2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題22 直線、射線與線段含答案

PAGE32024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題22直線、射線與線段閱讀與思考構(gòu)成平面圖形的基本元素是點和線，在幾何圖形中，點無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物，點與線有著密切的聯(lián)系，點運動成線，線與線相交的地方形成點，一條線確定了兩個端點，線的長短也就確定了，從這個意義上講，點是線的界限．在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相關(guān)問題常涉及如下知識與方法：1．直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系．2．線段中點的概念．3．枚舉法、分類討論法．例題與求解【例1】已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝10，線段BC的中點為Q，BC＝6，則線段PQ的長為＿＿＿＿．（江蘇省競賽試題）解題思路：未給出圖形，注意C點位置有多種可能．【例2】在一條直線上已知四個不同的點依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小的點（）A．可以是直線AD外的某一點 B．只有點B或點CC．只是線段AD的中點 D．有無窮多個（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：直線上的四個點把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，從直觀的圖形中作出判斷．【例3】如圖，C是線段上的一點，D是BC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個關(guān)于AC，BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解．【例4】如圖所示，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的點，點D為線段AE的中點．（1）若線段AB＝，CE＝，＝0，求，．（2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長．（3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長．圖圖①圖②（湖北省武漢市調(diào)考試題）解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對于（3），引入未知數(shù)，列方程求解．【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明．（2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．（3）平面上有條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點，處于這種位置的條直線分一個平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系．（山東省聊城市中考試題）解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【例6】已知線段AB＝，CD＝，線段CD在直線上運動（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若與互為相反數(shù)．（1）求線段AB，CD的長．（2）M，N分別是線段AC，BD的中點，若BC＝4，求MN．（3）當CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：①是定值；②是定值．可以證明，有且只有一個結(jié)論是正確的，請你作出正確的選擇并畫圖求值．（浙江省寧波市中考試題改編）解題思路：（1）與的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個正數(shù)是不可能等于一個負數(shù)的，所以＝6，＝12．（2）需要分類討論：如圖①，當點C在點B左側(cè)時，根據(jù)“M，N分別為線段AC，BD的中點”，先計算出AM，DN的長度，然后計算MN＝ADAMDN；如圖②，當點C位于點B右側(cè)時，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度．（3）能計算出①或②的值是一個常數(shù)的，即為符合題意的結(jié)論．能力訓(xùn)練A級1．已知點O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm，線段OB的長度為6cm，E，F(xiàn)分別為線段ｏA，OB的中點，則線段EF的長度為＿＿＿＿．（黑龍江省中考試題）2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于＿＿＿厘米．（“希望杯”邀請賽試題）3．如圖，B，C，D依次是上的三點，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5個點為端點的所有線段長度的和為＿＿＿＿cm．（《中學(xué)生數(shù)理化》讀刊用刊知識競賽試題）4．平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點個數(shù)最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿．（“希望杯”邀請賽試題）5．直線，，，，共點O，直線與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點，則上述圖形中共有線段（）條．A．4 B．5 C．10 D．156．如圖，點A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．若想求出MN的長度，則只需條件（）A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2（海南省競賽試題）7．如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，M是線段AB的中點，N是線段DC的中點，MN＝，BC＝則AD＝（）A． B． C． D．8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長的（）A． B． C． D．9．已知線段AB＝6．（1）取線段AB的三等分點，這些點連同線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．