桿件橫截面上的應(yīng)力

關(guān)于桿件橫截面上的應(yīng)力第一節(jié)基本概念第二節(jié)軸向拉壓桿的應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變胡克定律橫截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力第2頁,共45頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)力：桿件截面上的分布內(nèi)力集度平均應(yīng)力一點(diǎn)處的總應(yīng)力正應(yīng)力σ切應(yīng)力τ應(yīng)力特征：（1）必須明確截面及點(diǎn)的位置；（2）是矢量，1)正應(yīng)力：拉為正，

2)

切應(yīng)力順時(shí)針為正；（3）單位：Pa(帕)和MPa(兆帕)

1MPa=106Pa第3頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

桿原長為l，直徑為d。受一對(duì)軸向拉力F的作用，發(fā)生變形。變形后桿長為l1，直徑為d1。其中：拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)。軸向(縱向)應(yīng)變：

研究一點(diǎn)的線應(yīng)變：取單元體積為Δx×Δy×Δz該點(diǎn)沿x軸方向的線應(yīng)變?yōu)椋簒方向原長為Δx，變形后其長度改變量為Δδx應(yīng)變橫向應(yīng)變：

第4頁,共45頁，2024年2月25日，星期天胡克定律

實(shí)驗(yàn)表明，在比例極限內(nèi)，桿的軸向變形Δl與外力F及桿長l成正比，與橫截面積A成反比。即：引入比例常數(shù)E，有：----胡克定律其中：E----彈性模量，單位為Pa;

EA----桿的抗拉（壓）剛度。

胡克定律的另一形式：

實(shí)驗(yàn)表明，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比為一常數(shù)ν----稱為橫向變形系數(shù)（泊松比）

G------切變模量第5頁,共45頁，2024年2月25日，星期天FF1122假設(shè)：

①平面假設(shè)②橫截面上各點(diǎn)處僅存在正應(yīng)力并沿截面均勻分布。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

對(duì)于等直桿

當(dāng)有多段軸力時(shí)，最大軸力所對(duì)應(yīng)的截面-----危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力----最大工作應(yīng)力FF拉壓桿橫截面上的應(yīng)力FN:橫截面上的軸力A：橫截面的面積第6頁,共45頁，2024年2月25日，星期天橫截面----是指垂直桿軸線方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。FFF①全應(yīng)力：②正應(yīng)力：③切應(yīng)力：1）

α=00時(shí)，σmax＝σ2）α＝450時(shí)，τmax=σ/2

拉壓桿斜截面上的應(yīng)力第7頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

試計(jì)算圖示桿件1-1、2-2、和3-3截面上正

應(yīng)力.已知橫截面面積A=2×103mm220KN20KN40KN40KN332211例題20kN40kN第8頁,共45頁，2024年2月25日，星期天試求圖示結(jié)構(gòu)AB桿橫截面上的正應(yīng)力。已知F=30KN，A=400mm2FDBCAaaa例題FNAB第9頁,共45頁，2024年2月25日，星期天圖示直桿，其抗拉剛度為EA，試求桿件的軸向變形△L，B點(diǎn)的位移δB和C點(diǎn)的位移δCFBCALL例題F第10頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，分別稱為彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力。MFSFSMst第四節(jié)純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力第11頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

純彎曲：梁受力彎曲后，如其橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。

純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力第12頁,共45頁，2024年2月25日，星期天實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。平面假設(shè)：變形前桿件的橫截面變形后仍為平面。第13頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共45頁，2024年2月25日，星期天MZ:橫截面上的彎矩y:到中性軸的距離IZ:截面對(duì)中性軸的慣性矩第15頁,共45頁，2024年2月25日，星期天橫截面上正應(yīng)力的畫法：

MsminsmaxMsminsmax①線彈性范圍—正應(yīng)力小于比例極限sp；②精確適用于純彎曲梁；③對(duì)于橫力彎曲的細(xì)長梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。公式適用范圍：三種典型截面對(duì)中性軸的慣性矩第16頁,共45頁，2024年2月25日，星期天CL8TU6第17頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F(xiàn)＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力。（壓）

例題

第18頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

圖示T形截面簡支梁在中點(diǎn)承受集中力F＝32kN，梁的長度L＝2m。T形截面的形心坐標(biāo)yc＝96.4mm，橫截面對(duì)于z軸的慣性矩Iz＝1.02×108mm4。求彎矩最大截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。

例題

第19頁,共45頁，2024年2月25日，星期天如圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計(jì)算截面B--B的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。

