2024初中數(shù)學(xué)競賽八年級競賽輔導(dǎo)講義專題13 三角形的基本知識含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽八年級競賽輔導(dǎo)講義專題13三角形的基本知識閱讀與思考三角形是最基本的幾何圖形，是研究復(fù)雜幾何圖形的基礎(chǔ)，許多幾何問題都可轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解.三角形基本知識主要包括三角形基本概念、三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論等，它們在線段和角度的計算、圖形的計數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用.解與三角形的基本知識相關(guān)的問題時，常用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法解幾何計算題及簡單的證明題，對三角形按邊或按角進行恰當分類.應(yīng)熟悉以下基本圖形：例題與求解【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，則∠BOC=________.（“東方航空杯”——上海市競賽試題）解題思路：因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，故應(yīng)注意符合題設(shè)條件的圖形多樣性.【例2】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形底邊的長為（）A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.無法確定（北京市競賽試題）解題思路：中線所分兩部分不等的原因在于等腰三角形的腰與底的不等，應(yīng)分情況討論.【例3】如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：運用凹四邊形的性質(zhì)計算.【例4】在△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)均為正數(shù)，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度數(shù).（北京市競賽試題）解題思路：把∠A，∠C用∠B的代數(shù)式表示，建立關(guān)于∠B的不等式組，這是解本題的突破口.【例5】（1）周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個？（2）現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成小段，每段的長不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求的最大值.此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的段.（江蘇省競賽試題）解題思路：對于（1），不妨設(shè)三角形三邊為，，，且，由條件及三角形三邊關(guān)系定理可確定的取值范圍，從而可以確定整數(shù)的值.對于（2），因段之和為定值150cm，故欲使盡可能的大，必須使每段的長度盡可能的小.這樣依題意可構(gòu)造一個數(shù)列.【例6】在三角形紙片內(nèi)有2008個點，連同三角形紙片的3個頂點，共有2011個點，在這些點中，沒有三點在一條直線上.問：以這2011個點為頂點能把三角形紙片分割成多少個沒有重疊部分的小三角形？（天津市競賽試題）解題思路：本題的解題關(guān)鍵是找到規(guī)律：三角形內(nèi)角每增加1個內(nèi)點，就增加了2個三角形和3條邊.能力訓(xùn)練A級1.設(shè)，，是△ABC的三邊，化簡=____________.2.三角形的三邊分別為3，，8，則的取值范圍是__________.3.已知一個三角形三個外角度數(shù)比為2:3:4，這個三角形是_______（按角分類)三角形.4.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為____________.（“縉云杯“試題）（第4題）（第5題）（第6題）5.如圖，已知AB∥CD，GM，HM分別是∠AGH，∠CHG的角平分線，那么∠GMH=_________.（第7題）（第9題）6.如圖，△ABC中，兩外角平分線交于點E，則∠BEC等于（）A.B.C.D.7.如圖，在△ABC中，BD，BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H.下列結(jié)論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正確的是（）A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④8.已知三角形的每條邊長的數(shù)值都是2001的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的不同的三角形共有（）A.6個B.7個C.8個D.9個如圖，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，則（）A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）（北京市競賽試題）10.一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別是4和1997，則滿足上述條件的三角形的個數(shù)是（）A.1個B.3個C.5個D.7個（北京市競賽試題）11.如圖，已知∠3=∠1+∠2，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.（河南省競賽試題）12.平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M（如圖1），求∠AMC的大小.（2）點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點N（如圖2），求∠ANC.圖1圖213.三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度.在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上.（1）證明：AB+AE＞DB+DE；（2）證明：AB+AC＞DB+DC；（3）AB+BC+CA與2（DA+DB+DC）哪一個更大？證明你的結(jié)論；（4）AB+BC+CA與DA+DB+DC哪一個更大？證明你的結(jié)論.（加拿大埃蒙德頓市競賽試題）B級1.已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但不是最短邊，這樣的三角形的個數(shù)有_______個.（“祖沖之杯”邀請賽試題）2.以三角形的3個頂點和它內(nèi)部的9個點共12個點為頂點能把原三角形分割成______個沒有公共部分的小三角形.3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是，最小值是，則___________.（上海市競賽試題）4.如圖，若∠CGE=，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.（山東省競賽試題）（第4題）（第5題）5.