人教A版高中數(shù)學(xué)第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難) (42)(有解析)

第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難)(42)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知向量而=(cos2%,a),n=(a,2+V3sin2x),且函數(shù)f(%)=沅?五-5(aWR).

(I)當(dāng)函數(shù)f(x)在［o5］上的最大值為3時，求。的值；

(11)在(1)的條件下，若對任意的teR,函數(shù)y=/Q),在(t,t+b］上的圖像與直線y=-l有且

僅有兩個不同的交點，試確定6的值.并求函數(shù)y=f(x)在(0,回上的單調(diào)遞減區(qū)間.

2.如圖，矩形ABCC是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在AB上，在梯形BCQE區(qū)域內(nèi)部展

示文物，QE是玻璃幕墻，游客只能在2L4DE區(qū)域內(nèi)參觀.在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控

攝像頭，4MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE(含端點)上，且點M在點N的右下方.經(jīng)測量得

知：4。=6米，AE=6米，4P=2米，/MPN=*記/EPM=火弧度)，監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)

域｛aJPMN的面積為S平方米.

5

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(參考數(shù)據(jù)：tan；々3)

4

(2)求S的最小值.

3.設(shè)函數(shù)f(%)=sin%,%GR.

(1)已知6G—2兀),函數(shù)/(%+6)是偶函數(shù),求。的值；

(2)求函數(shù)y=\f(x+割2+/a+割2(*e[0,爭)的值域.

7T

4.已知函數(shù)/(1)=silLT-COS(X—；)+86%-

(1)求函數(shù)f(%)的最大值，并寫出f(%)取最大值時X的取值集合；

(2)在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若/(4)=1,b+c=3求。的最小值.

5.已知向量W=(cosx,-，6=(V^sinx,cos2x),xCR,設(shè)函數(shù)f(x)=W-G；

(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)求f(x)在［04］上的最大值和最小值.

6.在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，曲線C的參數(shù)方程為｛:/；：；；：；?為參數(shù))，點P坐標(biāo)為(。，2).

以坐標(biāo)原點。為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。=a(0<a<》,

直線/交曲線C于A,B兩點.

(1)求點P的極坐標(biāo)和曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)AB的中點為M,求三角形。PM面積的最大值.

7.在斜AABC中，ahc分別是角4B,C的對邊，且(a+b+c)(b-a—c)+2=cos(r+?

acsinAcotiA

(I)求角A的大??；

(II)若嗎〉求角B得取值范圍.

8.已知梯形ABC。頂點B,C在以AO為直徑的圓上，40=4米

圖1圖2

(1)如圖1,若電熱絲由三線段A3,BC,8組成，在A8,CD上每米可輻射1單位熱量，在

8c上每米可輻射2單位熱量，請設(shè)計8c的長度，使得電熱絲的總熱量最大，并求總熱量的最

大值；

(2)如圖2,若電熱絲由弧蕊，曲和弦BC這三部分組成，在弧檢，力上每米可輻射1單位熱

量，在弦8c上每米可輻射2單位熱量，請設(shè)計8c的長度，使得電熱絲輻射的總熱量最大。

9.已知函數(shù)/'(x)=1+2百s譏xcosx-ZsiMx，xER.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

(2)若把/(x)向右平移今個單位得到函數(shù)g(x),求g(x)在區(qū)間［-］,0］上的值域.

10.已知實數(shù)x,y滿足方程/+y2—軌+1=0.求:

(1)，勺最大值和最小值；

(2)/+y2的最大值和最小值，

11.如圖，在直角三角形AABC中，LACB=9O°,ZB/1C=60°,AC=4,點M在貨段43上。(1)若

CM=713,求AM的長；

(2)若點N在線段MB上，且NMCN=30。，求AMCN的面積最小值，并求△MCN的面積遢小時

MN的長。

B

.N

M

CA

12.如圖，在本市某舊小區(qū)改造工程中，需要在地下鋪設(shè)天燃?xì)夤艿?已知小區(qū)某處三幢房屋分別位

于扇形048的三個頂點上，點。是弧AB的中點，現(xiàn)欲在線段。。上找一處開挖工作坑P(不與

點。，。重合)，為鋪設(shè)三條地下天燃?xì)夤芫€P0,PA,PB,已知。4=40米，記

NAPQ=Brad,該三條地下天燃?xì)夤芫€的總長度為y米.

