新疆2024屆高三下學期2月大聯(lián)考數學試題（新課標卷）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1新疆2024屆高三下學期2月大聯(lián)考數學試題（新課標卷）一、選擇題1.已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則實數的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由復數，因為復數在復平面內對應的點的坐標為，可得且，解得.故選：B.2.設集合，若，則（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或2〖答案〗D〖解析〗若，則或，當時，矛盾，當時，符合題意；若，則或，當時，符合題意，當時，矛盾；綜上所述，0或2.故選：D.3.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，所以，所以.故選：C4.設為數列的前項和，若，則（）A.1012 B.2024 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數的最小正周期，又，則，，，，，，，，，所以，且，所以.

故選：A5.將拋物線繞原點順時針旋轉得到拋物線，若拋物線與拋物線交于異于原點的點，記拋物線與的焦點分別為、，且四邊形的面積為8，則（）A.4 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由拋物線的性質可知拋物線的方程為，由，解得或，即，又，，所以，解得或（舍去）.故選：C.6.己知函數圖象在兩個不同點處的切線相互平行，則的取值可以為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由，則，則，，依題意可得且、、，所以，所以，經驗證，當、分別取、時滿足題意.故選：D.7.已知函數，若函數的圖象關于原點對稱，則實數的最大負值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，因為函數的圖象關于原點對稱，所以是奇函數，所以，所以，當時，，即實數的最大負值為，故C正確.故選：C.8.在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（）A.3 B.6 C.7 D.9〖答案〗B〖解析〗因為是的外心，為的中點，設的中點為，連接，所以，，設，則，又是的外心，所以，所以.故選：B.二、選擇題9.連接橢圓的三個頂點所圍成的三角形面積為，記橢圓C的右焦點為，則（）A. B.橢圓的離心率為C.橢圓的焦距為 D.橢圓上存在點P，使〖答案〗BD〖解析〗橢圓的左頂點為，右頂點為，上頂點為，下頂點為，因為連接橢圓的三個頂點所圍成的三角形面積為，若為左、右頂點與上（下）頂點時，則，解得，符合題意；若為上、下頂點與左（右）頂點時，則，解得，符合題意；綜上可得，故A錯誤；則橢圓方程為，所以，則橢圓的離心率，故B正確；橢圓的焦距為，故C錯誤，因為橢圓C的右焦點為，所以，即，所以在橢圓上存在點P，使，故D正確.故選：BD10.己知向量，記，如的夾角為，則，若在正三棱臺中，．則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，在正三棱臺中，，，故A正確；對于B，在正三棱臺中，易知，所以，所以，故B正確；對于C，同理可知，所以，故錯誤；對于D，易知是腰長為，底邊長為1的等腰三角形，則，故，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數的定義域為，，為偶函數，當時，，若，則（）A. B.4為函數的一個周期C.直線為曲線的一條對稱軸 D.〖答案〗BCD〖解析〗A選項，為偶函數，故，將換成得，又，故，令得，中，令得，解得，故，A錯誤；B選項，由①得②，式子①②相減得，故4為函數的一個周期，B正確；C選項，因為，用代替，得，即，故，故直線為曲線的一條對稱軸，C正確；D選項，4為函數的一個周期，故，由C選項知，直線為曲線的一條對稱軸，且4為函數的一個周期，故為曲線的一條對稱軸，故，中，令得，當時，，因為，且，所以，即，又，所以，解得，故時，，故，故，，D正確；故選：BCD三、填空題12.某芯片制造公司近四年的收入（單位：千萬元）呈增長趨勢，其中第一年收入為20千萬元，第四年收入為58千萬元，且四年收入的平均數比中位數大1千萬元，則該公司近四年的總收入為_______千萬元．〖答案〗〖解析〗設該公司第二、第三年的收入分別為千萬元、千萬元，因為四年收入的平均數比中位數大千萬元，所以，解得，所以該公司近四年的總收入為（千萬元）.故〖答案〗為：13.高一（1）班李明在學習立體幾何時，用鐵皮制作了一個高為，體積為的圓錐模型（厚度忽略不計），則該圓錐模型的底面半徑為_______，該圓錐模型的側面積為___________．