2024初中數(shù)學競賽八年級競賽輔導講義專題19 平行四邊形、矩形、菱形含答案

2024初中數(shù)學競賽八年級競賽輔導講義專題19平行四邊形、矩形、菱形閱讀與思考平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對邊、對角、對角線三個方面探討的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過來，判定一個四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件.連對角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關(guān)問題時，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四邊形的背景下思考問題，運用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定定理與性質(zhì)定理的綜合運用.熟悉以下基本圖形：例題與求解【例l】如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.(“祖沖之杯”邀請賽試題)解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手.【例2】下面有四個命題：①一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；②一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；③一組對角相等且這一組對角的頂點所連結(jié)的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；④一組對角相等且這一組對角的頂點所連結(jié)的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形；其中，正確的命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)解題思路：從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對假命題能突破正規(guī)的、標準位置的圖形構(gòu)造反例否定.【例3】如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD＝2，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個動點且滿足AE+CF＝2.（1）判斷△BEF的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍.(煙臺中考試題)解題思路：對于（1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對于（2），只需求出BE的取值范圍.【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，PG⊥EF于點G，延長GP并在春延長線上取一點D，使得PD＝PC.求證：BC⊥BD，BC＝BD.(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)解題思路：只需證明△CPB≌△DPB，關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì).【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F.（1）在圖1中證明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE，分別連結(jié)DB，DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù).(北京市中考試題)解題思路：對于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個等腰三角形；對于（2），用測量的方法可得∠BDG=45°，進而想到等腰直角三角形，連CG，BD，只需證明△BGC≌△DGF，這對解決（3），有不同的解題思路.對于（3）【例6】如圖，△ABC中，∠C＝90°，點M在BC上，且BM＝AC，點N在AC上，且AN＝MC，AM與BN相交于點P.求證：∠BPM＝45°.(浙江省競賽試題)解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移AN或AC，即作ME⊥AN，ME＝AN，構(gòu)造平行四邊形.能力訓練A級1.如圖，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，則□ABCD的面積為________.2.如圖，□ABCD的對角線相交于點O，且AD≠CD，過點O作OM⊥AC，交AD于點M，若△CDM周長為a，那么□ABCD的周長為________.(浙江省中考試題)3.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，過C作CF∥AB，連結(jié)AF與BC相交于G，若GF＝2AC，則∠BAG的大小是________.(“希望杯”競賽試題)4.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，則∠CEF的大小是________.(“希望杯”邀請賽試題)5.四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，c為對邊，且滿足，則這個四邊形一定是（）A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形6.現(xiàn)有以下四個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個角為直角且對角線互相平分的四邊形為矩形；④菱形的對角線的平方和等于邊長的平方的4倍.其中，正確的命題有（）A.①②B.③④C.③D.①②③④7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，過點C作CE⊥BD于E，延長AF，EC交于點H，下列結(jié)論中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正確的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④(齊齊哈爾中考試題)8.如圖，矩形ABCD的長為a，寬為b，如果，則＝（）A.B.C.D.(“縉云杯”競賽試題)9.已知四邊形ABCD，現(xiàn)有條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.從中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請具體寫出這些組合.(江蘇省競賽試題)10.如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點，且CD＝BF，以AD為邊作等邊△ADE.（1）求證：△ACD≌△CBF；（2）當D在線段BC上何處時，四邊形CDEF為平行四邊形，且∠DEF＝30°，證明你的結(jié)論.(江蘇省南通市中考試題)11.如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D為BC上任一點，DF⊥AC于F，DE⊥AC于E，M為BC中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.(河南省中考試題)12.如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積.