2020-2021學(xué)年衡水中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年衡水中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.己知△ABC的面積為3g,BC=4,CA=3,則C的大小為()

A.120°B,60°C.30°D.60°或120°

2.已知集合/=卜|回-1|<1},集合8={幻0-1)。-2)>0},則4門8等于()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,0)D.(-2,1)

3.等比數(shù)列隹即差的各項(xiàng)均為正數(shù)，且謖承曲外雁。=犒，

則艇3叫普酶題:叫嚓=()

A.12B.10C.8D.翳品蛔瓢穆

4.已知向量遍=/牌,向量后=救；期.且以〃冬，則笳=

A.9B.6C.5D.3

5.已知3>0,函數(shù)/(x)=acos2a)x—4cos3%+3a,若對(duì)任意給定的aG[—1,1],總存在x2G

[0,§(與4亞)，使得，(%1)=/3)=0，則3的最小值為()

A.2B.4C.5D.6

6.已知乙、》2是方程4/一46％+巾+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)好+避取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)小的值是()

A.2B.-C.--D.—1

44

7.6也：+85》2的值為()

A.1-立B.1+立C.V2-1D.1+V2

22

8.關(guān)于X的方程。2—1)2-|;(2-1|+々=0,給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根;

②存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;

③存在實(shí)數(shù)匕使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;

④存在實(shí)數(shù)匕使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根:

其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

二、多選題(本大題共4小題，共20.()分)

9.下列結(jié)論正確的有（）

A.公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有1。5種

B.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是:

C.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X?B（5,3，則P（|<X<；）=^

3NNol

D.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11,若這組數(shù)據(jù)的

平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12

10.筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，--種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具.筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距

今已有1000多年的歷史。如左下圖.假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為3米的筒車按逆

時(shí)針?lè)较蜃雒?分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心。距離水面BC的高度為1.5米，設(shè)筒車

上的某個(gè)盛水筒P的初始位置為點(diǎn)。（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開(kāi)始計(jì)時(shí)，下列結(jié)論正確

的是（）

A.t分鐘時(shí)，以射線。4為始邊，OP為終邊的角為?一？

3o

B.t分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為sin《t—》+|米

C.1分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離與3分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離相等

D./個(gè)小時(shí)內(nèi)有20分鐘該盛水筒距水面距離不小于3米

11.己知平面向量乙方滿足|菊=2,\b\=1，ab=l<則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a.(a-K)=0

B.(a-2b)1(a+2K)

C.SAG/?,使|為一;19|=|

D.VAeR,|五一4方|?|為一可恒成立

12.已知函數(shù)/"。)=?尸一爐，若0<m<l<n,則下列不等式一定成立的有()

A./(I—m)>/(n—1)B.f(2>Jmn)>f(m+n)

nm

C./(log^n)>/(logn7n)D./(ni)>/(n)

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.如圖，在6x6的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量區(qū)石，下滿足

c=xa+yb(x,y￡R)，則]=.

14.化簡(jiǎn)」---由一=______.

cos20°sin200

15.已知log23=Q,log72=b,則log421=.(用a,b表示)

16.已知tan。+/^=4,則sin2(6+￡)=____.

tanG4，

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.如圖，△OAB是等邊三角形，乙40c=45。，0C=夜，4、B、。三點(diǎn)共線.

(I)求5也480。的值；

(H)求線段BC的長(zhǎng).

18.己知函數(shù)/(x)=Asin(^a)x+@)(4>0,a>>0,0<<p<乃)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)當(dāng)％6[-：,泉時(shí)，求函數(shù)y=/(x)+V3/(x+3)的最值.

19.(本題滿分15分)

X

已知函數(shù)/(X)=2-1

F+T

(1)求/(3)的值；(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在(一6,+?))上是增函數(shù)。

20.已知函數(shù)f(x)=Asin^x+<p)(A>0,a)>0,\<p\<》的部分圖象如圖所示

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及解析式

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,自上的最大值和最小值.

21.用紅、黃、藍(lán)3面小旗(3面小旗都要用)豎掛在繩上表示信號(hào).不同的順序表示不同的信號(hào)，試

寫出所有的信號(hào).

22.已知函數(shù)已知函數(shù)Rx)=Esin:cos^-v*2sin21.

(1)求/(x)的最小正周期.

(2)求f(x)在區(qū)間/一兀，0/上的最小值.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：

本題主要考查三角形的面積公式及特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

靈活運(yùn)用公式是解答本題的關(guān)鍵.

解：由面積公式得S=1ACBC-sinC=^-4?3-sinC=,解得siiiC=—,

229

0<C<ISO.