A

⑴將y表示成。的函數(shù),并寫出。的范圍;

(2)請確定工作坑尸的位置，使此處地下天燃?xì)夤芫€的總長度最小，并求出總長度的最小值.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為［''+"6'卜>0-,為參數(shù))，以坐標(biāo)

Iy=1+rsn爐

原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為再加(。-：)1,若直

線/與曲線c相切；

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程與直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)在曲線C上取兩點M,N與原點。構(gòu)成AMON,且滿足NA/ON,求△MON面積的最

大值.

2

14.已知函數(shù)/'(%)=2sin3xcos3x-2V3sin<ox+V3(w>0)直線x=xvx=&是函數(shù)y=f⑺的

圖象的任意兩條對稱軸，且出—打1的最小值為余

(1)求3的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;

15.設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+cosx,xeR..

(1)求函數(shù)f(x)?f(n-x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)g(x)=sin3x+cos3x的最大值

16.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足4z+2=5百+333=sin。+cos仇€R).

(1)求z的值；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)Z和3在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別是Z和W,求|Z勿I的取值范圍.

17.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+(p)+B(A>0,3>0,|<p|<])的最小正周期為2n,最小值為一2,且

當(dāng)x=4寸，函數(shù)取得最大值4.

6

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若當(dāng)x€后,爭時，方程f(x)=m+l有解，求實數(shù)機的取值范圍.

18.已知函數(shù)/3-sin'】\'3<n.<o-'：.

44(4

(I)求/。)的最大值及此時X的值；

(n)求，⑴+7(2)+…+-2019)的值.

19.己知函數(shù)/'(x)=2V3sinxcosx—2sin2x+3.

(1)當(dāng)*€[0,(時,求f(x)的值域；

(□)若/4BC的內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c,且滿足=小),吧舊、2+2?w(.4+C),

aahiAJ

求f(B)的值.

20.已知向量日=(sin；,sin沙石=(2sin：,2cos*函數(shù)f(x)=蒼.另一同

(I)若/'(陽))=一2，且一4兀<x0<-7T,求出的值；

(H)若{/'(x)|y=f(x),xe卜兀,_1}U[a-l,a],求a的取值范圍.

21.已知函數(shù)/'(%)=sin?-x)cosx-sinx?COS(TT+x),xG(0,7r)

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)在44BC中，若A為銳角，且〃4)=1,BC=2,B=會求AC邊的長.

22.某菜農(nóng)有兩段總長度為207n的籬笆尸4及P3,現(xiàn)打算用它們和兩面成直角的墻OM、ON圍成

一個如圖所示的四邊形菜園OAPB(假設(shè)OM、ON這兩面墻都足夠長).已知|P4|=\PB\=10(m),

AAOP=ABOP=p40Ap=LOBP.設(shè)乙OAP=8,四邊形。APB的面積為S.

(1)將S表示為。的函數(shù)，并寫出自變量。的取值范圍;

(2)求出S的最大值，并指出此時所對應(yīng)。的值.

23.如圖，矩形公園0A8C中，。4=2/nn,0C=1km,公園在左下角陰影部分是以。為圓心，半

徑為1km的;圓面的人工湖.現(xiàn)計劃修建一條與圓相切的觀光道路EF(點E,尸分別在邊0A與

BC上)，。為切點.

(1)求觀光道路EF長度的最大值;

(2)公園計劃在道路EF右側(cè)種植草坪，求草坪ABE尸的面積5的最大值.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4(2,0)和單位圓上的兩點B(1,O),C(-1，0,點尸是劣弧成;

上一點，4BOC=a,4BOP=仁

(1)若。C1OP,求sin(zr-a)+sin(-S)的值;

(2)設(shè)/(t)=|+t赤|，當(dāng)/Q)的最小值為1時，求聲?歷的值.

25.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A,B,C三點滿足沆!=：函+|函.

⑴求1弱的值；

(2)已知4(l,cosx),B(1+cosx,cosx),x6[0,/(x)=OA-'OC-(2m+|)~AB>若/(x)的

最小值為g(ni)，求g(m)的最大值.

26.在銳角2MBe中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足泌-3acgC+

(1)求A的大小；

(2)若a=W，求爐+c2的取值范圍.

