2024屆山東省聊城市東方中學中考數學模試卷含解析

2024屆山東省聊城市東方中學中考數學模試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列二次根式中，的同類二次根式是（）A． B． C． D．2．下列各數中是無理數的是（）A．cos60° B． C．半徑為1cm的圓周長 D．3．對于非零的兩個實數、，規(guī)定，若，則的值為（）A． B． C． D．4．若方程x2﹣3x﹣4=0的兩根分別為x1和x2，則+的值是（）A．1 B．2 C．﹣ D．﹣5．在下列交通標志中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．6．如圖，為等邊三角形，要在外部取一點，使得和全等，下面是兩名同學做法：（）甲：①作的角平分線；②以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，點即為所求；乙：①過點作平行于的直線；②過點作平行于的直線，交于點，點即為所求．A．兩人都正確 B．兩人都錯誤 C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確7．如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，拋物線的頂點坐標是A（1，4），與x軸的一個交點是B（3，0），下列結論：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有兩個相等的實數根；④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正確結論的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．下列命題是真命題的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形D．平行四邊形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形9．在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構成中心對稱圖形．該小正方形的序號是（）A．① B．② C．③ D．④10．如圖圖形中是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，點G是△ABC的重心，CG的延長線交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，將△ADG繞點D旋轉180°得到△BDE，△ABC的面積=_____cm1．12．如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬米，壩高是20米，背水坡的坡角為30°，迎水坡的坡度為1∶2，那么壩底的長度等于________米（結果保留根號）13．Rt△ABC的邊AB=5，AC=4，BC=3，矩形DEFG的四個頂點都在Rt△ABC的邊上，當矩形DEFG的面積最大時，其對角線的長為_______．14．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．15．2011年，我國汽車銷量超過了18500000輛，這個數據用科學記數法表示為▲輛．16．因式分解：3x3﹣12x=_____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E在AC上（且不與點A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．（1）求證：△AEF是等腰直角三角形；（2）如圖2，將△CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，連接AE，求證：AF=AE；（3）如圖3，將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉，當平行四邊形ABFD為菱形，且△CED在△ABC的下方時，若AB=2，CE=2，求線段AE的長．18．（8分）許昌芙蓉湖位于許昌市水系建設總體規(guī)劃中部，上游接納清泥河來水，下游為鹿鳴湖等水系供水，承擔著承上啟下的重要作用，是利用有限的水資源、形成良好的水生態(tài)環(huán)境打造生態(tài)宜居城市的重要部分．某校課外興趣小組想測量位于芙蓉湖兩端的A，B兩點之間的距離他沿著與直線AB平行的道路EF行走，走到點C處，測得∠ACF=45°，再向前走300米到點D處，測得∠BDF=60°．若直線AB與EF之間的距離為200米，求A，B兩點之間的距離（結果保留一位小數）19．（8分）如圖，ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作⊙O的切線交CB的延長線于點E，交AC于點F．（1）求證：點F是AC的中點；（2）若∠A=30°，AF=，求圖中陰影部分的面積．20．（8分）如圖，可以自由轉動的轉盤被它的兩條直徑分成了四個分別標有數字的扇形區(qū)域，其中標有數字“1”的扇形圓心角為120°．轉動轉盤，待轉盤自動停止后，指針指向一個扇形的內部，則該扇形內的數字即為轉出的數字，此時，稱為轉動轉盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉動的次數，重新轉動轉盤，直到指針指向一個扇形的內部為止）轉動轉盤一次，求轉出的數字是－2的概率；轉動轉盤兩次，用樹狀圖或列表法求這兩次分別轉出的數字之積為正數的概率．21．（8分）如圖，B、E、C、F在同一直線上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求證：AC＝DF．22．（10分）某商場將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售，一天可售出100件．后來經過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件．(1)若商場經營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價多少元？(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元．求出y與x之間的函數關系式，并求當x取何值時，商場獲利潤最大？23．（12分）(1)計算：(2)先化簡，再求值：，其中x是不等式的負整數解.24．某公司今年1月份的生產成本是400萬元，由于改進技術，生產成本逐月下降，3月份的生產成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每個月生產成本的下降率都相同．求每個月生產成本的下降率；請你預測4月份該公司的生產成本．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解析】