因此。60或12().

故選D.

2.答案：A

解析：解：由4中不等式變形得：一1<萬(wàn)一1<1,

解得：0cx<2,即A=(0,2),

由8中不等式解得：x<1或x>2,即8=(—8,1)u(2,+8),

則AflB=(0,1),

故選：A.

求出4與B中不等式的解集分別確定出A與B,找出4與B的交集即可.

此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.答案：B

解析：試題分析：由于數(shù)列號(hào)限g是等比數(shù)列，所以疑陞=:嘴畤=通/：，又因?yàn)?%嚓41=囑,

所以得到:％蛛=氧：te覲豌：?%,：%=

般物闞強(qiáng)…嘴嗓:=腕疑覬魁步=售啊翦;悠=詢.所以選B.

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì).2.同底對(duì)數(shù)的求和運(yùn)算.3.對(duì)數(shù)的性質(zhì).

4.答案：B

解析：試題分析：因?yàn)橄蛄恳?:翼蹶向量,$=編舞且以〃都所以41澧-物?如解得需=敏

考點(diǎn)：本小題主要考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：向量共線與向量垂直的坐標(biāo)表示是考查的重點(diǎn)，平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要給予充分的重視.

5.答案：D

解析：解：由f(%)=acos2a)x—4cosa)x+3Q=2acos2a)x—4cosa)x+2a.

令cosa)x=t,aG[—1,1],

令f(x)=O,可得：2a=G[-2,2]

:.t6[—1,1]

即cos3%e上有兩個(gè)解.

)

那么Z，X2G*尤2上至少有兩個(gè)解，

7T、6兀

",

??二23—2T

??0)>6

故選：0.

由/(%)=o,cos2b)x—4coscox+3Q=2acos2a)x—4cos3%+2a.^cosa)x=3a€[—1,1],換元法求

解，令f(x)=0,可得：2a=島e[-2,2],即C0S3XG[-1,1]上有兩個(gè)解.使得〃&)=/(x2)=0,

即可求解?的最小值.

本題考查三角恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)思想的轉(zhuǎn)換和應(yīng)用，求解COS3X6上有兩個(gè)解關(guān)鍵,

是中檔題

6.答案：D

解析：

本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可得判別式ANO,求得或znW-l.化簡(jiǎn)好+底的解析式為(加一》一,再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)可得此式取最小值時(shí)m的值.

解：由題意可得41+%2=根，X],刀2=”券，

△=16m2—16(m+2)>0,

解得m>2或TH<-1.

2

當(dāng)好+超=(%1+%2)?2%i-X2

27n+2/1、217

=m=

所以當(dāng)m=—1時(shí)，xl+以取到最小值土

故選D.

7.答案：B

解析：解：(sin-+cos-)2=sin2-+cos2-+2sin-cos-=1+sin-=1+—>

v88y888842

故選：B

根據(jù)三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用二倍角的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵.

8.答案：A

解析：

本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.

將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問(wèn)題，畫出圖象，求出k的特殊值，判斷選項(xiàng)即可.

解：方程(/-I)2—|%2—1|+fc=0o方程k=—(x2—I)2+\x2—1|,

令/(x)=—(X2—I)2+\x2-1|,

當(dāng)％>1■或x<一1時(shí)，

/,(X)=-(x2-I)2+(x2-1)=-(x2-1)(%2-2)

=—(x+1)(%-1)(%—V2)(x+V2),

可以看出函數(shù)在此區(qū)域內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，

也可以這樣變形，/(x)=-(%2-|)2+

可以看出，在此區(qū)域內(nèi)，x=+匹時(shí)，函數(shù)值最大為:，

當(dāng)一1<XV1時(shí)，

/(%)=-(%2-I)2-(%2-1)=-X4+X2=-x2(x-1)(%+1),

由此可以看出，在此區(qū)域內(nèi)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

也可以這樣變形，/(x)=-(x2-i)+(,

可以看出，在此區(qū)域內(nèi)，x=+在時(shí)，函數(shù)值最大為:，

一24

在同一坐標(biāo)系中，畫出y=k和/'(%)=-(x2-I)2+\x2—1|圖象,

結(jié)合圖象可得：

①當(dāng)k<0時(shí)，y=k的圖象和y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為2；故①正確；

②當(dāng)k=；時(shí)，y=k的圖象和y=的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根土當(dāng)、土?，故②

正確；

③當(dāng)k=0時(shí),y=k的圖象和y=f(x)的圖象有五個(gè)交點(diǎn)，方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根解為-1,+1，土也

0,故③正確；

④當(dāng)0<k<；時(shí),y=k的圖象和y=f(x)的圖象有八個(gè)交點(diǎn)，方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根，故④正確.