(山東省競賽試題)B級1.如圖，已知ABCD是平行四邊形，E在AC上，AE＝2EC，F(xiàn)在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面積為2，則□ABCD的面積是________.(“希望杯”競賽試題)2.如圖，已知P為矩形ABCD內(nèi)一點，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝________.(山東省競賽試題)3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將矩形折疊，使B點與D點重合，則折痕EF長為________.(武漢市競賽試題)4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，使點D落在點處，交AB于點F，則重疊部分△AFC的面積為________.(山東省競賽試題)5.如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為________.(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)6.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點，P點在BD上，則PE+PC的最小值為________.(“希望杯”邀請賽試題)7.如圖，△ABC的周長為24，M是AB的中點，MC＝MA＝5，則△ABC的面積是（）A.30B.24C.16D.12(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)8.如圖，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，則∠AED的大小是（）A.60°B.65°C.70°D.75°9.如圖，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，則AP+PB的值為（）A.15B.14C.13D.12(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)10.如圖1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可畫出兩個：矩形ACBD和矩形AEFB（如圖2）.解答問題：（1）設(shè)圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為，，則________（填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如圖3，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出________個，利用圖3畫出來.（3）如圖4，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出________個，利用圖4畫出來.（4）在（3）中所畫出的矩形中，哪一個的周長最??？為什么？(陜西中考試題)11.四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M為BC上一點，N為CD上一點.求證：若△AMN有一個內(nèi)角等于60°，則△AMN為等邊三角形.12.如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求證：該六邊形的各角相等.(全俄數(shù)學奧林匹克試題)專題19平行四邊形、矩形、菱形例175°例2A只有命題③正確.例3（1）△BEF為正三角形提示：由△ABD和△BCD為正三角形，可證明△BDE≌△BCF，得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF為等邊三角形.(2)設(shè)，則可得：，當BE⊥AD時，有最小值為.∴.當BE與AB重合時，有最大值為2，∴.∴.例4提示：PC=EF=PD，，可證明△CPB≌△DPB.例5（1）略（2）45°（3）60°如圖，延長AB至H，使AH=AD，連DH，則△AHD是等邊三角形.∵AH=AD=DF，∴BH=GF，又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF，∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，∴例6如圖過M作，連NE，BE，則四邊形AMEN為平行四邊形，得NE=AM，ME⊥BC.∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.∴△BEN為等腰直角三角形，∠BNE=45°.∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.A級1.2.3.26°提示：作FG邊上中線，連接EC，則EF=EC=AC.4.20°提示：連接AC，則△AFC≌△AEB，△AEF為等邊三角形.5.C6.B7.D8.A提示：E、F分別為AB、BC中點.9.從6個條件中任取2個，只有15種組合，其中能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有以下9種情形：①與③；②與④；⑤與⑥；①與②；③與④；①與⑤；①與⑥；③與⑤；③與⑥.10.提示：（2）當D為BC中點時，滿足題意.11.提示：連AM，證明△AMF≌△BME，可證△MEF為等腰直角三角形.12.6提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四邊形AEFD為平行四邊形.又∠BAC=90°，則∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，則∠ADF=∠AEF=30°，則F到AD的距離為2，故.B級1.92.提示：可以證明.3.4.10提示：可先證：AF=CF.設(shè)，則，∴.∴.∴.5.提示：過A作AG⊥BD于G可證PE+PF=AG，由可得：.6.cm提示：A，C關(guān)于BD對稱，連AE交BD于P.∴PE+PC=AE.又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴為最小.7.B8.B提示：取DE中點為G，連結(jié)AG，則AG=DG=EG.9.C10.(1)=；圖略（2）1；圖略（3）3；圖略（4）以AB為邊的矩形周長最小，用面積法證明．11．證明：連AC，如圖，則易證△ABC與△ADC都為等邊三角形．(1)若∠MAN＝60°，則△ABM≌△ACN．∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN為等邊三角形．(2)∠AMN＝60°，過M作CA的平行線交AB于P．∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，∴△BPM為等邊三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．又∠APM＝120°＝∠MCN．∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．故△AMN為等邊三角形．12．提示：如圖，分別過點A作AM∥EF，過點C作CP∥AB，過點E作EN∥AF，它們分別交于N，M，P點，得ABCM、CDEP、EFAN，則EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由條件得△NMP為等邊三角形，可推得六邊形的每個內(nèi)角均為120°．專題20正方形閱讀與思考矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來研究正方形的有關(guān)問題．