如圖，在△ABC中，∠A=96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點，與的平分線相交于點，依此類推，與的平分線相交于點，則的大小是（）A.3°B.5°C.8°D.19.2°6.四邊形ABCD兩組對邊AD，BC與AB，DC延長線分別交于點E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點P.∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結(jié)論中正確的是（）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEB+∠PFC=136°.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④7.三角形的三角內(nèi)角分別為，，，且，，則的取值范圍是（）A.B.C.D.（重慶市競賽試題）8.已知周長小于15的三角形三邊的長都是質(zhì)數(shù)，且其中一邊的長為3，這樣的三角形有（）A.4個B.5個C.6個D.7個（山東省競賽試題）9.不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長.（第三十二屆美國邀請賽試題）10.設(shè)，，均為自然數(shù)，滿足且，試問以，，為三邊長的三角形有多少個？11.銳角三角形用度數(shù)來表示時，所有角的度數(shù)為正整數(shù)，最小角的度數(shù)是最大角的度數(shù)的，求滿足此條件的所有銳角三角形的度數(shù).（漢城國際數(shù)學(xué)邀請賽試題）12.如圖1，A為軸負半軸上一點，B為軸正半軸上一點，C（0，-2），D（-2，-2）.（1）求△BCD的面積；（2）如圖2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交軸于P，交BC于Q.求證：∠CPQ=∠CQP；（3）如圖3，若∠ADC=∠DAC，點B在軸正半軸上運動，∠ACB的平分線交直線AD于E，DF∥AC交軸于F，F(xiàn)M平分∠DFC交DE于M，的值是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.圖1圖2圖313.如圖1，，.且，滿足.圖1圖2（1）求A，B的坐標；（2）C為軸正半軸上一動點，D為△BCO中∠BCO的外角平分線與∠COB的平分線的交點，問是否存在點C，使∠D=∠COB.若存在，求C點坐標；（3）如圖2，C為軸正半軸上A的上方一動點，P為線段AB上一動點，連CP延長交軸于E，∠CAB和∠CEB平分線交于F，點C在運動過程中的值是否發(fā)生變化？若不變求其值；若變化，求其范圍.專題13三角形的基本知識例1130°或50°例2B例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4設(shè)∠C＝x°，則∠A＝(x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．解得70＜x＜84．∵x是整數(shù)，∴x＝77．故∠C＝77°，則∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨設(shè)a＜b＜c，則由，得10＜c＜15．∵c是整數(shù)，∴c＝11，12，13，14．當c＝11時，b＝10，a＝9．當c＝12時，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．當c＝13時，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．當c＝14時，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）這些小段的長度只可能分別是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值為10.共有以下7種方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6解法1我們不妨先考察三角形內(nèi)有1個點、2個點、3個點…的簡單情況，有下表所示的關(guān)系：三角形內(nèi)點數(shù)1234…連線得到的小三角形個數(shù)3579…不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)有一個點時，連線可得到3個小三角形，以后每增加一個點，這個點必落在某一個小三角形內(nèi)，它與該三角形的三個頂點可得到三個小三角形，從而增加了兩個小三角形，于是可以推出，當三角形內(nèi)有2008個點是，連線可得到小三角形的個數(shù)為：3＋2×（2008－1）＝4017（個）.解法2整體核算法設(shè)連線后把原三角形分割成n個小三角形，則它們的內(nèi)角和為180°·n，又因為原三角形內(nèi)每一個點為小三角形頂點時，能為小三角形提供360°的內(nèi)角，2008個點共提供內(nèi)角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即這2008個點能將原三角形紙片分割成4017個小三角形.A級1.2（b＋c）2.－5＜a＜－23.鈍角4.180°5.90°6.C7.D8.B9.B10.B11.提示：過G作GH∥EB，可推得BE∥CF.12.（1）∠AMC＝（∠ABC＋∠ADC）＝×（24°＋42°）＝33°（2）∵AN、CN分別平分∠DAE，∠BCD，∴可設(shè)∠EAN＝∠DAB＝x，∠BCN＝∠DCN＝y(tǒng)，∴∠BAN＝180°－x，設(shè)BC與AN交于S，∴∠BSA＝∠CSN，∴180°－x＋∠B＝y(tǒng)＋∠ANC，①同理：180°－2x＋∠B＝2y＋∠D，②由①×2－②得：2∠ANC＝180°＋∠B＋∠D.∴∠ANC＝（180°＋24°＋42°）＝123°.13.（1）（2）略提示：（3）DA＋DB＞AB，DB＋DC＞DC，DC＋DA＞CA，將三個不等式相加，得2（DA＋DB＋DC）＞AB＋CB＋CA.（4）由（2）知AB＋AC＞DB＋DC，同理BC＋BA＞DC＋DA，CA＋CB＞DA＋DB，故AB＋BC＋CA＞DA＋DB＋DCB級1.82.193.175提示：設(shè)∠A＝（2x）°，∠B＝（5x）°，則∠C＝180°－（7x）°，由∠A≤∠C≤∠B得15≤x≤204.2a5.A6.D7.D8.B9.提示：設(shè)長度為4和12的高分別是邊a，b上的，邊c上的高為h，△ABC的面積為S，則，，，由得，故.10.711.設(shè)銳角三角形最小角的度數(shù)為x，最大角的度數(shù)為4x，另一角為y，則，解得20≤x≤22.5，故x＝20或21或22.所有銳角三角形的度數(shù)為：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°).12.（1）S△BCD＝2（2）略（3）設(shè)∠ABC＝x，則∠BCF＝90°＋x，可證：∠E＝x，∠DMF＝45°.∴專題14多邊形的邊與角閱讀與思考主要是指多邊形的邊、內(nèi)外角、對角線、凸多邊形、凹多邊形等基本概念和多邊形內(nèi)角和定理、外角和定理，其中多邊形內(nèi)、外角和定理是解有關(guān)多邊形問題的基礎(chǔ)．多邊形的許多性質(zhì)與問題往往可以利用三角形來說明、解決，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題是解多邊形問.題的基本策略，轉(zhuǎn)化的方法是連對角線或向外補形．