《現(xiàn)代信號處理》課程教案第08章 M通道濾波器組

第8章M通道濾波器組

8.通道濾波器組的基本關系

圖8.1.1是一個標準的M通道濾波器組。

圖8.1.1M通道濾波器組

由第五章~第七章的討論，我們不難得到圖中各處信號之間的如下相互關系：

Xk(z)=X(z)H《z)(8.1.1)

1M-lJ_

匕(Z)=77ZX式%,)

"/=0

1M-lJ_J_

=77ZX(%Z")凡(嗎/z")(8.1.2)

MM

iM-l

及U&(z)=K(z")=77Ax(z%')凡(z%,)(8.1.3)

MM

濾波器組的最后輸出

M-l

文(z)=ZG(z)q(z)

%=0

1M-lM-l

=..X(z%%」(z%)G(z)(8.1.4)

令4(Z)=77￡%(Z%')GC)(8.1.5)

MM

M-\

則文(z)=￡a(2)X(z/')(8.1.6)

/=0

這樣，最后的輸出戈(z)是X(z%’)的加權和。由于

X(z%')Li=…M))(8.1.7)

在/h0時是X(/°)的移位，因此，戈(〃。)是X(/e)及其移位的加權和。由上一章的討

論可知，在/#0時，X(/s-2?〃"))是混迭分量，應想辦法去除。顯然，若保證

A(z)=O/=1(8.1.8)

則可以去除圖8.1.1所示濾波器組中的混迭失真.

再定義

1M—1

T(z)*A0(Z)=—^Hk(Z)Gk(Z)(8.1.9)

MS

顯然，T(z)是在去除混迭失真后整個系統(tǒng)的轉移函數(shù)。這時，戈(z)是否對X(z)產生幅

度失真和相位失真就取決于?、堑男阅?。若T(z)是全通的，也即，(/3)|=常數(shù)歸n，

那么濾波器組可避免幅度失真，若T(z)再具有T(z)=cz-*的形式，那么濾波器組又將消

除相位失真。因此，(8.1.9)式的T(z)和(7.2.4)式的T(z)一樣，都稱為“失真函數(shù)”。

由(8.1.5)式，A(z)~4_i(z)能否為零取決于4(z),&(z),左=0~M—1的性

質。將該式寫成矩陣形式，有

一一G(z)'

-A(z)H0(z)Hi(z)0

A(z)”o(zW)W(zW)G(z)

M=(8.1.10)

M1

H0(zW-)“1(ZW"T)G“T(Z)_

?z)=[M4(z),0,,0匕g(2)=[G0(z),,GM_1⑶了(8.1.11)

并令(8.1.10)式右邊的矩陣為H(z),則在去除混迭失真的情況下，有

f(z)=H(z)g(z)(8.1.12)

式中H(z)的第一行是“0(2),-，HMT(Z)，第二至第M-1行分別是由這M個濾波器的依

次移位所構成。因此，7/(z)又稱“混迭分量(AliasComponent,AC)矩陣”。它等效于

兩通道情況下由(7.2.8a)式給出的矩陣

由(8.1.12)式，我們有

g(z)=HT(z"(z)(8.1.13)

為保證去除混迭失真，可選?z)=[M4(z),0,,0]r=[c'z-\0,.,0]。這樣，若〃(z)已

知，即可求出綜合濾波器組g(z)。且整個的M通道濾波器組還具有PR性質。但(8.1.13)

式在實際應用中有一系列的問題，這是因為：

g(z)=(8.1.14)

式中adjH(z)是H(z)的伴隨矩陣。

(1)若7/(z)是FIR的，顯然det〃(2)也是FIR的，這時g(z)將變成IIR的；

(2)若選擇det"(z)=cz-*(z),這時g(z)可保證是FIR的，但由于

g(z)=adjH(z),因此g(z)的階次將遠大于H(z)；

(3)若H(z)有零點在單位圓上，g(z)的幅度將會產生較大的失真。

此外，由(8.1.13)式或(8.1.14)式并不容易找出E(z)、g(z)的關系以及H(z)自

身應具有的特點，因此，我們需要采用多相結構的方法來研究如何去除混迭失真及探討實

現(xiàn)PR的途徑。

8.2M通道濾波器的多相結構

仿照(7.6.9)和(7.6.10)式，在多通道情況下的分析濾波器組可表為:

