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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知集合,則.故選:C.2.命題“”的否定是()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題,則命題“”的否定為“”.故選:A.3.()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選:D.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?,所以要使函?shù)有意義,則,解得且,所以的定義域?yàn)?故選:B.5.若,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閱握{(diào)遞增,所以,因?yàn)閱握{(diào)遞減,所以,所以,即.故選:B.6.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí),,所以,排除C,D;當(dāng)時(shí),,所以,A正確,B錯(cuò)誤.故選:A.7.如圖,為滿足居民健身需求,某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形健身廣場(chǎng)(陰影部分),則健身廣場(chǎng)的最大面積為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)矩形廣場(chǎng)的長(zhǎng)為,寬為,且,,由三角形相似性質(zhì)得,化簡(jiǎn)得,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,故,故健身廣場(chǎng)的最大面積為.故選:C.8.設(shè)函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函數(shù)以及的圖象,的零點(diǎn)為0,的零點(diǎn)為,由于函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖象可知,當(dāng)時(shí),時(shí),無(wú)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),有零點(diǎn),此時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn),符合題意;當(dāng)時(shí),時(shí),有零點(diǎn)0,當(dāng)時(shí),有零點(diǎn)為,此時(shí)恰有三個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),時(shí),有零點(diǎn)0,當(dāng)時(shí),有零點(diǎn)為,此時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn),符合題意;當(dāng)時(shí),時(shí),有零點(diǎn)0,當(dāng)時(shí),沒(méi)有零點(diǎn),此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;綜合可知t的取值范圍為.故選:D.二、多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A,設(shè)定義域?yàn)镽,且,即為偶函數(shù);對(duì)于B,設(shè)定義域?yàn)镽,滿足,即為偶函數(shù);對(duì)于C,定義域?yàn)?,且為奇函?shù);對(duì)于D,定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù).故選:ABD.10.已知,若關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解,則的可能取值有()A. B.1 C.2 D.3〖答案〗AD〖解析〗關(guān)于不等式即,即,當(dāng)時(shí),即,解集為空集,不合題意;當(dāng)時(shí),的解滿足,要使得關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解,需,由于,故;當(dāng)時(shí),的解滿足,要使得關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解,需,由于,故,綜合得的可能取值.故選:AD.11.已知,且,則()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)椋?,所以,所以,所以,,所以,又,所以,所以,,由,所以,所以,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),,故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),,故C正確;對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)椋?,所以,所以,故D錯(cuò)誤.故選:BC.12.關(guān)于函數(shù),以下結(jié)論正確的是()A.方程有唯一的實(shí)數(shù)解,且B.對(duì)恒成立C.對(duì),都有D.對(duì),均有〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng),由于在R上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,故在定義域上單調(diào)遞增,又,故由零點(diǎn)存在性定理可得,方程有唯一的實(shí)數(shù)解,且,A正確;B選項(xiàng),,,顯然,由于與不一定相等,故與不一定相等,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),由A選項(xiàng)可知,在定義域上單調(diào)遞增,對(duì),都有,C正確;D選項(xiàng),,均有,,由于,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故,即,D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.計(jì)算____________.〖答案〗19678〖解析〗,故〖答案〗為:1967814.已知函數(shù),則的〖解析〗式為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗令,則,即.故〖答案〗為:.15.如圖,角的始邊為軸的非負(fù)半軸,終邊與單位圓相交于點(diǎn),將角的邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角,則____________.〖答案〗〖解析〗由題意知角的始邊與單位圓相交于點(diǎn),故,將角的邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角,則.故〖答案〗為:.16.函數(shù)在上單調(diào)遞增,且的圖象向左平移個(gè)單位后與原來(lái)的圖象重合.若方程在上的解為,則____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的最小正周期為,則,故,又的圖象向左平移個(gè)單位后與原來(lái)的圖象重合,故為函數(shù)的一個(gè)周期,故最小正周期,即,解得,若,則,時(shí),,由于在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,不合要求,若,則,時(shí),,此時(shí)滿足在上單調(diào)遞增,滿足要求,,,,由對(duì)稱(chēng)性可得,即,故.故〖答案〗為:.四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知全集,集合.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)時(shí),集合,則;又,所以或.(2)若,當(dāng),即,即;當(dāng)時(shí),應(yīng)滿足,解得;綜上知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.已知定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.(1)在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象(網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1);(2)求函數(shù)在R上的〖解析〗式,并寫(xiě)出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間.解:(1)作出函數(shù)圖象如圖:(2)由題意知定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,故;函數(shù)的值域?yàn)镽;單調(diào)遞增區(qū)間為:;遞減區(qū)間為:.19.設(shè)函數(shù)且.(1)若,解不等式;(2)若在上的最大值與最小值之差為1,求的值.解:(1)由可得,解得,即,則,即,即,故不等式的解集為.(2)由于在上的最大值與最小值之差為1,故,即或,即的值為或.20.已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的〖解析〗式;(2)設(shè)A,B,C是的內(nèi)角,若,求的最大值.解:(1),因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為,,所以,所以,所以.(2)設(shè)A,B,C是的內(nèi)角,若,則,即,所以,,即,,又,所以,則,所以,,則,由,,所以,即,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),所以取最大值.21.2023年9月17日,聯(lián)合國(guó)教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會(huì)通過(guò)決議,將中國(guó)“普洱景邁山古茶樹(shù)文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》,成為全球首個(gè)茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗(yàn)表明,某種普洱茶用95的水沖泡,等茶水溫度降至60飲用,口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下,剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間,每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度,得到茶水溫度y(單位:)與時(shí)間(單位:分鐘)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:時(shí)間/分鐘012345水溫/95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數(shù)模型:①,②,③,請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型,簡(jiǎn)單敘述理由,并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的〖解析〗式.(2)根據(jù)(1)中所求模型,(i)請(qǐng)推測(cè)實(shí)驗(yàn)室室溫(注:茶水溫度接近室溫時(shí),將趨于穩(wěn)定);(ii)求剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間(精確到0.1).(參考數(shù)據(jù):)解:(1)由表格數(shù)據(jù)可知,函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢,模型③為單調(diào)遞增的函數(shù),不符合,模型①為直線型,不符合遞減速度逐漸變慢,故模型①③不符合,選模型②,則,解得,所以.(2)(i)因?yàn)楫?dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),無(wú)限接近于,所以推測(cè)實(shí)驗(yàn)室室溫為.(ii)令,則,所以,即剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為.22.函數(shù).(1)求和的值,判斷的單調(diào)性并用定
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