多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，但外角和卻總是不變的，所以，我們常以外角和的“不變”來制約內(nèi)角和的“變”，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題來處理，這是解多邊形相關(guān)問題的常用技巧．例題與求解【例1】兩個凸多邊形，它們的邊長之和為12，對角線的條數(shù)之和為19，那么這兩個多邊形的邊數(shù)分別是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：設(shè)兩個凸多邊形分別有，條邊，分別引出，條對角線，由此得，方程組．【例2】凸邊形有且只有3個鈍角，那么的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解題思路：運用鈍角、銳角概念，建立關(guān)于的不等式，通過求解不等式逼近求解．【例3】凸邊形除去一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2570°，求的值．（山東省競賽試題）解題思路：利用邊形內(nèi)角和公式，以及邊數(shù)為大于等于3的自然數(shù)這一要求，推出該角大小，進而求出的值．【例4】如圖，凸八邊形ABCDEFGH的八個內(nèi)角都相等，邊AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)G的長分為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．（全國通訊賽試題）解題思路：該八邊形每一內(nèi)角均為135°，每一外角為45°，可將八邊形問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形解決、特殊四邊形加以解決．【例5】如圖所示，小華從M點出發(fā)，沿直線前進10米后，向左轉(zhuǎn)20°，再沿直線前進10米后，又向左轉(zhuǎn)20°，…這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地M時，行走了多少米？解題思路：試著將圖形畫完，你也許就知道答案了．能力訓(xùn)練A級1．如圖，凸四邊形有＿＿＿個；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．（重慶市競賽試題）第1題第1題第2題如圖，凸四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD和DA的長分別為3，4，12和13，∠ABC＝90°，則四邊形ABCD的面積為＿＿＿．3．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．第3題第3題第4題第7題4．如圖，ABCD是凸四邊形，則的取值范圍是＿＿＿．.5．一個凸多邊形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（）A．9條 B．8條 C．7條 D．6條（“祖沖之杯”邀請賽試題）6．—個凸邊形的內(nèi)角和小于1999°，那么的最大值是（）（全國初中聯(lián)賽試題）A．11 B．12 C．13 D．147．如圖，是一個正方形桌面，如果把桌面砍下一個角后，桌面還剩（）個角．A．5個 B．5個或3個C．5個或3個或4個 D．4個8．—個凸邊形，除一個內(nèi)角外，其余個內(nèi)角的和為2400°，則的值是（）A．15 B．16 C．17 D．不能確定9．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四邊形周長為32，求BC和DC的長．10．—個凸邊形的最小內(nèi)角為95°，其他內(nèi)角依次增加10°，求的值．（“希望杯”邀請賽試題）11．平面上有A，B，C，D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—個三角形的內(nèi)角不超過45°．（江蘇省競賽試題）12．我們常見到如圖那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整的、無空隙的地面．問：（1）像上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形的材料，為什么？（2）你能不能另外想出一個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖．（3）請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖．（安徽省中考試題）B級1．一個正邊形恰好被正邊形圍住（無重疊、無間隙，如圖所示是＝4，＝8的情況），若＝10，則＝＿＿＿＿．第1題第1題第2題第3題2．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，F(xiàn)ACD＝3，則BC＋DE＝＿＿＿＿．（北京市競賽試題）3．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到五個角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于＿＿＿．若延長凸邊形（≥5）的各邊相交，則得到的個角的和等于＿＿＿＿．（第十二屆“希望杯”邀請賽試題）4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，則∠D＝（）A．60° B．67.5° C．75° D．不能確定（重慶市競賽試題）第4題第4題第5題5．如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，則∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．70° B．110° C．140° D．150°6．在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．12 B．12或13 C．14 D．14或15（江蘇省競賽試題）7．一個凸十一邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸十一邊形各個內(nèi)角大小，并畫出這樣的凸十一邊形的草圖．（全國通訊賽試題）8．一塊地能被塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果使用較小的相同正方形地磚，那么需＋76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知及地磚的邊長都是整數(shù)，求的值．（上海市競賽試題）設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作A1如下左圖，將A1的每條邊三等分，在中間的線段上各向形外作正三角形，去掉中間的線段后得到的圖形記作A2（如下中圖）；將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3（如下右圖）；再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，求A4的周長．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）10．