2022屆廣東省名校高考模擬卷 數(shù)學(xué)試題（一） 解析

2022年高考仿真模擬卷一（廣東）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},8={3,4,5},則⑹4）02等于（）

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{4,5}

2.已知函數(shù)/（x）=2-2,則函數(shù)y=|/（尤）|的圖象可能是（）

3.已知正數(shù)為y,Z滿足/+2+z2=],則5=^1-^1—-7的最小值為

2xyz

71

4.T^/（x）=?sin2j;+Z?cos2x,其中。，beR,abwO,若/（無）4/對一切xeR恒成立，則以上結(jié)

論正確的是（）

?JT2冗

C.“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是kn+-,kn+=-（丘Z）

o5

D.存在經(jīng)過點（。,6）的直線與函數(shù)〃x）的圖象不相交

2121

5.若（l+x+/）=a0+a1x+a2xH--Fal2x,則生+/+牝"---^%2等于（）

A.284B.356C.364D.378

6.為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨

委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推

動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行.若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個階段，且主題班會、主題團(tuán)日安排的階段相

鄰，則不同的安排方案共有（）

A.12種B.28種C.20種D.16種

22

7.已知片，鳥是橢圓+}=1（。>6>0）的左右焦點，點M是過原點。且傾斜角為60°的直線/與橢圓C

的一個交點，且|西+祈可=|祈耳-祈耳，則橢圓C的離心率為（）

A.；B.2—A/3

C.73-1D.B

2

8.已知四面體ABCD的每個頂點都在球。（。為球心）的球面上，AABC為等邊三角形，AB=BD=2,

ADf，J.AC1BD,則二面角A-CD—O的正切值為（）

A.立B.逅C.在D.叵

3636

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

2

9.已知復(fù)數(shù)2=三，其中i為虛數(shù)單位，則（）

1-1

2

A.忖=2B.z=2i

C.z的共軌復(fù)數(shù)為「iD.z的虛部為1

10.如圖，正方體ABC。-A耳G2的棱長為。，線段8a上有兩個動點E,F,且EF=4,以下結(jié)論

2

正確的有（）

A.ACYBE

B.點A到平面3跖的距離為定值

C.三棱錐A-的體積是正方體ABC。-A耳GR體積的，

D.異面直線AE,3尸所成的角為定值

11.中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山，西岳華山,

南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口計劃在假期出游，每人選一個地方，則（）

A.恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為20

B.恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為60

C.恰有1人選泰山的概率是言

D.恰有1人選泰山的概率是：

12.設(shè)函數(shù)〃對=詈320）,0=2.71828…,則（）

A./（同在（0,|^上單調(diào)遞增

B.的最大值為了、），最小值為/

C.方程〃x）=［（尤＞0）有無數(shù)個解

D.若/"（X）4"恒成立，則。=1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

|lg(x-l)|,x>l

13.設(shè)定義域為R的函數(shù)/。）=若關(guān)于X的方程2［〃x）了+2妙（x）+1=0有8個不同的實

—%2+1,xW1

根，到實數(shù)b的取值范圍是.

14.已知定義域為R的奇函數(shù)的周期為2,且一。,1］時，小）=叫廣若函數(shù)尸⑺=/四7吟、在

區(qū)間［-3,m\（加eZ且加＞-3）上至少有5個零點，則m的最小值為,

15.設(shè)函數(shù)的定義域為A,“X）為偶函數(shù)，〃x+l）為奇函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時，f［x｝=a-T+b,若

/（0）+/（1）=^,則.

16.在邊長為1的等邊三角形4BC中，。為線段BC上的動點，DEL鉆且交A8于點E.O尸〃AB且交AC

于點F,則e荏+而?的值為；（友+而）（詼+而）的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）已知數(shù)列｛4｝的首項為2,且-+山田=2（此一2〃+2）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)求數(shù)列的前n項和S”.

18.(12分)已知=f—卜一4,g(x)=cos2x+26zsinx+24i-2.