27.設(shè)函數(shù)y=/(x)=sin(a)x+租)，o)>0,0<cp<ir,y=/'(x)為y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，若g(x)=

/(x)+b/'(%)為奇函數(shù)，且對任意的xeR有g(shù)(x)最大值為2.

(1)求g(x)表達(dá)式；

(2)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,。=黑=。(一9，求的面積最大

值.

28.已知TT(v/jjsanx,co?x+siux),b—(2cosx,sinx—cosx)?/(x)—a-b-

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe翁當(dāng)時，求函數(shù)y=f(x)的最大值和最小值.

在直角坐標(biāo)系)，中，直線/的參數(shù)方程為為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)

29.xOy—0?csinci

系X。)，取相同的長度單位，且以原點。為極點，以X軸非負(fù)半軸為極軸)中，曲線C的方程P=

8sin0.

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)系方程；

(2)若點P(l,3),設(shè)圓C與直線/交于點4B,求|P(+|PB|的最小值.

30.己知在極坐系中，點P(p,0)繞極點。順時針旋轉(zhuǎn)角a得到點P'(p,0-a).以。為原點，極軸為x

軸非負(fù)半軸，并取相同的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線氏xy=l繞。逆時針旋轉(zhuǎn)彳得到

曲線C.

(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)點例的極坐標(biāo)為(4,》，直線/過點”且與曲線E交于A,B兩點，求|M4|?的最小值.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)由已知得，/(x)=m-n-5=acos2x+V3asin2x+2Q—5=2asin(2x+-)+2a-

6

5當(dāng)％€?時,2x+￡W+g)E[—1],

LLJooooz

當(dāng)a>0時，f(x)的最大值為4a—5=3所以a=2,

當(dāng)a<0時，/(x)的最大值為a-5=3,故a=8(舍)，

綜上函數(shù)f(x)在[o5]的最大值為3時a=2；

(2)當(dāng)a=2時，y=f(x)=4sin(2x+^)—1,

由y=f(%)的最小正周期為萬可知，b=冗,

又由—F42%4—4FkEZ,

22/CTT622/CTT,

可得2+kn<x<—+kn,kEZ,

63

因為%e(o,TT],

所以函數(shù)/(x)在(0,用上的單調(diào)遞減區(qū)間為

解析：本題考查了y4疝+⑺的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，是一般題.

(1)由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角恒等變換得出/(乃的解析式，再由函數(shù)f(x)在[0,斗上的最大

值為3,求出“的值；

(2)由(1)得出/'(X)的解析式，進(jìn)而得出從再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

2.答案：解：(1)在APME中，4EPM=0,PE=AE-AP=4米，

Z.PEM=-,￡P(guān)ME=--0,

44

,r_PExsin。4sin04，5sin0

由正弦定理可知：siiiZPA/E.，3?r\sii>0+co由，

sin----9

\4)

在APNE中，由正弦定理可知：NE=PEx：；(9;W)=2依sin"o?0),

,嗚-0)"

所以AfN=NE-ME=—，八2勺--,

coer。+sin0co?0

又點尸到DE的距離為dKiu:2^2,

4

c1、…，48

所以APMN的面積—2'-1+32°1—g一例+二+1'

當(dāng)M與E重合時，｛an｝；當(dāng)N與。重合時,｛an｝,即｛a”｝,｛an｝,所以｛%｝.

綜上可得：｛an｝,｛an｝,

團(tuán)當(dāng)5｝即｛%｝時,

｛斯｝取得最小值為｛即｝，

所以可視區(qū)域｛a^PMN面積的最小值為｛aj平方米.

解析：本題主要考查三角函數(shù)建模的應(yīng)用.

(1)結(jié)合正弦定理面積公式建立函數(shù)模型.

(2)三角函數(shù)求最值.

3.答案：(1)?.?/(Z+0)=sin3+0)是偶函數(shù)，

二對任意實數(shù)x都有sin(i+0)=sin(-x+0),

UPsinrajs。+ix^j-sinO-sinj'cosO+cosrsiirf?,

故2sin_m>s。：()，所以(，NU0.

又。6[0,2兀),因此。:或丁.