先將每個選項的二次根式化簡后再判斷.【詳解】解：A：，與不是同類二次根式；B：被開方數是2x，故與不是同類二次根式；C：=，與是同類二次根式；D：=2，與不是同類二次根式.故選C.【點睛】本題考查了同類二次根式的概念.2、C【解析】分析：根據“無理數”的定義進行判斷即可.詳解：A選項中，因為，所以A選項中的數是有理數，不能選A；B選項中，因為是無限循環(huán)小數，屬于有理數，所以不能選B；C選項中，因為半徑為1cm的圓的周長是cm，是個無理數，所以可以選C；D選項中，因為，2是有理數，所以不能選D.故選.C.點睛：正確理解無理數的定義：“無限不循環(huán)小數叫做無理數”是解答本題的關鍵.3、D【解析】試題分析：因為規(guī)定，所以，所以x=，經檢驗x=是分式方程的解，故選D.考點：1.新運算；2.分式方程.4、C【解析】試題分析：找出一元二次方程的系數a，b及c的值，利用根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，然后利用異分母分式的變形，將求出的兩根之和x1+x2=3與兩根之積x1?x2=﹣4代入，即可求出=．故選C．考點：根與系數的關系5、C【解析】

解：A圖形不是中心對稱圖形；B不是中心對稱圖形；C是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形；D是軸對稱圖形；不是中心對稱圖形故選C6、A【解析】

根據題意先畫出相應的圖形，然后進行推理論證即可得出結論．【詳解】甲的作法如圖一：∵為等邊三角形，AD是的角平分線∴由甲的作法可知，在和中，故甲的作法正確；乙的作法如圖二：在和中，故乙的作法正確；故選：A．【點睛】本題主要借助尺規(guī)作圖考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．7、B【解析】

通過圖象得到、、符號和拋物線對稱軸，將方程轉化為函數圖象交點問題，利用拋物線頂點證明.【詳解】由圖象可知，拋物線開口向下，則，，拋物線的頂點坐標是，拋物線對稱軸為直線，，，則①錯誤，②正確；方程的解，可以看做直線與拋物線的交點的橫坐標，由圖象可知，直線經過拋物線頂點，則直線與拋物線有且只有一個交點，則方程有兩個相等的實數根，③正確；由拋物線對稱性，拋物線與軸的另一個交點是，則④錯誤；不等式可以化為，拋物線頂點為，當時，，故⑤正確.故選：.【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的各項系數與圖象位置的關系、拋物線對稱性和最值，以及用函數的觀點解決方程或不等式.8、C【解析】

根據平行四邊形的五種判定定理（平行四邊形的判定方法：①兩組對邊分別平行的四邊形；②兩組對角分別相等的四邊形；③兩組對邊分別相等的四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形）和平行四邊形的性質進行判斷．【詳解】A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不是平行四邊形；故本選項錯誤；B、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．故本選項錯誤；C、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．故本選項正確；D、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項錯誤；故選：C．【點睛】考查了平行四邊形的判定與性質．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．9、B【解析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合。因此，通過觀察發(fā)現(xiàn)，當涂黑②時，所形成的圖形關于點A中心對稱。故選B。10、B【解析】

把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.【詳解】解：根據中心對稱圖形的定義可知只有B選項是中心對稱圖形，故選擇B.【點睛】本題考察了中心對稱圖形的含義.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、18【解析】

三角形的重心是三條中線的交點，根據中線的性質，S△ACD=S△BCD；再利用勾股定理逆定理證明BG⊥CE，從而得出△BCD的高，可求△BCD的面積．【詳解】∵點G是△ABC的重心，∴∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴，即BG⊥CE，∵CD為△ABC的中線，∴∴故答案為：18.【點睛】考查三角形重心的性質，中線的性質，旋轉的性質，勾股定理逆定理等，綜合性比較強，對學生要求較高.12、【解析】

過梯形上底的兩個頂點向下底引垂線、，得到兩個直角三角形和一個矩形，分別解、求得線段、的長，然后與相加即可求得的長．【詳解】如圖，作，，垂足分別為點E，F(xiàn)，則四邊形是矩形．由題意得，米，米，，斜坡的坡度為1∶2，在中，∵，∴米．在Rt△DCF中，∵斜坡的坡度為1∶2，∴，∴米，∴（米）．∴壩底的長度等于米．故答案為．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．13、或【解析】

分兩種情形畫出圖形分別求解即可解決問題【詳解】情況1：如圖1中，四邊形DEFG是△ABC的內接矩形，設DE=CF=x，則BF=3-x∵EF∥AC，∴=∴=∴EF=(3-x)∴S矩形DEFG=x?(3-x)=﹣(x-)2+3∴x=時，矩形的面積最大，最大值為3，此時對角線=．情況2：如圖2中，四邊形DEFG是△ABC的內接矩形，設DE=GF=x，作CH⊥AB于H，交DG于T．則CH=，CT=﹣x，∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB，∴∴∴DG=5﹣x，∴S矩形DEFG=x（5﹣x）=﹣（x﹣）2+3，∴x=時，矩形的面積最大為3，此時對角線==∴矩形面積的最大值為3，此時對角線的長為或故答案為或【點睛】本題考查相似三角形的應用、矩形的性質、二次函數的最值等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題14、【解析】