（2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點；第二種是線段AB的六等分點，這些點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．（湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題）10．已知AB＝60cm，點C是直線AB上不同于A，B的點，M為AC中點，N是BC中點，求MN的長度．11．如圖，已知點A，B，C是數(shù)軸上三點，點C對應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．（1）求點A，B對應(yīng)的數(shù)；（2）動點P，Q同時從A，C出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動．M為AP的中點，N在CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運動時間（＞0）．①求點M，N對應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）．②為何值時，OM＝2BN？B級1．把線段AB延長至D，使BD＝AB，再延長BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍．2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點M與CD的中點N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿＿厘米．3．如圖，C是線段AB的中點，D是線段CB上的一點，若所有線段的長度都是正整數(shù)，且線段AB的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于＿＿＿＿．（“希望杯”邀請賽試題）4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN＝，BC＝，則線段AD＝＿＿＿＿．5．如圖，已知數(shù)軸上點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)，，都不為0，且C是AB的中點．如果＝0，那么原點O的位置在（）A．線段AC上 B．線段CA的延長線上C．線段BC上 D．線段CB的延長線上（江蘇省競賽試題）6．如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N為線段AC的中點，P為NA的中點，Q為MA的中點，則MN︰PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．平面上有四個點，經(jīng)過其中每兩個點畫一條直線，那么一共可以畫直線（）A．6條 B．1條或3條或6條C．1條或4條 D．1條或4條或6條8．如圖，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點，現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應(yīng)建在（）A．A處 B．C處 C．G處 D．E處城市城市（江蘇省競賽試題）9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果電子跳蚤開始時在BC邊上P0點，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點，且AP2＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001，請計算P0與P2001之間的距離．（“華杯賽”邀請賽試題）10．設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍．現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時出發(fā)，出發(fā)時，甲、乙為步行，丙騎車．途中，當甲、丙相遇時，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進；當甲、乙相遇時，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進．問：三人之中誰最先到達自己的目的地？誰最后到達自己的目的地？（“華羅庚金杯”競賽試題）11．已知數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為2和4，P為數(shù)軸上一點，對應(yīng)數(shù)為．（1）若P為線段AB的三等分點，求P點對應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上是否存在點P，使P點到A點，B點距離和為10？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．（3）若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，它們的速度分別為1，2，1個（長度單位/分），則第幾分鐘時，P為AB的中點？12．—條直線順次排列著1990個點：P1，P2，…，P1990，已知點是線段的等分點當中最靠近巧的那個點（2≤≤1989），如P5是線段P4P6的5等分點當中最靠近P6的那個分點．如果線段P1P2的長度是1，線段P1989P1990的長度為．求證：＝．（浙江省競賽試題）專題22直線、射線、線段例18或2例2D例3設(shè)，，則，，，，故圖中所有線段長度之和為，即又為正整數(shù)，例4（1），，，，（3）設(shè)，則，又，，解得，即，例5（1）如圖，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成3個或4個區(qū)域；如圖，三條直線因其位置不同，可以分輥把平面分成4個，6個，7個區(qū)域（2）如圖，四條直線最多可以把平面分成11個區(qū)域，此時這四條直線位置關(guān)系是兩兩都相交，且無三線共點。（3）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點，把平面分成個區(qū)域，平面本身就是一個區(qū)域，當時，；當時，；當時，；當時，，……由此可以歸納公式為……4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE－BD）+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6.4．1 28 5．D 6．A 7．D 8．C9．（1）6條，長度和為20.（2）36條，長度和為88.10．（1）當點C在點A左側(cè)時，MN=NC－MC=cm.（2）當點C在點A、B兩點之間時，MN=NC+MC=cm.（3）當點C在點B右側(cè)時，MN=MC－NC=cm.綜上所述：MN=30cm.11．（1）A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為－10，2.