在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫作平面鑲嵌），這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角（360°）時，就拼成了一個平面圖形．（1）請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：正多邊形邊數(shù)3456…正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)60°90°（2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形．說明你的理由．（陜西省中考試題）專題14多邊形的邊與角例157例2B例3n＝17提示：設(shè)此角為x，則（n－2）×180°＝x＋2570°，得，x＝130°，此時n＝17.例4雙向延長AB，CD，EF，GH得四邊形MNPQ，如圖，原八邊形的內(nèi)角都相等，其每一內(nèi)角均為，每一外角均為45°，因此MNPQ為長方形，△BPC，△DQE，△FMG，△ANH都是等腰直角三角形.設(shè)GH＝x，HA＝y(tǒng)，由MQ＝NP，得MF＋FE＋EQ＝NA＋AB＋BP，∴，∴.∵MN＝QP，∴x＝3＋2，∴周長＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋2＋3－＝32＋.例5將整個圖形畫完，就知道是一個邊長為10米的正多邊形，且每個外角的大小都是20°，由多邊形的外角和等于360°知這是一個18邊形，所以小華第一次回到M點時走的總路程是180米.A級1.7；540°2.363.540°4.1＜x＜135.D6.C7.C8.A9.BC＝10，DC＝610.n＝611.提示：分構(gòu)成凸四邊形和凹四邊形兩種情況討論，并用反證法加以證明推出矛盾.12.(1)所用材料的形狀不能是正五邊形,因為,正五邊形的每個內(nèi)角都是108°,要鋪成平整的,無空隙的地面,必須使若干個正五邊形拼成一個周角，但找不到符合條件的以n×108°=360°的n值,故不能用形狀是正五邊形的材料鋪地面.⑵⑶略.B級1.5 2.143.180°;(n－4)180° 4.B5.D 由OA=OB=OC得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一邊形由正方形或正三角形拼成，故其內(nèi)角的大小只能是60°,90°,120°,\150°四種可能,設(shè)這些角的個數(shù)分別為x,y,z,w,則解得x=y=0,z=1,w=10.說明這個十一邊形一個內(nèi)角為120°,由兩個正三角形的內(nèi)角拼成，其余10個角均為150°,由一個正三角形內(nèi)角與一個正方形內(nèi)角拼成,圖略.8.n=3249.提示：從A1開始,每進行一次操作,所得到的圖形的周長是原來圖形周長的倍.10.(1)108°;120°;(2)正三角形、正四邊形(或正方形)正六邊形.假定在接合處一共有k塊正邊形地磚，由于正n邊形的所有內(nèi)角都相等，則即.因k為整數(shù)，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4或6，由此可見，只有三種正多邊形的瓷磚，可以按要求鋪地，即正三角形、正方形和正六邊形.(3)如:正方形和正八邊形，草圖如下，設(shè)在一個頂點周圍有m個正方形的角，n個正八邊形的角，那么，m，n應(yīng)是方程m·90°+n·135°=360°的整數(shù)解.即2m+3n=8的整數(shù)解.∵這個方程的整數(shù)解只有一組∴符合條件的圖形只有一種.專題15多邊形的邊與角閱讀與思考兩個幾何圖形的全等是指兩個圖形之間的一種關(guān)系，其中最基本的關(guān)系是兩個圖形的點的對應(yīng)關(guān)系，以及對應(yīng)邊之間、對應(yīng)角之間的相等關(guān)系．全等三角形是研究三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的主要工具，是解決有關(guān)線段、角等問題的一個出發(fā)點，證明線段相等、線段和差相等、角相等、兩直線位置關(guān)系等問題總要直接或間接用到全等三角形，我們把這種應(yīng)用全等三角形來解決問題的方法稱為全等三角形法．我們實際遇到的圖形，兩個全等三角形并不重合在一起，而是處于各種不同的位置，但其中一個是由另一個經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換而成的．了解全等變換的這幾種形式，有助于發(fā)現(xiàn)全等三角形、確定對應(yīng)元素．善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，應(yīng)熟悉涉及有關(guān)會共邊、公共角的以下兩類基本圖形：例題與求解【例1】考查下列命題：①全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對應(yīng)相等；②兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上高）對應(yīng)相等的兩個三角形全等．其中正確命題的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個（山東省競賽試題）解題思路：真命題給出證明，假命題舉出一個反例．【例2】如圖，已知BD、CE是△ABC的高，點P在BD的延長線上，BP＝AC，點Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六屆江蘇省競賽試題）解題思路：（1）證明對應(yīng)的兩個三角形全等；（2）證明∠PAQ＝90°．【例3】如圖，已知為AD為△ABC的中線，求證：AD＜．（陜西省中考試題）解題思路：三角形三邊關(guān)系定理是證明線段不等關(guān)系的基本工具，關(guān)鍵是設(shè)法將AB，AC，AD集中到同一個三角形中，從構(gòu)造2AD入手．【例4】如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點E．求證：AB＝AC＋BD．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：本例是線段和差問題的證明，截長法（或補短法）是證明這類問題的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要證明FB＝BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等．【例5】如圖1，CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，則BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如圖3，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件＿＿＿＿，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明這兩個結(jié)論；（2）如圖4，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．圖1圖1圖2圖3圖4（臺州市中考試題）解題思路：對于②，可用①進行逆推，尋找△BCE≌△CAF應(yīng)滿足的條件．對于（2）可用歸納類比方法提出猜想．【例6】如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．求證：CD＝AB．