)事件N=“電路是斷路”包含的樣本點為(0,0).課堂練習(xí)3.袋子中有9個大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機摸出一個球.

(1)寫出試驗的樣本空間;

(2)用集合表示事件A=“摸到球的號碼小于5”，事件B=“摸到球的號碼大于4”，事件C=“摸到球的號碼是偶數(shù)”.解：(1)樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)事件A用集合表示為{1,2,3,4}；

事件B用集合表示為{5,6,7,8,9}；

事件C用集合表示為{2,4,6,8}.課堂練習(xí)課堂小結(jié)