“/(z)=Xz"/,/(z/)(8.2.1)

1=0

寫成矩陣形式，有

"o(Z)號MTQM)ri

乜(z)W")z-1

(8.2.2)

—z")Jz”

HMT(Z)

記A(z)=[Ho(z),Hi(z),，4Uz)r,e(z)=[l,z，(8.2.3)

并記(8.2.2)式右邊的矩陣為E(z”),則

/r(z)=E(z相)e(z)(8.2.4)

E(z")稱為多相矩陣，而林z)是由上一節(jié)的AC矩陣〃(z)的第一列構成的。同理，對綜

合濾波器組G*(z)按第二類多相結構展開，有

Gk(z)=Ez--)"zM)(8.2.5)

1=0

寫成矩陣形式：

(M1)(M2)

[GO(2)，G(Z),.,GM_1(z)]=[z--,z--,,1].

-%o(z")?—一

R")用MT(Z")

(8.2.6)

記該式右邊的多相矩陣為R(z”),則(8.2.6)式可寫為如下更簡潔的形式：

gT(z)=zYMT)e(z/(z“)(8.2.7)

式中g(z)已在(8.1.11)式中定義，e(z)=[e(z-1)]ro利用(8.2.2)和(8.2.6)式，圖8.1.1

的M通道濾波器組可改為圖8.2.1(a)的形式。再利用恒等變換，又可改成圖(b)和(c)

的形式。

在圖(c)中，

尸(z)=R(z)E(z)

該圖的得到過程與圖7.6.1和圖762的導出過程相類似。因此，對整個濾波器組的分析可

集中到矩陣E(z)和R(z)的分析，或簡單的尸(z)的分析。若尸(z)為單位陣，我們可以想

象，那么該濾波器組一定可以實現(xiàn)準確重建。

至此，我們已討論了M通道濾波器組的兩種表示形式，一是用(8.1.10)式的AC矩

陣表示的形式，二是用(8.2.2)式表示的多相形式。在深入討論E(z)、R(z)的性能對整

個系統(tǒng)PR性能的影響之前，我們先討論一下，AC矩陣H(z)和多相矩陣E(z)的關系。

由(8.2.3)式對由z)的定義及(8.1.10)式對E(z)的定義,我們有

HT(z)^[h(z),h(zW),(8.2.8)

由(8.2.2)式，H7(z)又可表為

HT(z)=[E(ZM)e(z),E(z")e(zW),,E(zM"(zW*)]

=E(z")[e(z),e(zW)〃.,e(zW"T)]

X(z)

X(z)%(〃)%(〃)

圖8.2.1M通道濾波器組的多相結構；（a）直接表示;

（b）利用恒等變換后的表示；（c）進一步的簡化表示

111

1W

記(8.2.9)

1

Z>(z)=dhg[l,z一〔..,zY"T](8.2.10)

則HT(Z)=E(Z")Z>(Z)W*(8.2.11a)

或H(Z)=WHD(Z)E\ZM)(8.2.11b)

(8.2.11)式即是混迭分量矩陣7/(z)和多相矩陣E(z^)的關系。

8.3混迭抵消和PR條件的多相表示

我們在8.1節(jié)已指出，若A⑶，41T(z)全為零，則可實現(xiàn)混迭抵消。進一步，若T(z)

為全通函數(shù)，或T(z)=cz-3則M通道濾波器組可以實現(xiàn)準確重建。現(xiàn)在我們討論這些

條件的多相表示。

定理8.1一個M通道最大抽取濾波器組混迭抵消的充要條件是多相矩陣

尸(z)=R(z)E(z)