(1)若a=l時，求函數(shù)〃%)的值域.

TTSjT

(2)若g(x)+2W0對xe恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

_4o

57r77r

(3)若對任意的為eR,xe—,都有，(占)幺伍)，求實數(shù)。的取值范圍.

2o4

19.(12分)如圖，C是以為直徑的圓。上異于A3的點，平面PACL平面ABC,PA=PC=AC=2,

8c=4,E,尸分別是PC,PB的中點，記平面AEV與平面ABC的交線為直線/.

(1)證明：3CL平面PAC；

(2)直線/是否存在點Q,使直線尸。分別與平面碼、直線所所成的角互余？若存在，求出AQ的值;

若不存在，請說明理由.

丫22

20.(12分)己知C：=+多=1的上頂點到右頂點的距離為近，離心率為：，過橢圓左焦點片作不與x

軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點，直線加的方程為：x=-2a,過點M作ME垂直于直線”2交直

線加于點E.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)①求證線段EN必過定點尸，并求定點P的坐標(biāo).

②點。為坐標(biāo)原點，求AOEN面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/■(x)=4(x-l)-xlnx(aeR).

(1)求函數(shù)F3的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)0<x4l時，/(尤)40恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

IniIn2Innn(n-l)

(3)設(shè)〃eN*,求證:-------1--------F…H----------?

23n+14

22.(12分)某地政府為了幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民提高經(jīng)濟(jì)收入，開發(fā)了一種新型水果類食品，該食品生產(chǎn)成本為

每件8元.當(dāng)天生產(chǎn)當(dāng)天銷售時，銷售價為每件12元，當(dāng)天未賣出的則只能賣給水果罐頭廠，每件只能賣

5元.每天的銷售量與當(dāng)天的氣溫有關(guān)，根據(jù)市場調(diào)查，若氣溫不低于30℃,則銷售量為5000件；若氣溫

在［25,30）內(nèi)，則銷售量為3500件；若氣溫低于25℃,則銷售量為2000件.為制定今年9月份的生產(chǎn)計

劃，統(tǒng)計了前三年9月份的氣溫數(shù)據(jù)，得到下表：

氣溫/℃[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)414362115

以氣溫位于各區(qū)間的頻率代替氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求今年9月份這種食品一天的銷售量X（單位：件）的分布列和均值；

（2）設(shè)今年9月份一天銷售這種食品的利潤為￥（單位：元），這種食品一天的生產(chǎn)量為w（單位：件），

若3500W“45000,求V的均值的最大值及對應(yīng)的”的值.

2022年高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷一（廣東）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},3={3,4,5},則⑹A）A3等于（）

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{4,5}

答案：B

根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識求得正確選項.

【詳解】

楙={1,5,6},（^m8={5}.

故選：B

2.己知函數(shù)/（尤）=2,-2,則函數(shù)y=|/（刈的圖象可能是（）

答案：B

先將函數(shù)化成分段函數(shù)的形式，再根據(jù)函數(shù)在不同范圍上的性質(zhì)可得正確的選項.

【詳解】

9X_2Y>1

'一易知函數(shù)y=，（x）|的圖象的分段點是x=l,且過點（1,0）,（0,1）,又|〃x）上。,

H2—2,x<1

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)圖象的識別，此類問題一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)在特殊點處的函數(shù)的符號等來

判別，本題屬于基礎(chǔ)題.