①②③④全都正確，沒(méi)有假命題?

故選A.

9.答案：BCD

解析：解：對(duì)于A，根據(jù)題意，公共汽車沿途5個(gè)車站，則每個(gè)乘客有5種下車的方式，

則10位乘客共有51°種下車的可能方式，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,兩位男生和兩位女生站成一排照相，基本事件總數(shù)n=*=24,

兩位女生不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)m=房?朗=12,???兩位女生不相鄰的概率尸=：=葛=%故

B正確；

對(duì)于C,若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X?8(5,9，

則P(|《X《今=P(X=2)+P(X=3)=似|)3G>+瑤鏟<)3=?故C正確；

對(duì)于D,設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為x，則七個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為手，眾數(shù)是3.

由題意知，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，

若》《3,則中位數(shù)為3,此時(shí)平均數(shù)芋=3,解得％=-10；

若3<x<5則中位數(shù)為％,此時(shí)衛(wèi)尸+3=2%,解得x=4；

若x》5,則中位數(shù)為5,此時(shí)甘+3=2x5,解得x=18.

綜上，丟失數(shù)據(jù)的所有可能的取值為-10,4,18,三數(shù)之和為12.故。正確.

故選：BCD.

利用分步乘法原理判斷4利用古典概型判斷B,利用二項(xiàng)分布求概率判斷C,利用平均數(shù)、中位數(shù)，

眾數(shù)進(jìn)行討論求解判斷D.

本題考查了分步乘法原理和古典概型，考查了利用二項(xiàng)分布求概率和平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)的應(yīng)用，

屬于中檔題.

10.答案：ACD

解析：

本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及弧度制的概念及應(yīng)用，任意角的三角函數(shù)，函數(shù)y=

4sin（3x+w）的性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題.

對(duì)于力，由題意及圖象可得，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)周期和轉(zhuǎn)速，結(jié)合弧度制的概念即可判定；對(duì)于B,由圖象結(jié)

合任意角的三角函數(shù)求解即可判定；對(duì)于C,分別計(jì)算1分鐘和3分鐘時(shí)的距離即可判定；對(duì)于。，解

不等式3sin（；f3,結(jié)合460計(jì)算即可判定.

解：對(duì)于4,由題意及圖象可得，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)周期為7=6,所以轉(zhuǎn)速為c:,

1

又由題意可得盛水筒P的初始位置為點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為-?o，半徑為3,所以7，T.，

t分鐘時(shí)，水筒P轉(zhuǎn)了所以以射線04為始邊，OP為終邊的角為）:，故A正確；

對(duì)于B,t分鐘時(shí)，以射線。4為始邊，0P為終邊的角為[一：，

3（7

所以該盛水筒距OA的距離為:Niu（“-米，

所以該盛水筒距水面的距離為3sm*）+：米，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由選項(xiàng)B可得，1分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離為35山/一'）+：=：，曲1（+13米，

3分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離為3siu（：x3—*）+g=3sin,+[=g+g=3米，

所以1分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離與3分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離相等，故C正確；

對(duì)于°,由-》3，可得疝（.J-（J”：，

解得+—4—f---4.kZ,即6/c+1<t46/c+3,/c6Z,

6366

因?yàn)?4t460,所以04k49,k€Z,

所以共有10x（3-1）=20分鐘，故。正確.

故選ACD.

11.答案：BD

解析：解：對(duì)于4，a.（a-K）=|a|2-a-K=4-l=3,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,7(a-26)■(a+2h)=|a|2-4|b|2-4-4=0,

(a-2h)l(a+2K).故B正確；

對(duì)于C,由|五一%方|=|,得位一4萬(wàn))2=￡

EP|a|2-2A(a-K)+A2|K|2=^,4-2A+A2=￡

整理得：4A2-8A+7=0,△=64-112=-48<0,方程無(wú)解，故C錯(cuò)誤；

^\a-A^]>|五一石|恒成立，則0-2方)2>(U-b)2,

即片一24(五1)+於二2五2一24彳+片，

整理得。-1)220,此式恒成立，即V/leR,|行一2石|2|五-方|恒成立，故。正確.

故選：BD.

求出數(shù)量積判斷4;由數(shù)量積為0判斷8；把等式兩邊平方可得關(guān)于；I的方程，由方程無(wú)解判斷C；把

不等式兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于4的不等式，由不等式恒成立判斷C.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.答案：DB

解析：

本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.