為偽循環(huán)矩陣。

所謂的偽循環(huán)矩陣，它是由一個循環(huán)矩陣

-

A(z)6(z)鳥(z)PM-1(Z)

&T(Z)庶(z)《(z)PM.-2(Z)

PM-2(Z)—)蟲Z)PM-3(Z)

_EG)2(2)l(z)片⑶

將其主對角線以下的元素都乘以z「i所得到的矩陣，即

4(z)4(z)6(z)PM—I(z)「

z-1

與T(Z)B(z)4(z)PM一2(z)

z-1z-)

k(z)6(z)PM-3(z)

z-*(z)zM(z)z—￡(z)

該偽循環(huán)矩陣所對應的時域關系是：

-

Pl(")n

Po⑺p2()

Po(n)Pl(")PM.ZS)

PM.2(〃T)Po(")PM-35)

Pi(n-l)P2(〃T)“3(〃T)Po5)

現(xiàn)證明定理8.1。

由圖8.2.1(c),有

iM-lJ_J_

匕(z)=——>(z"W，TX(zMW，Z=O,1,-,M-1(8.3.1)

MM

M-l

a(z)=￡R/(z)h(z)(8.3.2)

1=0

于是最后的輸出

M-l

文(z)=￡z-(MTr)q(zM)

s=0

M-lM-l

f2--空月,武)叱)

5=0/=0

1M-lM-lM-l

=—2z-EE2匕(z“)￡(z鏟尸X(zk)(8.3.3)

"s=0/=0k=0

該式是〃通道濾波器組中輸入、輸出關系的多相表示。交換求和順序，有

1M-lM-lM-1

文(Z)=—AX(zM)￡W「Mzz-'z-MiT?j(z")(8.3.4)

Mk=oi=os=o

因為X(zW*),左=1,2,1為混迭分量，為使混迭抵消，我們應設法令其等于零。

也就是說，使混迭抵消的充要條件是使左20時的

M-lM-1

￡曠"￡z"z-(M(Z“)三0(8.3.5)

/=05=0

M-1

記j>TzYM4%(z")=0(z)(8.3.6)

5=0

則(8.3.5)式可表為：

M-1cz一的k=Q

Zw「%(z)=<(8.3.7)

1=00k=1,.—1

式中c為不等于零的常數(shù)。

為便于觀察矩陣尸(z)中元素4」的規(guī)律，現(xiàn)對(8.3.6)式作進一步的展開。假定M=4,

有

然(z)=Z34o+z2/+z"o+月,0(8.3.8a)

Ql(z)=zPQi+Z耳J+zP2i+zP3X(8.3.8b)

2(Z)=Z54,2+z_4：2+z3P22+Z2P3?(8.3.8c)

Qi(z)=z"穌,3+z5片,3++Z3鳥,3(8.3.8d)

注意式中省去了EJ(Z4)的(z4)。同時，(8.3.7)式可表為

-2(z)

a（z）0

WH=

0

由于所以上式又變?yōu)?/p>

-Go(z)一czf一

QI(z)0

=w(8.3.9)

2T(z)_0

常數(shù)C'包含了常數(shù)C和由于W是DFT矩陣，其第一行和第一列全為1。因此，（8.3.9）

式意味著

2(Z)=QI(Z)=...=QM_](Z)=C'ZT。(8.3.10)

由（8.3.8）和（8.3.10）式可知，矩陣尸（z）中各元素己,應有如下規(guī)律（以M=4為例）

①同為*3的系數(shù)應該相等，即

%0=6.1=旦,2=6,3

②同為Z-2的系數(shù)應該相等，即

4.0=^2,1=^3,2

③同為z-i的系數(shù)應相等，即P20=P3l

④由于Qo（z）=Qi（z）,因此，在（8.3.8）的前兩個式子中，必應有

6,0=Z-4%]