1-1-7

3.已知正數(shù)羽y，z滿足Y+y+z2=i,則5=^^_的最小值為

2xyz

A.3B.M百+1）C,4D,2（A/2+1）

答案：C

【詳解】

由題意可得，0<z<l,0<l-z<l

???z（l-z）?=%當(dāng)且僅當(dāng)z=l—Z即Z=g時取等號）

x2+y2+Z2=1

.\l-z2=x2+y2>2xy（當(dāng)且僅當(dāng)％=V時取等號）

即匕辿±1.1

2xy2xy

1+z1

*.*1—z>0——???■：----

2xy1—z

，惠心54（當(dāng)且僅當(dāng)個呼,z=；時取等號）

1+z

則5=^—的最小值4

2xyz

4.設(shè)〃x）=asin2x+bcos2x,其中“，bcR,ab^O,若/（尤）V對一切xeR恒成立，則以上結(jié)

論正確的是（）

C.的單調(diào)遞增區(qū)間是赤+：題+?（左eZ）

D.存在經(jīng)過點(。,6)的直線與函數(shù)“X)的圖象不相交

答案：A

由輔助角公式得出解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出°=揚(yáng)，再由解析式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

/(%)=asin2x+Z?cos2x,其中a,6eR,ab^O

71

若〃力47對一切則X￡R恒成立

所以=g+方=,整理得42+3〃_26仍=0,故°=血

16J22

所以〃x)=2bsin12x+j

對于A：/［詈］=2加m］2*(+e］=2金山2兀=0,故A正確；

對于3??.二-尋=5，￡-￡=京，，號和g與對稱軸的距離相等，寒］=/(』，故B不正確;

103305o30105"(JJ

對于C：當(dāng)b>0時，<2x+—<2fai+—(Z:GZ),解得E—工<X<E+&(%￡Z),故C錯誤；

26236

對于。：由于函數(shù)八％)的最大值為2網(wǎng)，所以經(jīng)過點(〃力)的直線與函數(shù)"%)的圖象相交，故。錯誤.

故選：A

212

5.若(l+x+%2)=a^+a^x+^x-\-----Fai2x,則%+Q4+Q6"*-----等于()

A.284B.356C.364D.378

答案：C

利用賦值法列出關(guān)于系數(shù)的方程組即可求解.

【詳解】

令%=],則佝+q+%H----F%2=3‘①,

令x=-1,則〃0_〃1+〃2------F%2=1②,

①②兩式左、右分別相加，得2(4+4+…+&)=36+1=730,

aQ+a2-\----F%2=365,再令％=0,貝lj4=l,

%+%+…+%2=364.

故選：C.

6.為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨

委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推

動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行.若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個階段，且主題班會、主題團(tuán)日安排的階段相

鄰，則不同的安排方案共有（）

A.12種B.28種C.20種D.16種

答案：C

分中心組學(xué)習(xí)在第1階段和第2階段分別求解，再利用分類加法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】

若中心組學(xué)習(xí)安排在第1階段，則其余四種活動的安排方法有12（種）；若中心組學(xué)習(xí)安排在第2

階段，則主題班會、主題團(tuán)日可安排在第3,4階段或者第4,5階段，專題報告會、黨員活動日分別安排

在剩下的2個階段，不同的安排方法有2MM=8（種）.故共有12+8=20種不同的安排方案，

故選：C.

22

7.已知久，鳥是橢圓0:'+方=1（。>6>0）的左右焦點，點“是過原點。且傾斜角為60°的直線/與橢圓C

的一個交點，且|西+祈可=|祈耳-祈耳，則橢圓C的離心率為（）

A.yB.2—5/3

C.V3-1D.也

2

答案：C

由|而+址同=|而-說］分析可得出AMEK為直角三角形，再結(jié)合條件及橢圓定義得到c+&=2a,即

得.

【詳解】

不妨設(shè)“在第一象限，由|砒+說西-近］,兩邊平方后化簡得:

MF{MF\=Q,所以麗_1_麗.

在中,

ZMOF2=60,\OM\=C,\OF2\=C,

；.ZMF2Fl=60°,\MF^=c,\MF\=y[31.

由橢圓定義可知：附圖+|班卜c+Gc=2a,

所以離心率e=（=d^=^T.

故選：C.