先利用等腰直角三角形的性質求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論．【詳解】如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根據勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案為-1．【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵．15、2.85×2．【解析】

根據科學記數法的定義，科學記數法的表示形式為a×20n，其中2≤|a|＜20，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．在確定n的值時，看該數是大于或等于2還是小于2．當該數大于或等于2時，n為它的整數位數減2；當該數小于2時，－n為它第一個有效數字前0的個數（含小數點前的2個0）．【詳解】解：28500000一共8位，從而28500000=2.85×2．16、3x（x+2）（x﹣2）【解析】

先提公因式3x，然后利用平方差公式進行分解即可．【詳解】3x3﹣12x=3x（x2﹣4）=3x（x+2）（x﹣2），故答案為3x（x+2）（x﹣2）．【點睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4.【解析】試題分析：（1）依據AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可證明△AEF是等腰直角三角形；（2）連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可得出結論；（3）當AD=AC=AB時，四邊形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH=3，即可得到AE=AH+EH=4．試題解析：解：（1）如圖1．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接EF，DF交BC于K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．（3）如圖3，當AD=AC=AB時，四邊形ABFD是菱形，設AE交CD于H，依據AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH==3，∴AE=AH+EH=4．點睛：本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、菱形的性質以及勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找全等的條件是解題的難點．18、215.6米．【解析】

過A點做EF的垂線，交EF于M點，過B點做EF的垂線，交EF于N點，根據Rt△ACM和三角函數求出CM、DN，然后根據即可求出A、B兩點間的距離.【詳解】解：過A點做EF的垂線，交EF于M點，過B點做EF的垂線，交EF于N點在Rt△ACM中，∵，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以米，在Rt△BDN中，∠BDF=60°，BN=200米∴米，∴米即A，B兩點之間的距離約為215.6米．【點睛】本題主要考查三角函數，正確做輔助線是解題的關鍵.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接OD、CD，如圖，利用圓周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC為⊙O的切線，則根據切線長定理得到FD=FC，然后證明∠3=∠A得到FD=FA，從而有FC=FA；（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BC=AC=2，再證明△OBD為等邊三角形得到∠BOD=60°，接著根據切線的性質得到OD⊥EF，從而可計算出DE的長，然后根據扇形的面積公式，利用S陰影部分=S△ODE-S扇形BOD進行計算即可．【詳解】（1）證明：連接OD、CD，如圖，∵BC為直徑，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC為⊙O的切線，∵EF為⊙O的切線，∴FD=FC，∴∠1=∠2，∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠A，∴FD=FA，∴FC=FA，∴點F是AC中點；（2）解：在Rt△ACB中，AC=2AF=2，而∠A=30°，∴∠CBA=60°，BC=AC=2，∵OB=OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠BOD=60°，∵EF為切線，∴OD⊥EF，在Rt△ODE中，DE=OD=，∴S陰影部分=S△ODE﹣S扇形BOD=×1×﹣=﹣π．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．也考查了圓周角定理和扇形的面積公式．20、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據題意可求得2個“－2”所占的扇形圓心角的度數，再利用概率公式進行計算即可得；（2）由題意可得轉出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情況，再找出符合條件的可能性，根據概率公式進行計算即可得.【詳解】（1）由題意可知：“1”和“3”所占的扇形圓心角為120°，所以2個“－2”所占的扇形圓心角為360°－2×120°＝120°，∴轉動轉盤一次，求轉出的數字是－2的概率為＝；（2）由（1）可知，該轉盤轉出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均為，所有可能性如下表所示：第一次第二次1－231(1，1)(1，－2)(1，3)－2(－2，1)(－2，－2)(－2，3)3(3，1)(3，－2)(3，3)由上表可知：所有可能的結果共9種，其中數字之積為正數的的有5種，其概率為.【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．21、見解析【解析】

由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定，再利用全等三角形的性質證明即可．【詳解】∵BE＝CF，∴，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在與中，，∴，∴AC＝DF．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解決本題的關鍵.22、（1）商店經營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價2元或8元；（2）y=﹣10x2+100x+2000，當x=5時，商場獲取最大利潤為2250元．【解析】

（1）根據“總利潤=每件的利潤×每