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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知集合,則.故選:C.2.命題“”的否定是()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題,則命題“”的否定為“”.故選:A.3.()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選:D.4.函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為,所以要使函數(shù)有意義,則,解得且,所以的定義域為.故選:B.5.若,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為單調(diào)遞增,所以,因為單調(diào)遞減,所以,所以,即.故選:B.6.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時,,所以,排除C,D;當(dāng)時,,所以,A正確,B錯誤.故選:A.7.如圖,為滿足居民健身需求,某小區(qū)計劃在一塊直角三角形空地中建一個內(nèi)接矩形健身廣場(陰影部分),則健身廣場的最大面積為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)矩形廣場的長為,寬為,且,,由三角形相似性質(zhì)得,化簡得,而,當(dāng)且僅當(dāng)時取等,故,故健身廣場的最大面積為.故選:C.8.設(shè)函數(shù),若恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函數(shù)以及的圖象,的零點為0,的零點為,由于函數(shù)恰有兩個零點,結(jié)合圖象可知,當(dāng)時,時,無零點,當(dāng)時,有零點,此時恰有兩個零點,符合題意;當(dāng)時,時,有零點0,當(dāng)時,有零點為,此時恰有三個零點,不符合題意;當(dāng)時,時,有零點0,當(dāng)時,有零點為,此時恰有兩個零點,符合題意;當(dāng)時,時,有零點0,當(dāng)時,沒有零點,此時恰有一個零點,不符合題意;綜合可知t的取值范圍為.故選:D.二、多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A,設(shè)定義域為R,且,即為偶函數(shù);對于B,設(shè)定義域為R,滿足,即為偶函數(shù);對于C,定義域為,且為奇函數(shù);對于D,定義域為R,且為偶函數(shù).故選:ABD.10.已知,若關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解,則的可能取值有()A. B.1 C.2 D.3〖答案〗AD〖解析〗關(guān)于不等式即,即,當(dāng)時,即,解集為空集,不合題意;當(dāng)時,的解滿足,要使得關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解,需,由于,故;當(dāng)時,的解滿足,要使得關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解,需,由于,故,綜合得的可能取值.故選:AD.11.已知,且,則()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A選項,因為,且,所以,所以,所以,,所以,又,所以,所以,,由,所以,所以,故A錯誤;對于B選項,,故B正確;對于C選項,,故C正確;對于D選項,因為,,所以,所以,故D錯誤.故選:BC.12.關(guān)于函數(shù),以下結(jié)論正確的是()A.方程有唯一的實數(shù)解,且B.對恒成立C.對,都有D.對,均有〖答案〗AC〖解析〗A選項,由于在R上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,故在定義域上單調(diào)遞增,又,故由零點存在性定理可得,方程有唯一的實數(shù)解,且,A正確;B選項,,,顯然,由于與不一定相等,故與不一定相等,B錯誤;C選項,由A選項可知,在定義域上單調(diào)遞增,對,都有,C正確;D選項,,均有,,由于,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故,即,D錯誤.故選:AC.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.計算____________.〖答案〗19678〖解析〗,故〖答案〗為:1967814.已知函數(shù),則的〖解析〗式為____________.〖答案〗〖解析〗令,則,即.故〖答案〗為:.15.如圖,角的始邊為軸的非負(fù)半軸,終邊與單位圓相交于點,將角的邊繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角,則____________.〖答案〗〖解析〗由題意知角的始邊與單位圓相交于點,故,將角的邊繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角,則.故〖答案〗為:.16.函數(shù)在上單調(diào)遞增,且的圖象向左平移個單位后與原來的圖象重合.若方程在上的解為,則____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的最小正周期為,則,故,又的圖象向左平移個單位后與原來的圖象重合,故為函數(shù)的一個周期,故最小正周期,即,解得,若,則,時,,由于在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,不合要求,若,則,時,,此時滿足在上單調(diào)遞增,滿足要求,,,,由對稱性可得,即,故.故〖答案〗為:.四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知全集,集合.(1)當(dāng)時,求;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)時,集合,則;又,所以或.(2)若,當(dāng),即,即;當(dāng)時,應(yīng)滿足,解得;綜上知,實數(shù)a的取值范圍是.18.已知定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,.(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出的圖象(網(wǎng)格小正方形的邊長為1);(2)求函數(shù)在R上的〖解析〗式,并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間.解:(1)作出函數(shù)圖象如圖:(2)由題意知定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則時,;當(dāng)時,,則,故;函數(shù)的值域為R;單調(diào)遞增區(qū)間為:;遞減區(qū)間為:.19.設(shè)函數(shù)且.(1)若,解不等式;(2)若在上的最大值與最小值之差為1,求的值.解:(1)由可得,解得,即,則,即,即,故不等式的解集為.(2)由于在上的最大值與最小值之差為1,故,即或,即的值為或.20.已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的〖解析〗式;(2)設(shè)A,B,C是的內(nèi)角,若,求的最大值.解:(1),因為函數(shù)最小正周期為,,所以,所以,所以.(2)設(shè)A,B,C是的內(nèi)角,若,則,即,所以,,即,,又,所以,則,所以,,則,由,,所以,即,當(dāng)時,取最大值,此時,所以取最大值.21.2023年9月17日,聯(lián)合國教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會通過決議,將中國“普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》,成為全球首個茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗表明,某種普洱茶用95的水沖泡,等茶水溫度降至60飲用,口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下,剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間,每隔1分鐘測量一次茶水溫度,得到茶水溫度y(單位:)與時間(單位:分鐘)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:時間/分鐘012345水溫/95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數(shù)模型:①,②,③,請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型,簡單敘述理由,并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的〖解析〗式.(2)根據(jù)(1)中所求模型,(i)請推測實驗室室溫(注:茶水溫度接近室溫時,將趨于穩(wěn)定);(ii)求剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間(精確到0.1).(參考數(shù)據(jù):)解:(1)由表格數(shù)據(jù)可知,函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢,模型③為單調(diào)遞增的函數(shù),不符合,模型①為直線型,不符合遞減速度逐漸變慢,故模型①③不符合,選模型②,則,解得,所以.(2)(i)因為當(dāng)趨于無窮大時,無限接近于,所以推測實驗室室溫為.(ii)令,則,所以,即剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間為.22.函數(shù).(1)求和的值,判斷的單調(diào)性并用定
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