(2)y=[f(r+§]2+[/(%+J)]2

=曲』(1+看)+sin2(1+：)

即l_cos(2工+：)1-cos(2x+^)

y=2+2

11/《,,3.?、

,v3小7T\

=1—-cos(2x+-)

■.-xe[0,J.-.2x+=e[=^]

“、肝、r瓜li

???co?(2x+-)G[―--,-]>

函數(shù)的值域是[1一9,夕

解析：本題考查函數(shù)的奇偶性及正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)及二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的綜合

運用，屬于中檔題.

(1)利用誘導(dǎo)公式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

(2)由二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)解析式，然后由余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

4.答案：解：⑴解：/1(x)=sinxgcosx+3sinx)+cos?%—：

V3.上12

=—sinxcosx+-coszx

22

1V311

=-(—sin2x+-cos2x)+-

17T1

=-sin(2x+-)+-

LO4

.??函數(shù)f(x)的最大值為也

當(dāng)/(x)取最大值時sin(2x+5=1，

2x+-=2kn+-(keZ),解得x=fc7r+-(fceZ),

626

故的取值集合為｛

Xx|x=x=/cn-+pofcGZ).

(2)由題意f(4)=:sin(2A+5+；=J,化簡得sin(24+?=￡

No4Zoz

2A+N=^+2k/r或，24+m=F+2/OT,keZ,

又??.0<A<nt

???A=-?

3，

在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得@2=墳+c2-2bccosg=(b+c)2—3bc,

???b+c=3.

：?a2>p當(dāng)且僅當(dāng)力=c=?時取最小值|.

422

解析：本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的運用，余弦定理及基本不等式的基本知識，本題屬于基礎(chǔ)

題.

(1)先對函數(shù)解析式化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值及此時X的集合.

(2)利用f(4)求得A,進(jìn)而根據(jù)余弦定理構(gòu)建從。和〃的關(guān)系，利用基本不等式的知識求得〃的最小

值.

5.答案：解：(1)由已知可得：/")n-b—,,COS2J

^^sin2x-=sin(2jr——)?

226

:、T=7T;

由2k?r+,)￡2N—,W2k?r+)￡Z,

可得k?r+；47Wk?r+)；.kEZ,

??.f(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kTT+]k；r+^](A-€Z)；

?5O

⑵“€(0.，,2x—江H，7，

/666

7T1

sin(2z-6)W.1],

.?.〃>)的最大值為1,最小值為/

解析：本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)y=4s/3x+9)的圖象與性質(zhì)和向量的數(shù)量積，

是中檔題.

(1)先由三角恒等變換得出/(工)=曲](21-，)，即可得出最小正周期，由

2kk+：42工一，W2k7r+<€Z,得出單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵由.?().：,得拉-卜根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出最值.

6.答案：解：(1)易知點P在y軸正半軸上，且0P=2,

所以尸的極坐標(biāo)為(2.：),

將方程匕Z!:為參數(shù))，消去參數(shù)f后可得Q-1產(chǎn)+(y-I/=1,

(y-1rsine

，曲線C的普通方程為（久一1）2+（y-1）2=1,

即％2+y2—2%—2y+l=0,

將/+y2=p2,x=pcos。,y=psin。代入上式可得，

?,?曲線C的極坐標(biāo)方程為p?-2P(sin。4-cos。)+1=0;

(2)設(shè)A,8兩點的極坐標(biāo)分別為Si，。)，(P2，。)，

由[p2—2P(sin。+cos0)+1=0

Iff=a

消去。整理得/-2x/2psin(a+：)+「()，

根據(jù)題意可得Pi，P2是方程6-20psiu(c+9+1。的兩根，

Pl+p>=2v^疝1(0+'；),P1P2=1,

M到OP的距離d=OAf-sin(—a)=°’；0’cosa=\/2sin(a+：)co?n

Szw?o.w=[?\OP\d=\/2sin(o+=^sin(2a+[)+：，

當(dāng)。；時，(SN0M)max=早，

所以三角形OPM面積的最大值為四.

2

解析：本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，以及與面積有關(guān)的最值問題，屬于中檔題.

（1）直接求出點P的極坐標(biāo);將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，然后再化為極坐標(biāo)方程即可；

（2）設(shè)A,3兩點的極坐標(biāo)分別為（Pi，e）,（P2，e）,結(jié)合二次方程根據(jù)系數(shù)的關(guān)系及極徑的意義可求得

\0M\=|^|,又由題意得OP=2,求出歷到OP的距離，即可表示出三角形。PM的面積，由三

角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值.