8.已知四面體A3CD的每個頂點都在球。（。為球心）的球面上，AABC為等邊三角形，AB=BD=2,

AD=V2，且AC_L8￡>,則二面角A-CD—。的正切值為（）

A.如B.逅C.&D.巫

3636

答案：A

若E為AC中點，連接BE,DE,利用線面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面ADC_L面A3C,

結(jié)合已知條件有AADC為等腰直角三角形，進(jìn)而可確定四面體外接球球心的位置，若廠為DC中點，連接

EF,OF,易知/EFO即為二面角A-CD-O的平面角，即可求其正切值.

【詳解】

若E為AC中點,連接由AABC為等邊三角形，則BE_LAC,XAC1BD,且BEcBD=B,

：.AClffiBDE,又DEu面BDE,即AC_LDE,

由題設(shè)，BE=6,AE=DE—CE-1,而3￡）=2,

DE2+BE2=BD2，即上,班，又ACcBE=E,AC,BEu面ABC,

/.D￡±?ABC,而￡>“<=面ADC,則面"）。_1_面ABC,

由上可得：DC=y/2,則。C?+AD?=AC?,故△ADC為等腰直角三角形，

綜上，四面體ABC。的球心。為AABC的中心，即BE靠近E的三等分點，

若歹為DC中點，連接所,。/，易知：NER9即為二面角A—CD-O的平面角，

由上BE_LAC、DE_L6E■且ACnOE=E,AC,DEu面ADC,可得8E1面ADC,

又EFu面ADC,則BEJ_EF,即OE_L￡F,

/.tanZEFO=—,而0E=阻力,EF=^,

EF332

/.tanZEFO=—.

3

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)線線垂直、勾股定理，結(jié)合線面、面面垂直的判定證面ADCL面ABC且AADC為等腰

直角三角形，即可確定四面體球心的位置，再由二面角的定義找到其平面角，最后由已知條件求其正切值

即可.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

2

9.已知復(fù)數(shù)2=三，其中i為虛數(shù)單位，則（）

1-1

2

A.忖=2B.z=2i

C.z的共朝復(fù)數(shù)為1—iD.z的虛部為1

答案：BCD

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z,然后求其模，平方后判斷AB,根據(jù)共物復(fù)數(shù)定義判斷C,由復(fù)數(shù)定義判斷D.

【詳解】

2_2(l+i)

由題意可知,

口一(l-i)(l+i)

對于選項A,|z|=A/12+12=A/2?故選項A錯誤;

22

對于選項B,z=（l+i）=l+2i-l=2i,故選項B正確；

對于選項C,z的共軌復(fù)數(shù)為1—i,故選項C正確；

對于選項D,z的虛部為1,故選項D正確；

故選：BCD.

10.如圖，正方體ABC。-A片GD的棱長為“，線段BQ上有兩個動點E,F,&EF=￡,以下結(jié)論

2

正確的有（）

Q

b-------------%

A.AC±BE

B.點A到平面3EF的距離為定值

C.三棱錐A-麻戶的體積是正方體ABC。-2體積的，

D.異面直線AE,3尸所成的角為定值

答案：ABC

由線面垂直推出異面直線垂直可判斷A；由點到平面的距離可判斷B；運(yùn)用三棱錐的體積公式可判斷C；

根據(jù)異面直線所成角的定義判斷D.

【詳解】

解：對于A,根據(jù)題意，AC±BD,AClDDt,且所以AC,平面2￡>2瓦，而3Eu平面

BDD{B{,所以所以A正確；

對于3,A到平面CDDG的距離是定值，所以點A到ABEF的距離為定值，所以B正確；

對于C,三棱錐4-3所的體積為匕.BEF="EA-s加45。='xL也^xaxax,三棱

32322212

錐4-3EF的體積是正方體ABCD-AqG。體積的］,所以C正確；

對于。，當(dāng)點￡在2處，尸為。耳的中點時，異面直線AE,所成的角是/EBG，當(dāng)E在。耳的中點

時，F(xiàn)在Bj的位置，異面直線AE,BF所成的角是/EA4,顯然兩個角不相等，命題。錯誤；

故選：ABC.

