關(guān)于二次根式運(yùn)算的教學(xué)體會(huì)

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二次根式運(yùn)算學(xué)生之所以感覺(jué)難學(xué)，知識(shí)點(diǎn)較多是一個(gè)原因，但更重要的是學(xué)生對(duì)概念理解含糊，知識(shí)運(yùn)用不夠靈活，特別是對(duì)二次根式中被開(kāi)方數(shù)所含字母的取值范圍思路不明確。如：1.a≥0是為二次根式的前提條件，，，，（x≥1）是二次根式，但，都不是二次根式。2.判斷一個(gè)式子是否為二次根式，不要將式子“化簡(jiǎn)”，如是二次根式，不能因?yàn)?2而錯(cuò)誤地判斷是整式。3.二次根式有兩個(gè)要素：①含有二次根號(hào)“”；②被開(kāi)方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式，它們必須是非負(fù)的，否則沒(méi)有意義。4.式的劃分與數(shù)的劃分依據(jù)不同。式的劃分是對(duì)形式的劃分，即劃分前不需要對(duì)其“化簡(jiǎn)”，例如雖然等于6，但它是二次根式。同理是分式而不是整式。數(shù)的劃分是結(jié)果的劃分，即劃分前需要對(duì)它“化簡(jiǎn)”，例如是整數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)。5.必須明確，當(dāng)a≥0時(shí)，有意義，是二次根式；當(dāng)a＜0時(shí)，沒(méi)有意義，不是二次根式，所以確定被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍時(shí)，可根據(jù)形如的式子有意義或無(wú)意義的條件，列出不等式，然后解不等式。6.當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是分式時(shí)，分母不能為零。分式的分母中不能含有根號(hào)。

二

對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想，必須從以下幾個(gè)方面理解、掌握、運(yùn)用。

1.二次根式的特性

當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時(shí)，表示0的算術(shù)平方根，因此=0，這就是說(shuō)，（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)。

2.（）的運(yùn)算

（）=a（a≥0）

在理解這一運(yùn)算過(guò)程時(shí)應(yīng)注意：（1）（）=a中的a必須大于或等于0.如果a＜0，則上述等式不成立。例如：（）≠-2，因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義，因此也就不可能等于-2.（2）（）=a（a≥0）的理解要從平方根的定義出發(fā)，表示的是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方等于a.

3.a的算術(shù)平方根

一般的，根據(jù)算術(shù)平方根的意義：

=a（a≥0）

事實(shí)上=|a|，當(dāng)a≥0時(shí)，=a；當(dāng)a＜0時(shí)，|a|=-a.注意當(dāng)a=0時(shí)，=0.這就是a的算術(shù)平方根的性質(zhì)公式，它是化簡(jiǎn)形如的二次根式的依據(jù)。=|a|后，要對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行分類(lèi)討論。

4.（）=a（a≥0）與=a（a≥0）的區(qū)別

（1）兩個(gè)公式的意義不同

①公式（）=a（a≥0）,根據(jù)平方根的意義，公式中的a表示的是一個(gè)數(shù)或者代數(shù)式，取值必須為非負(fù)數(shù)；在運(yùn)算時(shí)，先計(jì)算a的算術(shù)平方根，再求這個(gè)算術(shù)平方根的平方，其結(jié)果為原值（或原式）。

②公式=|a|=a,（a≥0）-a,（a＜0），根據(jù)算術(shù)平方根的意義，公式中a表示的是一個(gè)數(shù)或者代數(shù)式，取值為一切實(shí)數(shù)；在運(yùn)算時(shí)可以先將轉(zhuǎn)化為|a|，即=|a|，然后再分a≥0和a＜0兩種情況進(jìn)行討論。

不過(guò)，（）和其本身都是非負(fù)數(shù)，并且當(dāng)a≥0時(shí)，（）==a，這是它們的聯(lián)系。

（2）兩個(gè)公式的作用不同

①公式（）=a的作用有兩個(gè)：第一，正用可化簡(jiǎn)二次根式；第二，逆用可以將一個(gè)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方形式。如3=（），a=（）（a≥0），等等。

②公式=a的作用是：正用可將根號(hào)內(nèi)的因式開(kāi)方后移到根號(hào)外；逆用可將根號(hào)外的因式平方后移到根號(hào)內(nèi)。

例1：化簡(jiǎn)：當(dāng)a＜0時(shí)，-.

