北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修2第1章5數(shù)學(xué)歸納法

北師大版高中選擇性必修第二冊第一章第五節(jié)數(shù)學(xué)歸納法1目

錄2一問題導(dǎo)入——試一試二類比遷移——想一想三學(xué)習(xí)新知——做一做四強化新知——辨一辨五課堂小結(jié)——理一理試

一

試問題1：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能猜想此數(shù)列的通項公式嗎？問題2：你能證明這一猜想嗎？驗證：能否通過有限個步驟的推理,證明n取所有正整數(shù)都成立？

逐一驗證，不可能?。?！4想

一

想6早在春秋戰(zhàn)國時期，軍事指揮官們就發(fā)明了設(shè)置烽火臺用以報警的方法，假定在西邊第一個烽火臺發(fā)現(xiàn)了了敵情，要使由西到東每一處都知道就需要發(fā)布兩道命令：1.第一個烽火臺必須首先點火2.看到第一個點后，第二個必須立即點火，當(dāng)看到第二個烽火臺點著，第三個必須立即火，……不論哪一個點了火，它后面的那個就要立即點火。7如果把烽火臺編號為1，2，3……，類比烽火臺傳遞軍情的過程，你能用數(shù)學(xué)語言表述下面兩個命令嗎？1.第一個烽火臺必須首先點火；2.不論哪一個點了火，它后面的那個就要立即點火。當(dāng)n=1時，（點著）猜想成立

8

猜想數(shù)列通項公式為：

均成立9當(dāng)n=k+1時，等式也成立。遞推基礎(chǔ)不能少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。

歸納奠基歸納遞推數(shù)學(xué)歸納法：兩個步驟一個結(jié)論缺一不可10做

一

做

12遞推基礎(chǔ)不能少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。辨

一

辨結(jié)論1：第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第一步就失去了保證，不要誤認為第一步是一個簡單的驗證，可有可無.

證明：假設(shè)n=

k

時等式成立，即當(dāng)n=k+1

時

上述證法是正確的嗎？為什么？

上述證明是錯誤的，事實上命題本身就是錯誤的，當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=0，左邊與右邊不等。14

結(jié)論2：在第二步中,證明n=k+1命題成立時,必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴密關(guān)系,造成推理無效.

15

猜想：用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一個取值為5.結(jié)論3：在第一步中的初始值不一定從1取起,證明應(yīng)根據(jù)具體情況而定.

恒成立？16

理

一

理數(shù)學(xué)歸納法常與不完全歸納法結(jié)合起來使用：用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．壹貳用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟是：(1)證明當(dāng)n取第一個值n0時結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*,k≥n0)時結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．這兩個步驟缺一不可．證明的第一步是為了獲得遞推的基礎(chǔ)，但這一步還不能說明遞推的普遍性；證明的第二步，是為了獲得遞推的依據(jù)．在第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條