11.中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山，西岳華山，

南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口計劃在假期出游，每人選一個地方，則（）

A.恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為20

B.恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為60

C.恰有1人選泰山的概率是精

D.恰有1人選泰山的概率是：2

答案:BC

根據(jù)排列、組合的公式，求得恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為60,得到A錯誤，8正確；再由3個人隨

機(jī)選5個地方總數(shù)為53種，進(jìn)而求得恰有1人選泰山含基本事件數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求

解.

【詳解】

由題意，恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為C；M=60,故A錯誤，B正確；

又由3個人隨機(jī)選5個地方，基本事件的總數(shù)為53=125種不同方式，

其中恰有1人選泰山含基本事件數(shù)C（A：+&）=48中旅游方式,

所以恰有1人選泰山的概率尸=芮，所以C正確，D錯誤.

故選：BC.

12.設(shè)函數(shù)/（無）=警（彳20）,6=2.71828-，則（）

A.在上單調(diào)遞增

B.的最大值為了（?）最小值為了（?）

C.方程/（x）=：（尤＞0）有無數(shù)個解

D.若/'（X）4區(qū)恒成立，貝^3=1

答案：BD

求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性確定AB正誤，函數(shù)放縮判斷C,構(gòu)造函數(shù)最值判斷D

【詳解】

..尸⑴_cosx-sinx_及8,卜+4J.7（尤）在^2k;r+^-,2^+eN單調(diào)遞減

exex

2k7l+—,2k7l+—\kGN單調(diào)遞增，

當(dāng)X越大，分母產(chǎn)越來越大，sinx具有周期性故只可能在［0,2句取到最大值A(chǔ)錯，5正確

xxr

C.當(dāng)x>0時，y=e-ex,y'=e-e.-.x>l,y>0;x<l,y'<0,ymin=0即/..ex,又sint,1,,則

—從而〃x)=L(無>0)無解，：.C錯.

exxx

D.令g(%)=/(%)-Ax=--——kx,

要使/(x)?kx總成立，只需0,

先考慮xe［O,勺時，對蚣)求導(dǎo)，可得，("Osin、),

2e”

人一、cosx-sinxmi、-2cosx?「八冗、、

令h(x)=-----——，貝！I”(x)=——<0(xe［0,-］)

ee2

所以/?(%)在［0,自上為減函數(shù)，而〃(。)=1,〃(多二-二，所以力⑺￡［-二，I］；

對化分類討論：

①當(dāng)匕，->時，g'(x>?。恒成立，所以g(無)在［0，馬上為增函數(shù)，

所以8@)小=g(10=/5一與，即g(x),,g(10=>T，

n兀

由e林-3,0,解得：上…叱，故—軸3-無解；

27171

②當(dāng)(左<1時，g'3=°在上有實根一,

因為心)在［0,勺上為減函數(shù)，所以當(dāng)無e5,$時，g'(x)<0,

所以g(/)>g(0)=0,不符合題意；

③當(dāng)后.」時，g'(x),,。恒成立，所以g(無)在［0,上為減函數(shù)，

則g(x),,g(0)=0,故成立；綜上，可得實數(shù)%的取值范圍是［1,+8).

當(dāng)尤《仁,+8),g(x)=/(x)-依■-依故%n=1

故選：BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)定義域為H的函數(shù)于。)=［恒卜-1)1,若關(guān)于x的方程2［〃尤)丁+2&⑺+1=0有8個不同的實

根，到實數(shù)6的取值范圍是.

答案:

由/(X)解析式畫出函數(shù)圖象，若，=/(%)且加、W為2r+24+1=0的兩根，結(jié)合圖像可知：m、?e(0,l),

再應(yīng)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系及對勾函數(shù)的值域求6的取值范圍.