（2）①AP=6t，CQ=3t，M為AP中點，CN=，則．∴點M對應(yīng)的數(shù)為－10+3t，點N對應(yīng)的數(shù)為6+t.②∵OM=|－10+3t|，BN=BC+CN=4+t，又∵OM=2BN，∴|－10+3t|=8+2t.則－10+3t=8+2t或－10+3t=－8－2t.解之得t=18秒或秒.B級1． 2． 3．24 4．2a－b 5．A 提示：6．B 7．D 8．B9．因BP0=4a，根據(jù)題意：CP0=10a－4a=6a，CP1=CP0=6a；AP1=9a－6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a－3a=5a，BP3=BP2=5a；CP3=10a－5a=5a，CP4=CP3=5a；AP4=9a－5a=4a，AP5=AP4=4a；BP5=8a－4a=4a，BP6=BP5=4a.由此可見，P6點與P0點重合，又因為2001=6×333+3，所以P2001點與P3點重合，P0與P2001之間的距離就是P0與P3之間的距離，積6a－5a=a.10．提示：如圖，設(shè)甲、丙在C點相遇，同時乙整好走到D點，丙騎車的路程為整個BC，而甲騎車的路程不是整個BC（因為甲在途中遇到乙后即改為步行），所以丙騎車的路程比甲長，丙比甲先到目的地.因為甲乙步行速度相等，所以AC=BD.設(shè)甲、乙在C、D之間的E點相遇，則甲騎車的路程只有CE這一段，而乙騎車的路程是AE=EC+CA，所以乙騎車路程比甲長，乙比甲先到目的地.最后，比較一下乙、丙騎車的路程：因為AC=BD，所以丙騎車的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA，從而丙比乙先到達目的地.因此，丙最先到達目的地，甲最后到達目的地.11．（1）0或2. （2）當x=－4或6時，PA+PB=10.（3）設(shè)t分鐘后，P為AB的中點，A、B、P運動t分鐘后對應(yīng)的數(shù)分別為－2－t，4－2t，－t，由．得t=2.12．由題設(shè)可知，P2是線段P1P3的中點，故P1P2=P2P3=1；P3是線段P2P4的3等分點當中最靠近P4的那個分點，故P3P4=P2P3=；一般地，Pk是線段PK－1Pk+1的k等分點當中最靠近Pk+1的那個分點，故PkPk+1=Pk－1Pk+1=Pk－1Pk+PkPk+1.于是有PkPk+1=Pk－1Pk.當k=4，5，6，…，1989時，P4P5==，P5P6=，P6P7=，…，P1989P1990=，所以專題23與角相關(guān)的問題閱讀與思考角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角.角既可以看成有公共端點的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角.由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注.兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補角，余角和補角的概念及其應(yīng)用在幾何計算和證明中都有十分重要的地位.解與角有關(guān)的問題常用到以下知識與方法：1.角的分類；2.角平分線的概念；3.互余、互補等數(shù)量關(guān)系角；4.用方程的觀點來進行角的計算.例題與求解【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標出了∠1和∠2，則.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對圖形進行恰當?shù)奶幚恚ㄟ^拼補求出的值.【例2】如果與互補，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④.其中正確的有（）A.4個B.3個C.2個D.1個（2013年浙江省衢江市數(shù)學(xué)競賽試題）解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān).【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線.OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC.求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）（湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題）解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵.【例4】鐘表在12點鐘時三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針所夾的銳角平分，求x的值.（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針所夾的銳角平分所得的兩個角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值.【例5】（1）現(xiàn)有一個19°的“模板”（如圖），請你設(shè)計一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來.（2）現(xiàn)有一個17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？（3）用一個21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？對（2）（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個19°（或17°或21°）的整數(shù)倍的角，其實，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19°（或17°或21°）的一個倍數(shù)與某個特殊角的某個倍數(shù)相差1°.【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC.（1）如圖①，若，求∠DOE的度數(shù)；（2）在圖①中，若，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（3）將圖①中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置.①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由圖①圖②（湖北省武漢市模擬試題）解題思路：（1）利用互余、互補關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)；（2）先根據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根據(jù)互補角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)；（3）①可設(shè)∠BOC為一個未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②結(jié)合①把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.