〖答案〗〖解析〗設該圓錐模型的底面半徑為，所以其體積為，解得（負值舍去），所以其母線長為，所以該圓錐模型的側面積.故〖答案〗：；14.已知將中最小數記為，最大數記為，若，則________．〖答案〗〖解析〗設，則，依題意，所以，又，則，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題15.已知是對數函數且圖象過點，數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記數列的前n項和為，若，求m的最小值．解：（1）設對數函數且，因為圖象過點，所以，解得，所以，又數列滿足，所以.（2）由（1）得，，因為，所以，因為，所以，解得，所以m的最小值為24.16.已知函數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，定義域為，又，因為，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）因為當時，恒成立，即恒成立，即恒成立，當時因為，所以恒成立；當時，由，即恒成立，令，則，所以當時，當或時，所以在上單調遞增，在，上單調遞減，所以，所以，又，解得，顯然當時在上也成立，綜上所述，實數的取值范圍為.17.如圖，在梯形中，，，，點在以為直徑的半圓上，設二面角的大小為．（1）若，求證：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為，所以平面平面，因為，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為點在以為直徑的半圓上，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：如圖以、所在直線為軸、軸建立空間直角坐標，設，則，，，，因為，所以，所以，過點作交于點，過點作，則，所以為二面角平面角，即，又，，則，，所以，所以，，，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，右頂點到一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）不與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點（異于點），若直線的斜率之積為，試問：直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．解：（1）因為雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，所以這條漸近線的方程為，易知，則，解得，所以雙曲線方程為；（2）依題意直線的斜率存在，設直線的方程為，，，由，得，當時，且，所以，，由（1）知，則，整理得，即，解得或，當時，直線即，令，解得，即直線過定點；當時，直線即，令，解得，即直線過定點，舍去；綜上所述，直線過定點..19.我國某企業(yè)研發(fā)的家用機器人，其生產共有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道工序是出廠檢測工序，包括智能自動檢測與人工抽檢，其中智能自動檢測為次品的會被自動淘汰，合格的進入流水線進行人工抽檢．已知該家用機器人在生產中前三道工序的次品率分別為．（1）已知某批次的家用機器人智能自動檢測顯示合格率為，求在人工抽檢時，工人抽檢一個家用機器人恰好為合格品的概率（百分號前保留兩位小數）；（2）該企業(yè)利用短視頻直播方式擴大產品影響力，在直播現場進行家用機器人推廣活動，現場人山人海，場面火爆，從現場抽取幸運顧客參與游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運顧客，每次都要有放回地從10張分別寫有數字的卡片中隨機抽取一張，指揮家用機器人運乒乓球，直到獲得獎品為止，每次游戲開始時，甲箱中有足夠多的球，乙箱中沒有球，若抽的卡片上的數字為奇數，則從甲箱中運一個乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的數字為偶數，則從甲箱中運兩個乒乓球到乙箱，當乙箱中的乒乓球數目達到9個時，獲得獎品優(yōu)惠券960元；當乙箱中的乒乓球數目達到10個時，獲得獎品大禮包一個，獲得獎品時游戲結束．①求獲得“優(yōu)惠券”的概率；②若有16個幸運顧客參與游戲，每人參加一次游戲，求該企業(yè)預備的優(yōu)惠券總金額的期望值．解：（1）設家用機器人經過前三道工序后是合格品的概率為，則，設家用機器人智能自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，則，，所以，即在人工抽檢時，工人抽檢一個家用機器人恰好為合格品的概率約為.（2）①設乙箱中有個球的概率為，第一次抽到奇數，家用機器人運個乒乓球，概率為，即，乙箱中有個球，有兩類情況，所以，乙箱中有個球的情況有：i家用機器人已運個球，又抽出偶數，其概率為；ii家用機器人