7.答案：解:

(I)一(a+6+c)(b-a-c)十co?(.4+C)

扇—(0+c)2tr—a1—(?cos(A+C)-cosB

----i------4-2-

ac----------acsinAcos.A

-sin2.4

9

2+/-〃

2ac

^siii2.4

sivC2,A=1,

VAE(0,7T),???2A=p

.n

-A=一;

4'

/sinCr-

(7T叱加>8

???cosB>0,

由(I)知B+C=^

.37T37r.

sin(——B)sin-cos-snin

>卮即nn--------1—3

cxxsZ?cosU

4-^y-tanB>x/2，

EPtanB>1,

-.0<B,

4

解析：本題考查余弦定理、倍角公式、和差角公式化筒函數(shù)式，三角函數(shù)性質(zhì)，屬中檔題.

a2+c2-b2

bl2…2」

(I)由公式化簡得_-l2HC,即可求得角A；

2A

(n)由和差角公式得吧‘加0t-OKrSinD.6'從而得tanB>L求得角B取值范圍.

cosB

8.答案：解：設(shè)以A。為直徑的圓，圓心為。，乙4。3=氏0e(0,=)

(l)4B=4sing,BC=4cos6,

總熱量單位f(。)=8cos0+8sin1

二-16si】J'+8sin-4-8

9

=—16(siii；—1尸+9,

當(dāng)sing=；時，f⑻取最大值，此時BC=(米，總熱量最大9(單位)

答：應(yīng)設(shè)計8c長為g米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為9單位.

(2)總熱量單位g(0)=46+8cos6,9G(0,^),

g'(。)=4—8sin。，

令g'(61)=0,即4-8sin0=0,

因。6(05),所以。=%

當(dāng)。6(0,》時，g'(J)>0,g(。)為增函數(shù)，

當(dāng)。€()：)時，g'(8)<0,g(8)為減函數(shù)，

當(dāng)。=看時，g⑻取最大值，

此時BC=4cos6(=2百米.

答：應(yīng)設(shè)計8c長為2遮米，電熱絲輻射的總熱量最大.

解析：本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度較大.

⑴由乙4OB=6,得AB=4sin1,BC=4cos0,所以總熱量單位/(。)=8cos0+8sing轉(zhuǎn)化成三角函

數(shù)的最值問題求解；

(2)總熱量單位g(8)=4。+8cos。，利用導(dǎo)數(shù)求g(。)在(0,])上的最值即可.

9.答案：解：(1)函數(shù)/(x)=1+2'/3sinxcosx—2sin2x

=>/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

6

T27r2n

??T=—=——=7T;

32

(2)若把函數(shù)/⑶的圖象向右平移汐單位得到函數(shù)g(無)=2sin[2(x-^)+^=2sin(2x-今的圖象,

??1XG[-p0],

2x-le[一手一丁

???sin(2x-E[―1,芻,

oZ

二［］

g(%)=2sin(2x--6)e-2,1.

故g(x)在區(qū)間［-》。］上的最小值為-2,最大值為1.

即9。)在區(qū)間［一90］上的值域為52,1］.

解析：本題主要考查三角函數(shù)的化簡及函數(shù)y=Asin(ajx+w)圖象變換規(guī)律.

(1)利用半角公式降次，再逆用和差角公式，化簡函數(shù)/'(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期得出結(jié)

果.

(2)利用函數(shù)y=Asin(a)x+勿)的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解析式，由x的范圍求出o>x+的范圍，

即可利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出y的范圍.

10.答案：解：原方程可化為(X—2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心，遍為半徑的圓.

(1注的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)9=k,

即y=kx.當(dāng)直線y=依與圓相切時，斜率％取得最大值或最小值，

|21一。1―ns

此時1'解得々=±遮(如圖1).

所以(的最大值為百，最小值為-百.

m?

(2)令％=2+yf3cosa,y=Vasina，

22i—i

則/+y2=(2+y/Scosa)+(V3sina)=7+4y/3cosaG[7—4\/3,7+4V3]>

故/+)；2的最大值為7+4百，最小值為7一46.

解析：本題主要考查了圓的方程的綜合運用，三角函數(shù)的定義域和值域.考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的

思想和數(shù)形結(jié)合的思想.

(1)整理方程可知，方程表示以點(2,0)為圓心，以百為半徑的圓，設(shè)(=々，進(jìn)而根據(jù)圓心(2,0)到丫=

依的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.