⑤同理，由（8.3.8b）和（8.3.8c）式，應有

Z1片,1=Z5穌,2

由(8.3.8c)和(8.3.8d)式，應有

Z2鳥,2=Z”％

因此矩陣尸的各元素之間應有

￡),()%4,24,3

4,26,3

靠6』

P=W,』=

^2,0^2,1^2,26,3

W，0^3,1A,3

A,2

4,3

此,04』%

Z234,06,16,2

222Z飛3%,(

“0,2zlF

*』z3,3%o_

注意式中由滔5改成Z-是因為矩陣P實際上是尸(Z，。由此我們可以看出，尸(Z)確實是

一偽循環(huán)矩陣。

本定理的證明可參看文獻［23］,另一種證明方法可參看文獻［15］。

在兩通道的情況下，若尸(z)=R(z)E(z)=/,則該系統(tǒng)可以實現(xiàn)準確重建。同樣，

由圖8.2.1c,在M通道的情況下若P(z)為單位陣，那么該系統(tǒng)也必然會實現(xiàn)PR。其實,

在"通道情況下，我們不一定要求尸(z)為單位陣，條件可適當放寬。下面的定理給出了

M通道濾波器組實現(xiàn)PR的充要條件。

定理8.2一個〃通道最大抽取濾波器組實現(xiàn)準確重建的充要條件是

P(z)=R(z)E(z)=cz-"11jI](8.3.11)

式中人/為整數(shù)，1,c為不等于零的常數(shù)。

證明：PR條件意味著混迭抵消條件成立。由(8.3.4)式，在公0時，有

1M-1M-1

戈(2)=7Tx(2)2￡2-￡("?叱QM)(8.3.⑵

MMM

由(8.3.6)式的定義，則

1M-l1

X(z)=—X(z)^Q,(z)=—X(Z)[2O(Z)+Qx(z)++QMT(Z)]

MM

由(8.3.10)式，并定義

QO(2)=QI(Z)D..=QMT(2)Q(Z)(8.3.13)

則文(z)=X(z)Q(z)(8.3.14)

我們希望戈(z)=ex(〃一%),則Q(z)=cz-徇。由(8.3.8a)式，由于

以(z)=Q(z)=Z-S或。(z)+z"/⑶++z-i-o(z)+-)

因此，要求Q(z)=czf，則等效要求&(z)中只能包含一項。不失一般性，設Qo(z)中下

標為(7,0)的元素不為零，該項是zYMT-y)[,o(z)。由于尸(z)又是偽循環(huán)矩陣，也即從第

一行開始，以下各行元素都是第0行元素循環(huán)移位的結果，因此，尸(z)必然具有如下形

式：

一00Z-(—%o(Z)00

000z-(…A°(z)0

0000

尸(Z)=

Z-叱“Z—匕⑶00

0Z-(…)/(z)0

-0I_；

即P(z)=M(8.3.15)

z-'l?0

于是定理得證。

8.4M通道濾波器組的設計

定理8.1和定理8.2指出，對M通道最大抽取濾波器組，若去除混迭失真，則

尸(z)=R(z)E(z)應為一偽循環(huán)矩陣。若再做到準確重建，則P(z)的每一行(或列)只

能有一個元素不為零，整個的尸(z)如(8.3.11)式所示。這樣，實現(xiàn)PR的〃通道濾波

器組的P(z)結構已確定，其余的任務即是尋求"Kz'GKz),左=0』,…,M-1來滿足

尸(z)。直接求出”,(z)，G(z)是比較困難的。由于尸(z)=R(z)E(z),因此，由給定形

式后的尸(z)來尋求E(z)相對比較容易。又由于一旦求出E(z)后為求R(z)需要求逆運

算，而求逆往往會帶來數(shù)值上的不穩(wěn)定或是使R(z)為IIR的。因此，為避免求逆運算，

我們往往假定E(z)是仿酉的。這樣

R(Z)=CZ-"°E(Z)(8.4.1)

