高一數(shù)學(xué)人必修課件向量數(shù)量積的運(yùn)算律

匯報人：XX20XX-01-21高一數(shù)學(xué)人必修課件向量數(shù)量積的運(yùn)算律目錄向量數(shù)量積基本概念與性質(zhì)向量數(shù)量積運(yùn)算方法運(yùn)算律及其證明典型例題分析與解答練習(xí)題與自測題課程小結(jié)與拓展延伸01向量數(shù)量積基本概念與性質(zhì)向量數(shù)量積的定義對于兩個向量a和b，它們的數(shù)量積（也稱為點(diǎn)積）是一個標(biāo)量，記作a·b，定義為a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模，θ是向量a和b之間的夾角。數(shù)量積的幾何意義向量a和b的數(shù)量積等于向量a在向量b上的投影與向量b的模的乘積。向量數(shù)量積定義向量數(shù)量積性質(zhì)交換律：a·b=b·a，即向量數(shù)量積滿足交換律。分配律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)，其中λ是實(shí)數(shù)，即向量數(shù)量積滿足分配律。結(jié)合律：(a+b)·c=a·c+b·c，即向量數(shù)量積滿足結(jié)合律。零向量與任何向量的數(shù)量積都是0。若向量a和b垂直，則a·b=0。向量數(shù)量積不滿足向量加法的結(jié)合律和交換律。向量數(shù)量積與向量加法的關(guān)系向量數(shù)量積也不滿足向量減法的性質(zhì)。向量數(shù)量積與向量減法的關(guān)系向量數(shù)量積滿足數(shù)乘的分配律，但不滿足數(shù)乘的結(jié)合律和交換律。向量數(shù)量積與數(shù)乘的關(guān)系向量數(shù)量積與向量外積（叉積）是兩個不同的概念，它們之間沒有直接的運(yùn)算關(guān)系。向量數(shù)量積與向量外積的關(guān)系與其他運(yùn)算關(guān)系02向量數(shù)量積運(yùn)算方法定義向量$vec{a}$與$vec$的數(shù)量積定義為$vec{a}cdotvec=|vec{a}|times|vec|timescostheta$，其中$theta$為$vec{a}$與$vec$的夾角。注意事項(xiàng)當(dāng)兩向量夾角為$90^circ$時，$costheta=0$，數(shù)量積為0；當(dāng)兩向量夾角為$180^circ$時，$costheta=-1$，數(shù)量積為負(fù)數(shù)。示例已知向量$vec{a}=(2,3)$，$vec=(4,5)$，求$vec{a}cdotvec$。定義法求向量數(shù)量積最后求得數(shù)量積$vec{a}cdotvec=|vec{a}|times|vec|timescostheta=sqrt{13}timessqrt{41}timesfrac{23}{sqrt{533}}=23$。解：首先計(jì)算兩向量的模長，$|vec{a}|=sqrt{2^2+3^2}=sqrt{13}$，$|vec|=sqrt{4^2+5^2}=sqrt{41}$。然后計(jì)算兩向量的夾角$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}|times|vec|}=frac{(2times4)+(3times5)}{sqrt{13}timessqrt{41}}=frac{23}{sqrt{533}}$。定義法求向量數(shù)量積定義對于平面上的兩個向量$vec{a}=(x_1,y_1)$和$vec=(x_2,y_2)$，它們的數(shù)量積可以通過坐標(biāo)表示為$vec{a}cdotvec=x_1x_2+y_1y_2$。示例已知向量$vec{a}=(1,2)$，$vec=(3,4)$，求$vec{a}cdotvec$。解根據(jù)坐標(biāo)法的定義，直接計(jì)算得$vec{a}cdotvec=1times3+2times4=3+8=11$。注意事項(xiàng)坐標(biāo)法適用于平面上的向量，對于空間中的向量需要采用類似的方法進(jìn)行計(jì)算。坐標(biāo)法求向量數(shù)量積注意事項(xiàng)投影法需要先確定一個向量在另一個向量上的投影長度，這通常通過計(jì)算兩向量的夾角余弦值來實(shí)現(xiàn)。定義向量$vec{a}$在向量$vec$上的投影長度乘以向量$vec$的模長即為兩向量的數(shù)量積，即$vec{a}cdotvec=|vec{a}|costhetatimes|vec|$。示例已知向量$vec{a}=(2,3)$，$vec=(4,5)$，求$vec{a}cdotvec$。投影法求向量數(shù)量積解：首先計(jì)算兩向量的模長，$|vec{a}|=sqrt{2^2+3^2}=sqrt{13}$，$|vec|=sqrt{4^2+5^2}=sqrt{41}$。然后計(jì)算兩向量的夾角余弦值$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}|times|vec|}$，由于我們要求的是數(shù)量積，這里可以用已知的模長和夾角余弦值來求解。最后求得數(shù)量積$vec{a}cdotvec=|vec{a}|costhetatimes|vec|=sqrt{13}timesfrac{sqrt{13}}{sqrt{41}}timessqrt{41}=13$。投影法求向量數(shù)量積03運(yùn)算律及其證明對于任意兩個向量$vec{a}$和$vec$，有$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$。定義根據(jù)向量數(shù)量積的定義，$vec{a}cdotvec=|vec{a}|times|vec|timescos<vec{a},vec>$。由于點(diǎn)乘的結(jié)果是一個標(biāo)量，并且標(biāo)量的乘法滿足交換律，因此$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$。證明交換律定義對于任意三個向量$vec{a}$、$vec$和$vec{c}$，有$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$。