解：首先4-（a+）=-（a-），

因?yàn)椋╝-）≥0

所以-（a-）≤0

即4-（a+）≤０

又因?yàn)槭阶?-（a+）處于根號(hào)下，所以只當(dāng)此式取零時(shí)，原式才有意義，即（a+）=4，解得a=±1，由于題目中給出a＜0，則得到a=-1.

所以，原式=-

=0-2=-2

例2：計(jì)算+.

分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。

解法1：將+=x兩邊平方得

2++2-+2=x

即x=6

因?yàn)椋?，＞0

所以x=

解法2：原式=+

進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，先乘方開(kāi)方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)再運(yùn)算）。實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律（分配律、結(jié)合律、交換律等），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等），在二次根式的運(yùn)算中常常用到。

1.運(yùn)用乘法公式解題，有：①（a+b）（a-b）=a-b;②（a+b）=a+2ab+b;③（a-b）=a-2ab+b，例如：

化簡(jiǎn)：

解：原式=

盡管只運(yùn)用了兩數(shù)和的平方公式，但學(xué)生做此題時(shí)還是感到很困難，主要原因是不能靈活運(yùn)用公式，如對(duì)“3+2”看不出是（+1）；對(duì)“17+2”看不出是（+）；對(duì)“9+2”看不出是（+1）缺乏依據(jù)公式分解數(shù)字的能力。

2.運(yùn)用單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法原理

①運(yùn)用a（b+c）=ab+ac解題。在計(jì)算時(shí)要注意“多項(xiàng)式”是“單項(xiàng)式”的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，要注意確定積中各項(xiàng)的符號(hào)。

②運(yùn)用（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd解題。在計(jì)算時(shí)要防止兩個(gè)“多項(xiàng)式”相乘，直接寫(xiě)出結(jié)果時(shí)“漏項(xiàng)”。

檢查的辦法：兩個(gè)“多項(xiàng)式”相乘，在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是這兩個(gè)“多項(xiàng)式”項(xiàng)數(shù)的積。例如：

計(jì)算：（2+3-）（2-3-）.

解：原式=［（2-）+3］［（2-）-3］

=（2-）-（3）

=12-2×2×+6-18

=-12

四

關(guān)于二次根式的除法：

1.二次根式的除法如下

一般的，對(duì)二次根式的除法規(guī)定

=（a≥0，b＞0）

這就是二次根式除法的運(yùn)算法則，即兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變。

在運(yùn)用和理解這一公式時(shí)要注意：

（1）二次根式除法運(yùn)算的結(jié)果也要進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（2）二次根式的除法運(yùn)算法則的使用范圍是比較狹窄的，它只限于被除式的被開(kāi)方數(shù)能被除式的被開(kāi)方數(shù)整除的情況。

（3）在運(yùn)用公式時(shí)要注意條件a≥0，b＞0.

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)

=（a≥0，b＞0）

用語(yǔ)言表達(dá)是：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。

商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的限制條件“（a≥0，b＞0）”，與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)類(lèi)似，但也有區(qū)別，因?yàn)榉帜覆荒転榱悖员怀絘必須非負(fù)，除式b必須為正，否則性質(zhì)不成立。

3.最簡(jiǎn)二次根式

一般的，二次根式滿(mǎn)足以下兩個(gè)特點(diǎn)，我們就把它稱(chēng)為最簡(jiǎn)二次根式：

（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。

在理解時(shí)注意第（2）條，事實(shí)上被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

如果被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式，就應(yīng)先因式分解，再進(jìn)行判定。

4.二次根式的除法技巧

（1）對(duì)于“簡(jiǎn)單”的二次根式除法，可直接套用公式=（a≥0，b＞0）.

（2）對(duì)于除式中含有“分母”的二次根式除法，可轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，注意運(yùn)算結(jié)果，一定要化為最簡(jiǎn)形式。

（3）對(duì)于多個(gè)二次根式相除的情況，應(yīng)按照題中的指定的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)的先計(jì)算括號(hào)里面的，沒(méi)有括號(hào)的，從左往右依次計(jì)算，結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式，數(shù)字應(yīng)放在字母前面。

5.化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法

（1）如果被開(kāi)放數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫(xiě)成分式的形式，然后利用“分母有理化”進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（2）如果被開(kāi)放數(shù)是整數(shù)或整式，先將它分解因數(shù)或因式，然后把能開(kāi)得盡的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。

結(jié)果要符合最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn)。

總之，在二次根式運(yùn)算中，我認(rèn)為：一要全面理解二次根式