是一個極簡單的計算。同時

P(z)=R(z)E(z)=cz』E⑶E(z)=cz-"°I(8.4.2)

保證了系統(tǒng)的PR性質。反之，若系統(tǒng)滿足PR,由(8.4.2)和(8.4.1)式，E(z)必定是

仿酉的?，F(xiàn)在的問題是如何設計出E(z)使之滿足(8.4.2)式，一旦E(z)求出，由

4(z)=Xz"E&j(z")(8.4.3a)

1=0

M-l

M

Gk(z)=￡z-(M-i)Rhk(z)(8.4.3b)

1=0

即可求出4(z)和G/z),左=0,1,…,M—l。

由第七章兩通道濾波器組的分析可知，若要設計出一個滿足要求的仿酉矩陣E(z),可

行的方法是將EQ)分解成一系列簡單矩陣的積，如(7.7.9)式。在該式中，我們將E(z)

分解成旋轉矩陣紜和對角矩陣。(z)的級聯(lián)。線中僅包含一個參數(shù)應。通過最優(yōu)的方法

求出％,從而得到E(z),也即得到H0(z)和乜(z)。對多通道情況下的E(z),我們也

可仿照(7.7.9)式將其分解為旋轉矩陣和對角矩陣的級聯(lián)。但這時的旋轉矩陣線將會有

較多的正弦和余弦，因此，/中包含的參數(shù)將遠不只一個，這將給后邊的優(yōu)化工作帶來

困難。文獻［15］提出了一個對E(z)分解的“diadic”方法。現(xiàn)給以簡要介紹。

給定一個范數(shù)等于1的向量匕，其維數(shù)為Afxl,那么匕,匕/是MxM的矩陣，定

義

HH1

cm^=i-vnym+vnymz~(8.4.4)

則C”(z)是仿酉矩陣，即

Cm(z)Cm(z)=Z(8.4.5)

此式的證明見文獻［23］。這樣，每一個G“(z),機=0』,1,都是一個一階的仿酉

系統(tǒng)，該系統(tǒng)可由圖8.4.1來實現(xiàn)。

H

VT7v

mym

*■---------------------->-r........>

圖8.4.1一階仿酉系統(tǒng)C,“(z)的實現(xiàn)

可以證明，一個J階的仿酉矩陣E(z)可由一階的簡單仿酉矩陣C,"(z)的級聯(lián)來構成,

即

E(z)=G(z)G_1(z)G(2)U(8.4.5)

式中。為常數(shù)酉矩陣，即=那么，E(z)可由圖8.4.2來實現(xiàn)。

沙一G(z)—C2(z)-一--^g(z)

圖&4.2E(z)的實現(xiàn)

文獻［15］進一步證明了常數(shù)酉矩陣U可進一步作如下分解：

U=&UUM_XD(8.4.6)

式中。是對角陣，其元素而矩陣q可表為

Uj=I—2叫11：(8.4.7)

式中對也是范數(shù)為1的向量，因此稱為“Householder”陣。這樣矩陣U

可由圖8.4.3a來實現(xiàn)，而矩陣U,可由圖8.4.3b來實現(xiàn)。無論E(z)的系數(shù)是實的還是復

的，上述分解都成立。如果E(z)的系數(shù)是實的，那么向量匕"和"，的元素都是實的。

將E(z)按(8.4.5)式分解，。力小)由(8.4.4)式的匕，表示，而將U可按(8.4.6)

式分解后，G又由(8.4.7)式的％表示。因此，決定E(z)的主要是向量匕“和火,現(xiàn)在

的工作是選定一目標函數(shù)，然后對匕和％求最優(yōu)，從而得到所需要的“好的”分析濾波

器“Hz)。目標函數(shù)可選區(qū)(z)?=0,l,,，M-1這〃個濾波器阻帶能量的和，即

M-10

'二Zjdco(8.4.9)

后=o阻帶

令。將對乙和%最小可得到Hk(z)，再由G*(z)=cz-(NT后*(z)即可得到綜合濾波器組。

—

2i/(

(b)