正方形問題常常轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本圖形．例題與求解【例l】如圖，在正方形紙片中，對角線，交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后，折痕分別交，于點，.下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形是菱形；⑤.其中，正確結(jié)論的序號是______________．（重慶市中考試題）解題思路：本題需綜合運用軸對稱、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識方法．【例2】如圖1，操作：把正方形的對角線放在正方形的邊的延長線上，取線段的中點.連，．（1）探究線段，的關(guān)系，并加以證明．（2）將正方形繞點旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖2），其他條件不變．探究線段，的關(guān)系，并加以證明．（大連市中考題改編）解題思路：由為中點，想到“中線倍長法”再證三角形全等．【例3】如圖，正方形中，，是，邊上兩點，且，于，求證：.（重慶市競賽試題）解題思路：構(gòu)造的線段是解本例的關(guān)鍵．【例4】如圖，正方形被兩條與邊平行的線段、分割成四個小矩形，是與的交點，若矩形的面積恰是矩形面積的2倍，試確定的大小，并證明你的結(jié)論．（北京市競賽試題）解題思路：先猜測的大小，再作出證明，解題的關(guān)鍵是由條件及圖形推出隱含的線段間的關(guān)系．【例5】如圖，在正方形中，，分別是邊，上的點，滿足，分別與對角線交于點．求證：（1）；（2）．（四川省競賽試題）解題思路：對于（1），可作輔助線，創(chuàng)造條件，再通過三角形全等，即可解答；對于（2），很容易聯(lián)想到直角三角形三邊關(guān)系．【例6】已知：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于點．當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．（1）當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．（黑龍江省中考試題）解題思路：對于（2），構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．圖1圖2圖3圖1圖2圖3能力訓練A級1.如圖，若四邊形是正方形，是等邊三角形，則的度數(shù)為__________.（北京市競賽試題）2.四邊形的對角線相交于點，給出以下題設(shè)條件：①；②；③；④．其中，能判定它是正方形的題設(shè)條件是______________.（把你認為正確的序號都填在橫線上）（浙江省中考試題）3．如圖，邊長為1的兩個正方形互相重合，按住一個不動，將另一個繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)，則這兩個正方形重疊部分的面積是__________.（青島市中考試題）第1題圖第3題圖第4題圖4.如圖，是正方形內(nèi)一點，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至能與重合，若，則=__________.（河南省中考試題）5.將個邊長都為的正方形按如圖所示擺放，點分別是正方形的中心，則個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為()A.B．C.D.（晉江市中考試題）第5題圖第6題圖6.如圖，以的斜邊為一邊在的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，如果，則的長為()A.12B．8C.D.（浙江省競賽試題）7．如圖，正方形中，，那么是()A.B．C.D.8．如圖，正方形的面積為256，點在上，點在的延長線上，的面積為200，則的值是()A．15B．12C．11D．109．如圖，在正方形中，是邊的中點，與交于點，求證：．10.如圖，在正方形中，是邊的中點，是上的一點，且．求證：平分．11.如圖，已知是正方形對角線上一點，分別是垂足．求證：．（揚州市中考試題）12.（1）如圖1，已知正方形和正方形，在同一條直線上，為線段的中點．探究：線段的關(guān)系．（2）如圖2，若將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使得正方形的對角線在正方形的邊的延長線上，為的中點．試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（大連市中考試題）圖1圖2B級1.如圖，在四邊形中，，于，若四邊形的面積為8，則的長為__________.2.如圖，是邊長為1的正方形內(nèi)一點，若，則__________.（北京市競賽試題）3.如圖，在中，，以為一邊向三角形外作正方形，正方形的中心為，且，則的長為__________.（“希望杯”邀請賽試題）4.如圖：邊長一定的正方形，是上一動點，交于，過作交于點，作于點，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④為定值，其中一定成立的是()A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④5.如圖，是正方形，，是菱形，則與度數(shù)的比值是()A.3B．4C.5D.不是整數(shù)6.一個周長為20的正方形內(nèi)接于一個周長為28的正方形，那么從里面正方形的頂點到外面正方形的頂點的最大距離是()A.B．C.8D.E.（美國高中考試題）7.如圖，正方形中，，是的中點，設(shè)，在上取一點，使，則的長度等于()A.1B．2C.3D.（“希望杯”邀請賽試題）8.已知正方形中，是中點，是延長線上一點，且交平分線于（如圖1）（1）求證：；（2）若將上述條件中的“是中點”改為“是上任意一點”其余條件不變（如圖2），（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（3）如圖2，點是的延長線上（除點外）的任意一點，其他條件不變，則（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（臨汾市中考試題）`9.已知求證：．10.如果，點分別在正方形的邊上，已知的周長等于正方形周長的一半，求的度數(shù)．（“祖沖之杯”邀請賽試題）11.如圖，兩張大小適當?shù)恼叫渭埰丿B地放在一起，重疊部分是一個凸八邊形，對角線分這個八邊形為四個小的凸四邊形，請你證明：，且．（北京市競賽試題）12.如圖，正方形內(nèi)有一點，以為邊向外作正方形和正方形，連接．求證：．（武漢市競賽試題）專題20正方形例1①④⑤提示：在AD上取AH＝AE，連EH，則∠AHE＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝22.5°，則HE＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正確．又，故③不正確．例2提示：(1)延長DM交CE于N，連DF，NF，先證明△ADM≌△ENM，再證明△CDF≌△ENF得FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90°，故MD⊥MF且MD＝MF．(2)延長DM到N點，使DM＝MN，連FD，F(xiàn)N，先證明△ADM≌△ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，則AD∥EN．延長EN，DC交于S點，則∠ADC＝∠CSN＝90°．在四邊形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝180°，又∵∠FCS＋∠FCD＝180°，故∠FEN＝∠FCD，再證△CDF≌△ENF．