能力訓(xùn)練A級1.已知一個角的補角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于.（“祖沖之杯”邀請賽試題）2.如圖，，，那么不大于90°的角有個，它們的度數(shù)之和是.（“希望杯”邀請賽試題）3.如圖，，若，則等于.4.如圖，O是直線AB上一點，，，OE平分∠BOD，則圖中彼此互補的角有對.（北京市“迎春杯”競賽試題）5.一個角的補角的是6°，則這個角是（）A.68°B.78°C.88°D.98°（“希望杯”邀請賽試題）6.用一副三角板可以畫出大于0°且小于176°的不同角度有（）種A.9B.10C.11D.127.如圖，若，∠1是銳角，則∠1的余角是（）A.B.C.D.（甘肅省蘭州市競賽試題）8.如圖，，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設(shè)，則與α的余角相等的角是（）A.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9.如圖，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度數(shù).（北京市“迎春杯”競賽試題）10.如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，，.求∠EOC的度數(shù).11.已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD.求∠AOE的大小.12.如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線.（1）圖中共有多少個角？（2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400°，求∠AOE的度數(shù).（3）若，，求圖中所有銳角的和.B級1.已知一個角的補角比這個角余角的3倍大10°，則這個角的度數(shù)是.（浙江省杭州市競賽試題）2.α，β，γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算的值時，有三位同學(xué)分別算出了23°，24°，25°這三個不同的結(jié)果.其中只有一個是正確的答案，則.（江蘇省競賽試題）3.如圖，點O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個圖形中，不大于平角的角共有個.（五城市聯(lián)賽試題）4.如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，則.（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題）5.4點鐘后，從時針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）A.60B.30C.40D.33（“五羊杯”競賽試題）6.如圖是一個3×3的正方形，則圖中的和等于（）A.270°B.315°C.360°D.405°（廣西省競賽試題）7.已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（）A.B.C.D.以上情況都有可能8.如圖，∠AOC是直角，，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE等于（）A.111.5°B.138°C.134.5°D.178°（五城市聯(lián)賽試題）9.如圖，在直線AB上取一點O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE.求證：.10.如圖，∠A1OA11是一個平角，.求的度數(shù).（山東省競賽試題）11.在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）.若現(xiàn)在時間恰好是12點整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達到最大？（“CASIO杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）專題23與角相關(guān)的問題例1 45°提示：如圖，通過拼補得∠1+∠2=45°.例2．B 提示：①（90°－∠）+∠=90°符合；②（∠－90°）+∠=∠+∠－90°=180°－90°=90°符合；③④符合.故①②④能表示的余角.13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON=（1）如圖①，若OC在∠AOB內(nèi)，設(shè)∠BOC=x，則圖圖圖例6（1），，且與互為相反數(shù)。且。，，即，（2）有兩種情況，如圖當在上時，；當在的延長線上時，，綜上可知，作圖如圖，結(jié)論正確，設(shè)，則，，當然對于我們也不難找出其值不為定值的原因。，變化，其值也變化A級1或提示：當，在點兩側(cè)時，；當，在同一側(cè)時，220341.6提示：所有線段長度總和為∠AOC＝80°－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°．（2）如圖②，若OC在A′OB內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝80°＋x．∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40°．（3）如圖③，若OC在∠A′OB′內(nèi)，設(shè)∠BOC ＝x，則∠AOC＝280°－x．∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140°．（4）如圖④，若OC在∠AOB′內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝x－80°．∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40°．綜上所述：∠MON＝40°或140°．例4x＝提示：顯然x的值大于1小于2，依題意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0.5x．例5提示：設(shè)“模板”角度為α，假設(shè)可由k個α角與t個180°角畫出1°的角來，即k，t滿足等式kα－180t＝1．（1）當α＝19°時，取k＝19，t＝2，即用模板連續(xù)畫出19個19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即得1°的角．