(2)令x=2+V3cosa,y=V3sina,進(jìn)而得出/+yz的最大值與最小值.

11.答案：解：(1)在RtZkABC中，AACB=90°,NBAC=60。，AC=4,點M在線段AB上.

CM=V13,

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosA,

即13=16+AM2-4-AM,

解得4M=1或4M=3.

(2)設(shè)乙4cM=a,ae[0°,60o],在AACN中，由正弦定理得

CN_4。_-CAC

SIIL4sinZCAT.4sin(9O0+a)cosn

CMACAC

在八"CM中'由正弦定理得力=由INA.。=sin(6()+c)'

.CM=2禽

sin(600+n)

/.Saw=，八/?CNsiiMA/CN=3

_________3______________________3_____________________12________

~2,1.瓜,瓜~1-0—2sin(2a+60°)+g，

--cow-a+-sinaco?a---H-----coso2aH—sin2a

22444

v0°<a<60°,

???60°<2a+60°<180°,

???0<sin(2a+600)<1,

???當(dāng)a=15。時，△MCN的面積最小為24-12代,

在ACMN中，MN上的高八—AC-inA24，

此時MN最小值為交皿=絲等=873-12.

h2V3

解析：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化

思想以及計算能力.

（1）CM=V13.直接利用余弦定理求AM的長；

（2）設(shè)乙4cM=a,a6[0°,60°],在AACN中，由正弦定理求出CM在△力CM中，由正弦定理求出

CM,然后表示出AMCN的面積，利用三角函數(shù)的有界性求出三角形面積的最小值，并求△MCN的

最小面積時MN的長.

12.答案：解：（1）因為。為弧4B的中點，由對稱性可知，PA=PB,

4Aop=乙BOP=

6，

TT

又乙。=兀一Z-OAP

4P6,=0-6

PAOAOP

由正弦定理‘得嗚二礪二而二竦y

4()sin(0—；：)

又04=40,得匕1

S1II0

所以y=PA+PB+OP=2PA+OP=當(dāng)+強味:

)()禽siiW—cu?0+2

suiusuW

因為乙4PQ>〃OP,所以當(dāng)尸與Q重合時，ZAPO=ZOAP=,

所以。的取值范圍是9等）.

o1Z

⑵令叵叱+且浮

sin0sm。612

令匕=2s則tsin。+cos。=2,

sint/

sin(0+</?)=<1,(tans=J,

解得t>值或t4-遍（舍去）,

當(dāng)￡=時，有sin〃+coos"20。二.，

所以當(dāng)e=g時，八。）有最小值26，此時OP=竿米，

此時y有最小值4075米.

答：當(dāng)0P長為竺3米時，此時天燃?xì)夤芫€的長度最短為406米.

3

解析：本題考查解三角形中的正弦定理、三角函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于較難題.

（1）利用正弦定理可求得PA、OP,從而得到y(tǒng)=20闞型詈如，其中

sind6iz

（2）令/⑻==遍+三濟(jì)再令"號,可得sin（。+㈤=品<1，值呻=?

可求得f（。）的最小值，即可得到答案.

13.答案：解：（1）由題意，直線/的極坐標(biāo)方程為內(nèi)加伊-：）1,

?5

所以直線I的直角坐標(biāo)方程為y=V3x+2,

曲線C是圓心為（百,1）,半徑為廠的圓，

因為直線/與曲線C相切，

所以r=l6x6-i+2|=2,

2

所以曲線C的方程為（X-遮）2+（y-1）2=4,

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為護(hù)-2、務(wù)roM2/zii出0,

即〃,lsin（0+;,）；

（2）由（1）得，曲線C的極坐標(biāo)方程為〃4疝1（0+勺，

不妨設(shè)M（P1，6）,N（p2,8+，），（P1>O，P2>O）,

所以SA”仆

=\p1P2=4sin（°+。?sin（9+J

?52

=2siii0c+2\&cos%

=xin20+\/3COK20+\/3

=2sm（20+：）+\片，

3

當(dāng)°,；；時，△MON的面積取得最大值，最大值為2+6，

所以△MON面積的最大值為2+V3.

解析：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，三角形面積公式，三

角函數(shù)的性質(zhì)，二倍角公式，兩角和的正弦公式，考查了運算求解能力，屬于中檔題.