圖8.4.3(a)矩陣U的實現(xiàn)(b)矩陣q的實現(xiàn)

文獻［15］利用此方程設計了一個三通道的濾波器組，其幅頻響應如圖8.4.4所示,

%(〃),％(〃)和似〃)的數(shù)值如表8.4.1所示。

表&4.1三通道濾波器組各濾波器的系數(shù)

/z(n)

n45)45)2

0-0.0429753-0.09277040.0429888

10.00001390.0000008-0.0000139

20.14891040.0087654-0.1489217

30.29719540.00002260.2972354

40.35375390.1864025-0.3537496

50.2672266-0.00000200.2672007

60.0870758-0.3543303-0.0870508

7-0.0521155-0.0000363-0.0520909

8-0.08759730.35645940.0875786

9-0.0427096-0.0000049-0.0427067

100.0474530-0.1931082-0.0474452

110.04296180.00002300.0429677

120.00.00.0

13-0.0232765-0.0000026-0.0232749

140.00000220.00.0000022

圖8.4.4三通道濾波器組的幅頻響應

8.5余弦調制濾波器組

8.5.1余弦調制濾波器組的基本概念及偽QMFB

我們在6.2節(jié)介紹了DFT濾波器組。其思路是給定一個原型濾波器組h(n),令

j—kn

M

hk(n)=5(n)e(8.5.la)

則/=或/”)),左=0/，(8.5.1b)

j—kn

即/個分析濾波器組是由以“)作調制所得到的，調制因子是e",相應的頻譜是

”(標0)做均勻移位所得到的。移位距離是21/"。這樣，為防止之間有混迭，

”的截止頻率在萬/M。，帶寬為21/河。如圖6.1.2所示。

DFT濾波器組只需設計一個原型的低通濾波器力(")，整個分析濾波器組可由(8.5.1a)

式得到，且其實現(xiàn)可用FFT來完成，如圖622所示，這是它的突出優(yōu)點。然而DFT濾波

器是一種復數(shù)調制濾波器組，即使丸(“)是實的，為("),左=1~"-1也是復的，這樣，對

實信號x(a),經(jīng)分析濾波器組的分析后，M個子帶信號也都變成復信號。這是DFT濾波

器組的缺點。

為了克服DFT濾波器組的這一缺點，人們又提出了“余弦調制”濾波器組的概念。假

定我們給定兩個原型濾波器h(n)和g("),令

D71

hk(n)=2/z(〃)cos[(左+0.5)(〃一萬)瓦+4](8.5.2a)

D兀

g式")=2^(n)cos[(^+0.5)(n-y)--(8.5.2b)

左=0,1,,M-1

則可得到加個分析濾波器和M個綜合濾波器，但它們都是實系數(shù)的濾波器。式中

4=(—1)&萬/4(8.5.3)

。是整個濾波器組輸出相對輸入的延遲。由于％(〃)，gK〃)是原型的/2("),g(")乘以余弦

函數(shù)所得到的，因此稱它們?yōu)椤坝嘞艺{制”濾波器組?，F(xiàn)就(8.5.2)及(8.5.3)式的給

出做一些說明。

對給定的原型低通濾波器h?，我們首先由它得到一個2河大的DFT分析濾波器組,

即令

b，

pk(71)=h(n)W2M^(8.5.4a)

k

Pk(z)=H(zW2M)左=0,1,,2M-1(8.5.4b)

式中%“=e.*/2"。我們假定“⑺是實的，所以慳(6川)|是偶對稱的，并假定是

低通的，其截止頻率在21/河處，帶寬為萬/M,如圖8.5.la所示。由于

尺=左=0,1,,2M—1(8.5.4c)