（天津市競賽試題）解題思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度數(shù)可聯(lián)想到特殊三角形、共線點等．能力訓(xùn)練A級1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，則點D到AB的距離是＿＿＿＿．第1題第1題第2題第3題第4題2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過B，C作經(jīng)過點A的直線的垂線BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，則DE＝＿＿＿＿．3．如圖，△ABE和△ACF分別是以△ABC的邊AB、AC為邊的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，則∠EOB＝＿＿＿＿．4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四個結(jié)論：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請寫出正確結(jié)論的序號＿＿＿＿．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）（天津市中考試題）5．如圖，點E在△ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，則（）A．△ABD≌△AFD B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE第5題第5題第6題第7題6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，則△DEB的周長為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm7．如圖，從下列四個條件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三個為題設(shè)，余下的一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成的正確命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（北京市東城區(qū)中考試題）8．如圖1，在銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于F，且BF＝AC．（1）求證：ED平分∠FEC；（2）如圖2，若△ABC中，∠C為鈍角，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，請給予證明．圖1圖1圖29．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，連AD，M為AD中點，連OM．（1）如圖1，請寫出OM與BC的關(guān)系，并說明理由；（2）將圖1中的△COD旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．圖1圖1圖210．如圖，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M．求證：∠M＝．（天津市競賽試題）11．如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，P為BE，CD的交點．求證：BD＋CE＝BC．12．如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD．（日照市中考試題）B級1．在△ABC中，高AD和BE交于H點，且BH＝AC，則∠ABC＝＿＿＿＿．（武漢市競賽試題）2．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是＿＿＿＿．（“希望杯”競賽試題）第2題第2題第3題第4題第5題3．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分線，P是AD上任意一點，在ABAC與BPPC兩式中，較大的一個是＿＿＿＿．4．如圖，已知AB∥CD，AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有（）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對5．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，則（）A．BE＋CF＞EF B．BE＋CF＝EFC．BE＋CF＜EF D．BE＋CF與的大小關(guān)系不確定（第十五屆江蘇省競賽試題）6．如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角（）A．相等 B．不相等 C．互余 D.互補或相等（北京市競賽試題）7．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下四個論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三個論斷為題設(shè)，填入下面的“已知”欄中，一個論斷為結(jié)論，填入下面的“求證”欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．求證：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荊州市中考試題）8．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度數(shù)．（上海市競賽試題）9．在四邊形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，對角線AC平分∠BAD，問與的大小符合什么條件時，有∠B＋∠D＝180°，請畫出圖形并證明你的結(jié)論．（河北省競賽試題）10．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分別平分∠BAC，∠ACB．求證：AC＝AE＋CD．（武漢市選拔賽試題）11．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分別平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，連PQ．求證：為定值．12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：DE＝AD＋BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE＝ADBE；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．（海口市中考試題）圖1圖1圖3圖213．CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，則BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件＿＿＿＿，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明這兩個結(jié)論；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．圖1圖1圖2圖3（臺州市中考試題）