解：1．確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系z’oy如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標(biāo)為:2．計(jì)算截面慣性矩2012020120單位：mmIII

例題

第20頁,共45頁，2024年2月25日，星期天3計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力截面B—B的彎矩為:

在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：第21頁,共45頁，2024年2月25日，星期天切應(yīng)力互等定理

在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。

切應(yīng)力互等定理：第22頁,共45頁，2024年2月25日，星期天一、矩形截面梁的切應(yīng)力假設(shè)：1、橫截面上的τ方向與FS平行2、τ沿截面寬度是均勻分布的zyFs

7-5梁橫截面上的切應(yīng)力第23頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共45頁，2024年2月25日，星期天bhz上式中符號(hào)意義：

：截面上距中性軸y處的剪應(yīng)力

：y以外面積對(duì)中性軸的靜矩

：整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩b：y處的寬度y對(duì)于矩形：c第25頁,共45頁，2024年2月25日，星期天而

因此矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力的大小沿著梁的高度按拋物線規(guī)律分布。在上下邊緣處：y

=

0，zbh

max第26頁,共45頁，2024年2月25日，星期天圖示矩形截面簡支梁受均布荷載作用，分別求最大剪力所在的截面上a,b,c三點(diǎn)處的切應(yīng)力。（1）作出剪力圖

（2）各點(diǎn)處的切應(yīng)力第27頁,共45頁，2024年2月25日，星期天矩形截面簡支梁，加載于梁中點(diǎn)C，如圖示。

求σmax,τmax

。第28頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二、工字形截面梁的切應(yīng)力

橫截面上的切應(yīng)力(95--97)％由腹板承擔(dān),而翼緣僅承擔(dān)了(3--5)％,且翼緣上的切應(yīng)力情況又比較復(fù)雜.為了滿足實(shí)際工程中計(jì)算和設(shè)計(jì)的需要僅分析腹板上的切應(yīng)力.hh0t第29頁,共45頁，2024年2月25日，星期天三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力zydDdA為圓環(huán)形截面面積第30頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

圖示外伸梁，荷載、T形截面對(duì)中性軸的慣性矩IZ

及形心位置已標(biāo)在圖上，試求梁的最大切應(yīng)力。

解（1）作剪力圖，可知危險(xiǎn)截面在BC梁段上，（2）梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在梁段任意截面的中性軸處第31頁,共45頁，2024年2月25日，星期天T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]y=100MPa,yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_第32頁,共45頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共45頁，2024年2月25日，星期天平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力一、公式推導(dǎo)：第34頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二、符號(hào)規(guī)定：α角

由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)切應(yīng)力

使單元體或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。第35頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和－600角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。第36頁,共45頁，2024年2月25日，星期天主應(yīng)力及最大切應(yīng)力

①切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面

由主平面定義，令tα

=0可求出兩個(gè)相差90o的a0值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向上的極值。③主應(yīng)力大?。孩苡蓅１、s３、0按代數(shù)值大小排序得出：s1≥0≥s3

第37頁,共45頁，2024年2月25日，星期天極值切應(yīng)力：

可求出兩個(gè)相差90o

的a1，代表兩個(gè)相互垂直的極值切應(yīng)力方位。②(極值切應(yīng)力平面與主平面成45o)

①令：

第38頁,共45頁，2024年2月25日，星期天§7應(yīng)力集中的概念d/2d/2rDdr構(gòu)件幾何形狀不連續(xù)應(yīng)力集中：幾何形狀不連續(xù)處應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象。應(yīng)力集中

與桿件的尺寸和所用的材料無關(guān)，僅取決于截面突變處幾何參數(shù)的比值。第39頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

應(yīng)力集中程度與外形的驟變程度直接相關(guān)，驟變?cè)絼×遥瑧?yīng)力集中程度越劇烈。

靜載下，塑性材料可不考慮，脆性材料（除特殊的，如鑄鐵）應(yīng)考慮。

動(dòng)載下，塑性和脆性材料均需考慮。理想應(yīng)力集中系數(shù):其中：----最大局部應(yīng)力----名義應(yīng)力（平均應(yīng)力）第40頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及彎矩M=10kNm.繪出表示1、2、3、4點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求出各點(diǎn)的主應(yīng)力。b=60mm,h=100mm.1、畫各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)圖2、計(jì)算各點(diǎn)主應(yīng)力1點(diǎn)2點(diǎn)(處于純剪狀態(tài))3點(diǎn)(一般平面狀態(tài))4點(diǎn)第41頁,共45頁，2024年