所以忸(*)|如圖&5.1b所示。

由該圖可以看出，忸(小)|和，小式/)3=1,.,2/—2是相對°=0為對稱的。

這樣，如果我們把冗(z)和EMY(Z)相結合形成一個濾波器，那么該濾波器將具有實系數(shù)，

且?guī)挾葹?1/河?，F(xiàn)在討論如何實現(xiàn)這兩個濾波器的結合。

圖8.5.1余弦調制濾波器組的頻率響應

(a)原型低通(b)2〃個分析濾波器組

k

令Uk(z)=CkH(zW)(8.5.5a)

k

Vk(z)=C*H(zW-)(8.5.5b)

式子中G為模為1的范數(shù)。令

Hk(z)=akUk(z)+a^Vk(z),左=0,1,,M-l(8.5.6)

式中以也是模為1的范數(shù)。由于

N-1

H(z)=￡h(n)zf(8.5.7)

n=0

是階次為NT的FIR實系數(shù)低通濾波器，所以，由(8.5.6)式得到的

N-1

Hk(*=￡hk(n)z-"左=0,1,.,M-1(8.5.8)

n=0

也是N-1階的FIR濾波器，由于U/z),%,。*,。/的共輾特性，因此”(〃)也是實系數(shù)。顯

然，”o(z)是低通的，〃MT(Z)是高通的，其余則是帶通的。

由前述各類濾波器的討論可知，綜合濾波器組一般應和分析濾波器組具有相同的幅頻

響應。因此，我們可選

Gk(z)=bkUk(z)+b；Vk(z),^=0,1,-,M-1(8.5.9)

這樣，由(8.5.5)?(8.5.9)式保留了三個常數(shù)待確定，即和,。如同所有

的濾波器組一樣，需要研究如何實現(xiàn)混迭抵消及去除幅度失真和相位失真的問題。

80年代中期提出的余弦調制濾波器組著重研究的是所謂“偽QMF”濾波器組［132,102］,

這一類濾波器組近似實現(xiàn)PR,但不是真正的PR,它可以去除相位失真，混迭失真沒能完全

抵消，幅度失真也沒能完全去除，只是盡量做到最小。文獻［95］提出了第一個可實現(xiàn)PR

的余弦調制濾波器組，但為(〃)和&(〃)的長度為2M。而后，人們利用仿酉矩陣的特點，

進一步把濾波器的長度擴展到任意長，并把調制矩陣由第W類DCT擴展到DCTTI和DCT-

IIIO現(xiàn)在先從偽QMF的情況討論以,4和4的決定以及相應的時域、頻域關系。

由(8.1.9)式，在M通道濾波器組中失真函數(shù)T(z)總有如下的形式：

1M-1

T(z)==￡Hk(z)Gk(z)(8.5.10)

MW

若選擇g*⑺=%(NT-")(8.5.Ila)

或等效地選擇G<z)=z-("H(zT)=Z-(NT)方式z)(8.5.lib)

-(N-l)M-l

則T(z)=^-Z%(z)&(zT)(8.5.12a)

MM

M-l2

或MT(*)=(8.5.12b)

左=0

這樣，如果T(z)具有線性相位，從而去掉了相位失真。若再是功率互補的，則可

去掉幅度失真。文獻［15］證明了如下關系：

1.為去除混迭失真，應選擇以4*=—4_也;；

2.選擇0=叫/-2(口)/2,可保證U&(z),匕(z)和H(z)有著同樣的相頻響應；

3.選擇4=以*,可使6尺2)=2一37”<2),從而使T(Z)具有線性相位，從而去除

相位失真；

4.選擇4=(—1)*加1及4=歿*,保證了第1條的％，4條件，即去除混迭失真。

對外的此種制約，可選

j6k

ak=e,4=(-l)q(8.5.13)

這時，T(z)可簡化為

1M-\

T(z)一標自叫②⑶+限⑶］(8.5.14)

5.總之，按(8.5.13)式選擇外及使G/2)如(8.5.11b)式，我們可近似消除混迭失

真，并完全去除相位失真。在上述條件下，％(〃)和g*(〃)最后簡化為(8.5.2)式，且在

該式