∴(1)中結(jié)論仍成立．例3提示：延長BC至點H，使得CH＝AE，連結(jié)DE，DF，由Rt△DAE≌Rt△DCH得，DE＝DH，進而推證△DEF≌△DFH，Rt△DGE≌Rt△DCH．例4設(shè)AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y(tǒng)，則由①得a－x＝y(tǒng)－b，平方得a2－2ax＋x2＝y(tǒng)2－2by＋b2．將②代入得a2－2ax＋x2＝y(tǒng)2－4ax＋b2，∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝．∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．延長CB至M，使BM＝DH，連結(jié)AM，由Rt△ABM≌Rt△ADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90°．再證△AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．即∠HAF＝∠MAH＝45°．例5(1)如圖，延長CD至點E1，使DE1＝BE，連結(jié)AE1，則△ADE1≌△ABE．從而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90°．在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，則△AEF≌△AE1F．故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．(2)如圖，在AE1上取一點M1，使得AM1＝AM，連結(jié)M1D，M1N．則△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．∵∠NDM1＝90°，從而M1N2＝M1D2＋ND2，∴MN2＝BM2＋DN2．例6(1)BM＋DN＝MN成立．如圖a，把△AND繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，E、B、M三點共線，則△DAN≌△BAE，∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．(2)DN－BM＝MN．如圖b，對于圖2，連BD交AM于E，交AN于F，連EN，F(xiàn)M可進一步證明：①△CMN的周長等于正方形邊長的2倍；②EF2＝BE2＋DF2；③△AEN，△AFM都為等腰直角三角形；④．A級1．75° 2．② 3． 4．3 5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，證明∠ABE＋∠BAF＝90°．10．提示：延長CE交DA的延長線于G，證明FG＝FC．11．提示：連PC，則PC＝EF．12．(1)延長DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝DN，F(xiàn)D＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．(2)延長DM交CE于N，連結(jié)DF，F(xiàn)N，先證明△ADM≌△ENM，再證明△CDF≌△ENF，(1)中結(jié)論仍成立．B級1.2EQ\r(,2)2.60°°提示：MA2＋MC2＝MD2＋MB23.54.D5.C6.B7.B8.提示:⑴在AD上截取AF＝AM，∠DFM＝∠MBN，由△DFM≌△MBN，故DM＝MN.⑵證法同上，結(jié)論仍成立.⑶在AD延長線取一點E，使DE＝BM，可證明△DEM≌△MBN，故DM＝MN.9.提示：構(gòu)造邊長為1的正方形ABCD，P為正方形ABCD內(nèi)一點，過P作FH∥AB交AD于F，交BC于H,作EG∥AD交AB于E，交CD于G.設(shè)AE＝a,則BE＝1－a.設(shè)AF＝b，則DF＝1－b.∴PA＝EQ\r(,a2＋b2),同理：PB＝EQ\r(,(1－a)2＋b2),PC＝EQ\r(,(1－a)2＋(1－b)2)，PD＝EQ\r(,a2＋(1－b)2).又∵PA＋PB＋PC＋PD≥2AC＝2EQ\r(,2)，∴命題得證.10.提示：MN＝BM＋DN，延長CD至M',使M'D＝BM，證明△ADM'≌△ABM，△AM'N≌△AMN，則∠MAN＝∠M'AN＝EQ\F(1,2)∠M’AM＝45°.11.提示：八邊形八個內(nèi)角分成兩組，每一組四個角都相等.12.連結(jié)RN,MP，△MPC≌△BAC≌△BRN，則RB＝MP，又△RNM≌△PCB，則RM＝BP，從而四邊形RBPM是平行四邊形，故BP∥RM.專題21梯形閱讀與思考梯形是一類具有一組對邊平行而另一組對邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).解決梯形問題的基本思路是：通過適當添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見的輔助線的方法有：（1）過一個頂點作一腰的平行線（平移腰）；（2）過一個頂點作一條對角線的平行線（平移對角線）；（3）過較短底的一個頂點作另一底的垂線；（4）延長兩腰，使它們的延長線交于一點，將梯形還原為三角形．如圖所示：例題與求解【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的長度分別為，，那么AB的長是___________.（荊州市競賽試題）解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形．【例2】如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四個這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形．（1）求四邊形ABCD四個內(nèi)角的度數(shù)；（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由；（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎？若能，請你畫出大致的示意圖．（山東省中考試題）解題思路：對于（1）、（2），在觀察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)系，從作出梯形的常見輔助線入手；對于（3），在（2）的基礎(chǔ)上，展開想象的翅膀，就可設(shè)計出若干種圖形．【例3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2，求梯形的高.（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）解題思路：由于題目條件中涉及對角線位置關(guān)系，不妨從平移對角線入手．【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點P在線段AD上，問：滿足條件∠BPC＝900的點P有多少個？（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：根據(jù)AB＋DC＝AD這一關(guān)系，可以在AD上取點構(gòu)造等腰三角形．【例5】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，對角線AC，BD相交于O，∠ACD＝600，點S，P，Q分別為OD，OA，BC的中點．（1）求證：△PQS是等邊三角形；（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面積；（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：多個中點給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.