(1)求出直線/的直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切可得圓的半徑，即可得出結(jié)果：

(2)利用曲線C的極坐標(biāo)方程和三角形面積公式，可得

Swv2sin(20+：)+/，，求出最值，即可得出結(jié)果?

14.答案：解：⑴「/(1)=2\&si】『w+

=sin2u；jr+、&=2sin(2u；x+

?.,直線＞=%nx=&是函數(shù)y=/CO的圖象的任意兩條對稱軸，且1/一外1的最小值為去

，函數(shù)的最小正周期為姑

2n

A—=7T=31.

23

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x+：),

**?——+2/CTTW2.X+,工&+2/CTT,kEZ,

■■■~^+kn<x<^+kn,k&Z,

,kGZ.

解析：本題考查三角函數(shù)恒等變形以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

⑴根據(jù)二倍角公式和兩角和公式得/(02siu(2cr+；),然后通過最小正周期為兀，得到答=兀=

.523

CO=1；

(2)根據(jù)正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)直接得出結(jié)論.

15.答案：解：(1)/(%)?f(n—%)=(sinx+cosx)(sinx-cosx)=sin2%—cos2x=—cos2》,?,?函數(shù)

/(%)-f(n-%)的最小正周期是二;Jr；

(2)因為f(%)=sinx+cosx=V2sin(x+：)E[-V2,V2],

2

g(x)=(siiur+cosT)(Si〃。_sinx<xjtir+co?x)

+cotir)[l-(8皿+----]=/(x)(1-_gr(H)+](1),令/(工)=￡，,??的

最大值即

y=一/3+|t,te[-魚,>/司的最大值，

???y=-|(t2-1),當(dāng)y，>0時，得X€(-1,1)；當(dāng)y<0時，X>1<-1;

結(jié)合定義域可知函數(shù)在[-或，一1],上遞減，在(—1,1)上遞增.

因為/'(一魚)=一日;/'(1)=1，1>一乎，所以g(x)的最大值為1.

解析：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、二倍角公式及其應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的最值問題，

屬于中檔題.

(1)將已知代入即可得到函數(shù)人x)-f(n-X),再根據(jù)二倍角公式化簡即可得到最小正周期；

(2)先將函數(shù)g(x)轉(zhuǎn)換為g(i)=(sinx+cosj-)(sin2x-siiuroosr+,再根據(jù)已知條件以及二倍

角公式化簡，再令=最后通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而可求得函數(shù)g(x)的最大值.

16.答案：解：

(1)設(shè)2=a+bi(a,b6R),則2=a—bi,

代入4z+z=5V3+3i

化簡得5a+3bi=573+3i

.??由復(fù)數(shù)相等可得=?國

(3b=3

解得Q=y/3,b=1

Az=V34-i;

(2)由z=V3+i和3=sind+cos/在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(b,1)和“(sinacos。)，

22

A\ZW\=(V3—sin。)4-(1—cos0)=-2遮sin?！?cos0

=—2\/3sin^—2cos0+5=-4sin(0++5

?「sin(0+7)W[-1,1],-4sin(0+7)+5€[1,9]

A\ZW\e[1,3].

解析：本題考查復(fù)數(shù)的求解，同時也考查了復(fù)數(shù)模長的計算，涉及共規(guī)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)相等以及輔助角

公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

(1)設(shè)2=。+兒5/611),根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得出關(guān)于實數(shù)4、6的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即

可得出復(fù)數(shù)Z的值；

(2)利用復(fù)數(shù)的模長公式得出Zl「24皿。+，)+5,即可求出|ZW|的取值范圍.

17.答案：解：(1)因為f(x)的最小正周期為2兀，

得3=—=1,

27r

又｛片笨,解得真；

由題意，::+W_2k;r+：(k€Z),

即W=2kp*(k€Z),因為=|<p

所以，(P=Y，

所以/(工),：太in(工一勺+L

(2)當(dāng)2kn-5wx-g42k7T+1(keZ),

即xe[2kn-?2kn+由(keZ)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

(3)方程/(x)=m+1可化為，〃：太汨"-彳)，

?5

因為xe與號，所以x*e[W，

由正弦函數(shù)圖象可知，實數(shù)，"的取值范圍是1)；1

解析：本題主要考查了由y=Asin(3x+(p)的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬

于中檔題.