（2）當α＝17°時，即17k一180t＝1，此時，k＝53，t＝5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個17°的角，得到901°的角，除去兩個周角和一個平角，即得1°的角．（3）當α＝21°時，即21k—180t＝1無整數(shù)解，不能用21°的模板與鉛筆畫出1°的角．例6(1)∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°．又∵QE平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75°，∠DOE＝90°－75°＝15°．（2）∠DOE＝90°－＝α．（3）①∠AOC＝180°－2∠COE＝180°—2(90°—∠DOE)＝2∠DOE；②設(shè)∠DOE＝x，∠AOF＝y(tǒng)．則∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2(90°—∠DOE)＋∠AOF＝2(90°一x)＋y＝180°一2x＋y．故2x—4y＝180°—2x＋y，即4x—5y＝180°．所以4∠DOE－5∠AOF＝180°．A級1．72°2．10450°提示：一共有10個角，其中∠AOE＝90°，∠BOD＝45°，∠AOB十∠BOE＝90°，∠AOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠COD＝45°．故這10個角的度數(shù)和為90°×4＋45°×2＝360°＋90＝450°．3．304．6提示：∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠DOE，∠AOE和∠COD，∠AOD和∠COE．5．B6．A7．C8．B9．114°提示：設(shè)∠AOC＝x°，是∠BOC＝2x°，∠AOD＝(x)°，∠COD＝(x)°，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114°10．設(shè)∠AOD＝∠BOD＝x，則∠BOC＝180°—2x．又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－2x)．又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72°，∴x＋(180°－2x)＝72°，解得x＝36°．則∠EOC＝∠BOC＝(180°—2x)＝72°．11．（1）如圖①，若OD在∠A′OB內(nèi)時，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30°，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70°．（2）如圖②，若OD在∠AOB′內(nèi)時，同理，∠AOC＝40°，∠OOE＝30°，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°．綜上所述：∠AOE＝70°或10°．12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10個角．（2）∠AOE＝80°．（3）所有銳角度數(shù)和為：416°．B級1．50°2．345°3．154．64°提示：設(shè)∠EOF＝∠COF＝x，則∠AOE＝2x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24°，x＝80°，∴∠AOB＝8x＝64°．5．D6．D沿AB對折，上下圖形能夠完全重合，則∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90°．7．B8．D9．提示：∠COE＋∠BOE＝90°，∠DOF＝45°，∠AOF＋∠BOD＝135°．10．由題中條件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2°①，∠A4OA3—∠A3OA2＝2°②，∠A5OA4—∠A4OA3＝2°③，…，∠A11OA10－∠A10OA9＝2°⑨，以上9個等式相加得∠A11OA10—∠A2OA1＝9×2°＝18°．.即∠A11OA10＝∠A2OA1＋18°．由題設(shè)知，∠A1OA11＝∠A2OA1＋∠A3OA2＋∠A4OA3＋…＋∠A11OA10＝(∠A2OA1＋∠A11OA10)×10＝180°．∴∠A2OA1＋∠A11OA10＝36°，∴∠A11OA10＝27°．11．經(jīng)過x秒時，OA與OB第一次垂直．由(6－0.1)x＝90得x＝15．專題24相交線與平行線閱讀與思考在同一平面內(nèi)，兩條不同直線有兩種位置關(guān)系：相交或平行.當兩條直線相交或兩條直線分別與第三條直線相交，就產(chǎn)生對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等位置關(guān)系角，善于從相交線中識別出以上不同名稱的角是解相關(guān)問題的基礎(chǔ)，把握對頂角有公共頂點，而同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角沒有公共頂點且有一條邊在截線上，這是識圖的關(guān)鍵．兩直線平行的判定方法和重要性質(zhì)是我們研究平行線問題的主要依據(jù)．1．平行線的判定(1)同位角相等、內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；(2)平行于同一直線的兩條直線平行；(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行．2．平行線的性質(zhì)(1)過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行；(2)兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補；(3)如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直.熟悉以下基本圖形：例題與求解【例1】(1)如圖①，AB∥DE，∠ABC＝，∠CDE＝，則∠BCD＝__________.（安徽省中考試題）(2)如圖②，已知直線AB∥CD，∠C＝，∠A＝，則∠E＝___________.（浙江省杭州市中考試題）DECDECAB圖1解題思路：作平行線，運用內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征進行求解.【例2】如圖，平行直線AB，CD與相交直線EF，GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有()．A．4對B．8對C．12對D．16對（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：每一個“三線八角”基本圖形都有兩對同旁內(nèi)角，從對原圖進行分解入手．