證明根據(jù)向量加法的定義和向量數(shù)量積的分配律，$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=|vec{a}+vec|times|vec{c}|timescos<vec{a}+vec,vec{c}>$。由于向量加法和數(shù)量積都是線性的，因此$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$。結(jié)合律對于任意三個向量$vec{a}$、$vec$和$vec{c}$，以及任意實(shí)數(shù)$lambda$和$mu$，有$(lambdavec{a}+muvec)cdotvec{c}=lambda(vec{a}cdotvec{c})+mu(veccdotvec{c})$。定義根據(jù)向量數(shù)乘的定義和向量數(shù)量積的線性性質(zhì)，$(lambdavec{a}+muvec)cdotvec{c}=|lambdavec{a}+muvec|times|vec{c}|timescos<lambdavec{a}+muvec,vec{c}>$。由于向量數(shù)乘和數(shù)量積都是線性的，因此$(lambdavec{a}+muvec)cdotvec{c}=lambda(vec{a}cdotvec{c})+mu(veccdotvec{c})$。證明分配律04典型例題分析與解答例1：已知向量$vec{a}$和$vec$的夾角為$60^circ$，且$|vec{a}|=2,|vec|=3$，求$vec{a}cdotvec$。分析：直接應(yīng)用數(shù)量積的定義$vec{a}cdotvec=|vec{a}|times|vec|timescostheta$進(jìn)行計(jì)算。解答：$vec{a}cdotvec=2times3timescos60^circ=2times3timesfrac{1}{2}=3$。分析：利用數(shù)量積的性質(zhì)和定義進(jìn)行推導(dǎo)。解答：不正確。因?yàn)?vec{a}cdotvec=veccdotvec{c}$只能推出$(vec{a}-vec{c})cdotvec=0$，即$vec{a}-vec{c}$與$vec$垂直，但不能推出$vec{a}=vec{c}$。0102030405涉及定義和性質(zhì)問題例3：已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,1)$，求$\vec{a}\cdot(\vec{a}+2\vec)$。涉及運(yùn)算方法問題分析利用數(shù)量積的分配律進(jìn)行計(jì)算。解答首先計(jì)算$vec{a}+2vec=(1,2)+2(2,1)=(5,4)$，然后$vec{a}cdot(vec{a}+2vec)=(1,2)cdot(5,4)=1times5+2times4=13$。例4已知向量$vec{a}$和$vec$滿足$|vec{a}|=1,|vec|=2$，且$(vec{a}+vec)perp(vec{a}-2vec)$，求$vec{a}$與$vec$的夾角。涉及運(yùn)算方法問題分析利用垂直條件$(vec{a}+vec)cdot(vec{a}-2vec)=0$和數(shù)量積的定義求解。解答由$(vec{a}+vec)cdot(vec{a}-2vec)=0$得$vec{a}^2-2vec^2-vec{a}cdotvec=0$，即$1-8-vec{a}cdotvec=0$，解得$cos<vec{a},vec>=-frac{sqrt{15}}{4}$，所以夾角為$arccos(-frac{sqrt{15}}{4})$。涉及運(yùn)算方法問題驗(yàn)證向量數(shù)量積的結(jié)合律，即$(lambdamu)vec{a}cdotvec=lambda(muvec{a})cdotvec$。利用數(shù)量積的定義和標(biāo)量的結(jié)合律進(jìn)行驗(yàn)證。左邊$=(lambdamu)vec{a}cdotvec=(lambdamu)(|vec{a}||vec|cos<vec{a},vec>)$，右邊$=lambda(mu|vec{a}|)|vec|cos<muvec{a},vec>=(lambdamu)(|vec{a}||vec|cos<例5分析解答涉及運(yùn)算律問題05練習(xí)題與自測題計(jì)算向量$vec{a}=(2,3)$與$vec=(4,-1)$的數(shù)量積$vec{a}cdotvec$。已知向量$vec{a}$和$vec$的夾角為$60^circ$，且$|vec{a}|=3,|vec|=4$，求$vec{a}cdotvec$。若$vec{a},vec,vec{c}$是三個非零向量，且滿足$vec{a}perpvec,vecperpvec{c}$，證明：$vec{a}perpvec{c}$。已知向量$vec{a},vec,vec{c}$滿足$|vec{a}|=|vec|=|vec{c}|=1$，且$vec{a}+vec+vec{c}=vec{0}$，求$vec{a}cdotvec+veccdotvec{c}+vec{c}cdotvec{a}$的值。練習(xí)題自測題計(jì)算向量$\vec{u}=(1,2)$與$\vec{v}=(-3,4)$的數(shù)量積，并判斷這兩個向量的夾角是銳角、直角還是鈍角。已知向量$\vec{m}$和$\vec{n}$的夾角為$120^\circ$，且$|\vec{m}|=2,|\vec{n}|=5$，求$(2\vec{m}-\vec{n})\cdot(\vec{m}+3\vec{n})$。設(shè)$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，且$\vec{m}=(a,b),\vec{n}=(\cosA,\cosB)$，若$\vec{m}\cdot\vec{n}=c\cosC$，試判斷$\triangleABC$的形狀。已知向量$\vec{\alpha},\vec{\beta}$滿足$|\vec{\alpha}|=1,|\vec{\beta}|=2$，且$\vec{\alpha},\vec{\beta}$的夾角為$120^\c