⑴由最小正周期可求3,又f/+/=4解得已=?，由題意，?+3=21<口+262),|在<7>

可解得仍即可求得函數(shù)/(X)的解析式；

(2)由2kn-]Sx-gW2kn+1(k6Z)可求得函數(shù)/(乃的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)方程f(x)=m+l可化為m=3sin(x-?由女碎，勺，由正弦函數(shù)圖象可解得實數(shù)機的取值

范圍.

6.口

18.答案:解：(I)/(工)=8哈工一度后加《4工

--ys】n嚴(yán)

當(dāng)疝1(]H+：)=-1，即1工+:：~^+2kir,x=；-lk*(k€Z)時,

函數(shù)有最大值為|;

(口)由/(?=：-疝1([I+：),可知函數(shù)的周期為4,

且f(1)=?彖/⑵=1+"⑶=|4)=?成

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=2,且2019=4x504+3,

所以/(1)+/(2)+…+/(2019)

=504x2+/(I)+/(2)+/(3)

=1010.

解析：本題考查三角恒等變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(I)利用二倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)化簡/(X),再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;

(n)利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求值.

19.答案:解：(I

)f(x)=2\/5疝1」(61—2siirx+3=\/3?in2x—2x--工+3=2sin(2x+^)+2,

%e[0,J.，-21+'€1片>

26[66

/萬\I

.,.sin(2N+Q)W-5T，

.?.一142siu(2工+1)42,

b

???/(%)eIM]：

JJ)sin(24+C)siiu4<xj?(A+C)+cx)?/lsiii(A+C)

/=2+2ctJs(A(i，

tinAsin-4

/.SIIL4CO8(A+C)+co&4sin(A+C)=2sinA+2finn^4oos(A+C),

7.sinC=2sim4，

由正弦定理可得c=2a,

b_鼻lr-c2-a2

=v3,cu?-4---------

02bc

..1?：'JI.-i,

.-.A=^,C=pB=|,

???f(B)==3.

解析：本題考查正余弦定理，二倍角公式以及變形、兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的

應(yīng)用，考查化簡、變形能力.屬于中檔題.

(1)由二倍角公式以及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+3的范圍，由正弦

函數(shù)的性質(zhì)求出八x)的值域；

(2)由兩角和與差的正弦公式、余弦定理化簡己知的式子，由條件和余弦定理求出

sniC=2siiij4=>c=2a>再根據(jù)&=V5,COSJ4='+'—巴=2^,求得A,由二角形的內(nèi)角和定

a2/x-2

理求出C=1，B=g,代入可得f(B)的值.

20.答案：解：(I)由題意可得/(x)=2siM(+2sin：cos3-4=1-cos：+sin：-4=V^sinG-

A.

"f(x0)=-2,

V2sin(7-7)-3=-2,

即sin(y-;)=y-

.?.§一百=三+21兀水€2或包一工="+2k兀水€2,

244244

解得％o=7T+4/CTT,k6Z或=2〃+4/CTT,kEZ,

?,?當(dāng)k=-1時，x0=—3乃或—2兀.

(n)Vy=V2sin(f-;)-3,xG卜兀，一弓，

3nxitn

——V———V——

4-24—3

2

-3-V2<V2sing-3<-4

[fM\y=/(%),%6卜7T,一gjc[a-l,a],

a—1<-3—y/2,

CLN—4

解得—4WaW—2—y/2.y

即a的取值范圍是[-4,一2-V司.

解析：本題考查三角恒等變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)因集合之間的包含關(guān)系，屬于中檔題.

(1)由題意可得/(乃==7^比停一9一3,利用/(&)=一2,結(jié)合一4兀<&〈一兀，即可求解；

(口)由丫=V2sin(；一？)一3,x6卜兀,一弓，求出y的范圍，利用｛f(%)|y=f(x),xG卜兀,-詈｝《

[a-l,a],列出不等式組求解即可.

21.答案：解：(I)/(x)=sin6一x)cosx-sinx,cos(7r+x)

=CUCTN+SniTCUKJT

911.a7T.1

=cosx+-sin2x=+cos2x+1)=-^-sin(+-)+-?

令-；+2A,7T<2x+；<；+2k?r(k€Z),

解得-+A*?r<J,<:+kir(k6Z),

88

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(().》.(?G)；

0