例2題圖例3題圖【例3】如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分線，求證：∠EDF＝∠BDF.（天津市競賽試題）解題思路：綜合運用垂直定義、角平分線、平行線的判定與性質(zhì)，由于圖形復(fù)雜，因此，證明前注意分解圖形．【例4】如圖，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠FCF＝∠ECD.求證：∠AFC＝∠AEC.（湖北省武漢市競賽試題）解題思路：分別過點E，F(xiàn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)找角之間的關(guān)系.FAFABC1DE2例4題圖例5題圖【例5】如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F.解題思路：從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的位置關(guān)系，是解這類問題的基本思路.【例6】(1)已知平面內(nèi)有4條直線a，b，c和d，直線a，b和c相交于一點，直線b，c和d也相交于一點，試確定這4條直線共有多少個交點？并說明你的理由．(2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行.說明：以這5條直線的交點為端點的線段有多少條？（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：(1)先設(shè)直線a，b，c的交點為P，直線b，c，d的交點為Q，證得P與Q實為同一點，得出結(jié)論．(2)繪出圖形，幫助解答，注意平行線的性質(zhì).能力訓(xùn)練A級1．在同一平面內(nèi)有，，…，十條直線，如果//，⊥，//，⊥，//，⊥，…，那么與的位置關(guān)系是____________.2．如圖，已知AE∥BD，∠1＝，∠2＝，則∠C＝__________．（湖南省常德市中考試題）3．如圖，直線a，b都與直線c相交，下列命題中，能判斷a∥b的條件是_____________（把你認為正確的序號填在橫線上）①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝．（陜西省中考試題）4.將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙片的一邊上，則∠1＋∠2__________.（山東省煙臺市中考試題）5．下面四個命題中正確的是()．A．相等的兩個角是對頂角B．和等于的兩個角互為鄰補角C．連結(jié)兩點的最短線是過這兩點的直線D．兩條直線相交所成的四個角都相等，則這兩條直線互相垂直（“希望杯”邀請賽試題）6．下列命題①兩條相交直線組成的四個角相等，則這兩直線垂直．②兩條相交直線組成的四個角中，若有一個直角，則四角都相等．③兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩直線垂直．④兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩直線垂直．其中正確的有()．A．4個B．3個C．2個D．1個7．如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么圖中與∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的個數(shù)是()．A.2B．4C．5D．6（山東省菏澤地區(qū)中考試題）8．如圖，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，點C在AE上，點F在DG上，設(shè)與∠ɑ相等的角的個數(shù)為m（不包括∠a本身），與∠互補的角的個數(shù)為n．若a≠，則m＋n的值是()．A.8B.9C.10D.119．如圖，已知AB∥ED，∠NCB＝，CM平分∠BCE，CN⊥CM，求∠B的度數(shù)．10.如圖，已知E是AB，CD外一點，∠D＝∠B＋∠E，求證：AB∥CD.11.平面上有10條直線，無任何3條交于一點，要使它們出現(xiàn)31個交點，怎樣安排才能辦到？（吉林省競賽試題）12.如圖，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求證：AB//GF.（重慶市競賽試題）B級1.如圖，∠A＝，∠1＝∠2，則∠ADC的度數(shù)是___________.2．如圖，直線a∥b，那么的度數(shù)是____________.（五城市聯(lián)賽試題）3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C'的位置，若∠EFB＝，則∠AED'＝__________.（山東省中考試題）4．如圖，已知DE∥BC，∠2＝，∠1＝，那∠EBA的度數(shù)是_____________.第4題圖第5題圖5.如圖，直線∥，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d＞0．其中∠3＜，∠1＝，則∠4最大可能的整數(shù)值是()．A.1070B．1080C．1090D．11006.如圖，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，則∠BAC＋∠ACE＋∠CEH等于()．A．1800B．2700C．3600D．4500(北京市競賽試題）7．如圖，兩直線AB，CD平行，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝()．A．6300B.7200C．8000D.9000（“希望杯”邀請賽試題）第6題圖第7題圖8．兩條直線a，b互相平行，直線a上順次有10個點A1，A2…，A10，直線b上順次有9個點B1，B2，…，B3，將a上每一個點與b上每一個點相連可得線段．若沒有三條線段相交于同一點，則這些線段的交點個數(shù)是()A.90B.1620C.6480D.20069．如圖，已知兩條平行線AB，CD被直線EF所截，交點分別為G，H，P為HD上任意一點，過P點的直線交HF于O點，求證：∠HOP＝∠AGF－∠HPO.10．如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，點M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD.求FC的長．(2013年“《數(shù)學(xué)周報》”杯競賽試題)11．平面上有七條兩兩不平行的直線，試證：其中必有直線的交角小于260．（莫斯科八年級競賽試題）12．⑴如圖①，MA1∥NA2，則∠A1＋∠A2＝_________.如圖②，MA1∥NA3，則∠A1＋∠A2＋∠A3＝_________.如圖③，MA1∥NA4，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_________.如圖④，MA1∥NA5，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A