先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

解：因?yàn)閒(x)=G)*-爐單調(diào)遞減，

0<m<1<n,1-m與幾-1的大小不確定，A錯(cuò)誤；

m4-n>2y/mnf則/(m+n)VfQ'mrC),B正確；

因?yàn)閘ogm1V0，log^mV。K(logmn)?(lognm)=1,

log^n與10gzim的大小不確定，C錯(cuò)誤；

因?yàn)閙nvl<nm,所以/(6幾)O正確.

故選：BD.

13.答案:y

解析：解：將向量落b，前攵入坐標(biāo)系中，

則向量k=(1,2),(2,-1).c=(3,4),

vc=%a+yh,

(3,4)=x(l,2)+y(2,-l),

即仁::，解得"?，

%=T-

故答案為：獲.

根據(jù)向量的運(yùn)算法則以及向量的基本定理進(jìn)行運(yùn)算即可.

本題主要考查向量的分解，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.

14.答案：—4

解而解__1______6_si"20°-75cos20°_2sE(2(T-6(r)_-2sin40。_

解析：斛：宏不一詢二皿20。即20。=蚪40。=3^40。=--

故答案為：-4.

對(duì)已知通分，逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式以及正弦的倍角公式化簡(jiǎn).

本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值；利用了兩角和與差的三角函數(shù)公式以及正弦的倍角公式；屬于

基礎(chǔ)題.

15.答案：答

解析：解：log23=a,log72=b,?.lg3=alg2,lg7=

alg2-{-_ab+i

則*21=等普

2lg2-2b

故答案為：=甯.

2b

由log23=a,log72=可得，g3=出g2,Zg7=與.代入即可得出.

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.答案：

4

解析：解：因?yàn)閠anJ+；-4=4,

所以sin2(e+$=上巴等l+sin2。

2

112sin0cos91tand11

—4---------------------=—-i--------------=--|--------------

22sin20+cos202tan20+12ta/2+1

-tan0-

1.11.13

—2I--t--a--n-0--+-^=—2I—4=-4-

故答案為：

4

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：（1）?.2。48是等邊三角形，4/。。=45。.?.4B0C=45。+60。

&+通

：?sinZ.BOC=sin(45°+60°)=sin45°cos60°=

4

OC_BC

(n)在△OCB中，???

sinz.OBCsinz.FOC

OC\/2+x/6V2V3

???BC=sinZ.BOC----------------------------,----------=1+

sin/LOBC4------sin60°3

解析：（1）根據(jù)4。43是等邊三角形和乙4。。的值，可確定NBOC的值，再由兩角和與差的正弦公式

可得到答案.

（口）在4。。8中應(yīng)用正弦定理得至1仍。=$也48。。,一^,然后將sin乙BOC、OC.sin4OBC的值代

sinZ-C/oC7

入即可得到答案.

本題主要考查兩角和與差的公式、正弦定理的應(yīng)用.考查對(duì)三角函數(shù)的公式的記憶和理解程度，三

角函數(shù)的公式比較多，不容易記，一定要在平時(shí)就注意積累，這樣到考試是才不會(huì)手忙腳亂.

18.答案：解：(1)由函數(shù)/(x)=4si?i(3x+0)的部分圖象知I,4=3,(7=3,

所以7=12,3=胃=3所以/(x)=3sinGx+。)；

T6o

因?yàn)辇?=3,所以gxj+w=m+2k〃,keZ,

L6NN

解得9=*2kn,keZ-

又因?yàn)?<0<兀，所以0=1

所以/(X)=3sin(^x+9

(2)函數(shù)y=/(x)+V3/(x+3)

TTTTr—TCTT

=3sin(—x+—)+3v3sin[—(x+3)+-]

7T717171

=3sin(—%+—)+3v3cos(—%+—)

=6sin(^x+^),

因?yàn)閤e排所以/+57T6]—?爭(zhēng).

所以當(dāng)"+⑶=$即x=W時(shí)，y取最大值6；

當(dāng)"+私兀=一看，即x=-1時(shí)，y取最小值-3.

解析：（1）由函數(shù)/（X）的部分圖象求出人T和3、0的值，寫出/（x）的解析式.

（2）化函數(shù)y為正弦型函數(shù)，根據(jù)尤的取值范圍求出函數(shù)的最大值和最小值.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

23-17

19.答案：（1），（為=尹石'

（2）略

〃、2"-1-23-17

解析：解：（1）因?yàn)?@）=工公所以/◎）=R公=§

（2）任取再，々€（-OO,-KO）且外＞x2,

“、川、一2*-12^-1_2（24-2即）

則/（X】J-Jl