【例6】如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點，求證：點P到邊AB的距離是AB的一半．（山東省競賽試題）解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要構(gòu)造能運用條件EP＝PF的圖形．能力訓練A級1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，則下底角的度數(shù)是__________.（天津市中考試題）2.如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)900至DE，連接AE，則△ADE的面積為______________.（寧波市中考試題）3．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長為30cm，則這個等腰梯形的腰長為______________.4.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位線，G是BC邊上任一點，如果，那么梯形ABCD的面積為__________.（成都市中考試題）5.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則梯形的高和中位線的長之間的關(guān)系是()A．＞B．＝C．＜D．無法確定6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，則DC的長度是()A.B．8C.D.E.（美國高中考試題）7．如圖，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，則∠DBC的度數(shù)是()A.300B.450C.600D.900（陜西省中考試8．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點P在BC上移動，則當PA＋PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為()A．B．C．D．3（鄂州市中考試題）9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，點P為BC邊上一點，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G．求證：PE＋PF＝BG．（哈爾濱市中考試題）10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，BD與EF相交于G．求證：．11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E、F分別是AB、AC的中點，CE⊥BF于點O．求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形；（2）．（深圳市中考試題）12.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，過點E作EF//BC交CD于點F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM⊥EF交BC于點M，過M作MN//AB交折線ADC于點N，連接PN，設(shè)EP＝．①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由．②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．（江西省中考試題)B級1.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延長BD到E，使DE＝DB，作EF⊥AB交BA的延長線于點F，則AF＝__________.（山東省競賽試題）2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD＝，設(shè)E為CG中點，F(xiàn)是AB中點，則EF長為_________.（“希望杯”邀請賽試題）3.用四條線段：作為四條邊，構(gòu)成一個梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值為_________.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）4.如圖，梯形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O點，且AO：CO＝3：2，則兩條對角線將梯形分成的四個小三角形面積之比為_________.（安徽省中考試題）第4題圖第5題圖第6題圖5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，若△DEC的面積為S，則四邊形ABCD的面積為()A．B．2SC．D．（重慶市競賽試題）6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F(xiàn)，N分別為AB，BC，CD，DA的中點，已知BC＝7，MN＝3，則EF的值為()A．4B．C．5D．6（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）如圖，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中點，有以下四個命題：①若AB＋DC＝BC，則∠BEC＝；②若∠BEC＝，則AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分線，則∠BEC＝；④若AB＋DC＝BC，則CE是∠DCB的平分線.其中真命題的個數(shù)是()A．1個B．2個C．3個D．4個（重慶市競賽試題）8.如圖，四邊形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中點，從M作AD的垂線交BC于N，則BN的長等于()A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm（“希望杯”邀請賽試題）9.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中點，MN⊥AD.求證：（山東省競賽試題）10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線交線段EF于點M.求證：點M為EF的中點.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）11.已知一個直角梯形的上底是3，下底是7，且兩條對角線的長都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.（“東方航空杯”上海市競賽試題）12.如圖1，平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABD的邊BD的三等分點（）交AB于E，AB＝12，四邊形OEBF的面積為16.（1）求值.（2）已知，點P從A出發(fā)以0.5cm/s速度沿AB、BD向D運動，點Q從C同時出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.從運動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形PQCB為等腰梯形（如圖2）.（3）在（2）條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點M，使過M且與PB，CQ分別交于S，T的直線把PQCB的面積分成