【詳解】

由題設(shè)，〃x)的圖象如下圖示：

令，=/（尤），則21/（尤）］+2勿7（x）+1=0化為2f2+24■+1=0,

，要使原方程有8個不同實根，貝1」2產(chǎn)+26+1=0有2個不同的實根且兩根機(jī)、?e（0,l）,

b<-y/2

A=4Z?2-8>0

m+（=-b，又>=m+5：在（g,乎）上遞減，在（g,l）上遞增，且

m+n=—b可得

1

nm=一1,

—<m<1

212

,,3一更=a,即一be詆當(dāng)

y\i=yL=i=z

。222

綜上，be（-T，-&）

故答案為:

已知定義域為E的奇函數(shù)9的周期為2,且-。,1］時，?。?1。y若函數(shù)收）:小…嗚”在

區(qū)間［-3,m|（meZ且加>-3）上至少有5個零點，則加的最小值為

答案：2

先根據(jù)條件分析函數(shù)〃x）的性質(zhì)，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=〃x）和y=sin］x的圖象交點問題，再根

據(jù)圖象求解出機(jī)的最小值.

【詳解】

因為丁=/（尤）是奇函數(shù)，所以"0）=0,又因為函數(shù)〃尤）的周期為2,

所以〃-2）=〃0）=〃2）=0,

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y="力和〉=而'工的圖象（如圖），

觀察圖象可知y=/（x"Dy=sin：x的圖象在［-3,2］上有五個交點，

而函數(shù)尸（x）=〃x）-sin5x在區(qū)間［-3,m］（aeZ且〃z>-3）上有至少有5個零點,

所以加22,所以加的最小值為2.

故答案為：2.

15.設(shè)函數(shù)〃x）的定義域為A,〃x）為偶函數(shù)，〃x+l）為奇函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時，f（x）=a-T+b,若

/（o）+/（i）=^,貝V弓］=.

答案：4-4A/2

根據(jù)題意，結(jié)合奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，列方程組求出“和6,即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，由〃x+l）為奇函數(shù)，得〃尤）關(guān)于。,0）對稱,

故/(1)=0,即2a+Z?=0,

???”0)+/⑵=0,〃0)=—f(2)=-(4a+6),

又???〃0)+/(l)=Y,

/./(0)=-4,即4。+6=4,

2a+b=0

由4?=4'解得0=2''=4

7

0,

2

3A

2x22-4=4-4A/2.

7

故答案為：4-472.

16.在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段8C上的動點，/加，筋且交42于點￡.1方〃45且交4。

于點R貝中族+而|的值為；（瓦+而）?（麗+皮）的最小值為.

71

答案：1

160

設(shè)3E=x,由（2而+礪了=4而?+4麗?麗+而2可求出；將（￡>E+￡）F）（D4+￡）q化為關(guān)于x的關(guān)系式

即可求出最值.

【詳解】

設(shè)BE-x,如圖，

?「△ABC為邊長為1的等邊三角形，DELAB,

NBDE=30°,BD=2x,DE=\/3x,DC=1—2x,

DF//AB,

.?.△DM?為邊長為1-2%的等邊三角形，DELDF,

(2BE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2%)xcos0。+(1-2x)2=1，

:\2BE+DF\=\,

■.■(DE+DFyiDA+DCy^fDE+DFYCDE+EA+DC^DE2+DFEA+DE-DC+DF-DC

=(V3x)2+(1-2x)x(l-x)+73x(1-2X)COS150°+(1-2X)2COS60°

所以當(dāng)尤=吳時，（無+而）?（麗+而）的最小值為2.

40\/\/160

71

故答案為：1；——.

160

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）已知數(shù)列｛%｝的首項為2,且（"+1）”用=2（的_2"+2）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列卜勺前〃項和S".

答案:

T

(1)數(shù)列｛%｝的通項公式為4=

("1)2+]，

(2)S“=2-空.

no〃一1

1+1)%

⑴由=2(1-2〃+2)可得("+1)*=2[(“-1)2+1口，結(jié)合等比數(shù)列的概念和通項公式可得

[(?-l)2+lK=2\由此求出數(shù)列｛4｝的通項公式；(2)由(1)可得5-利用錯位相減法求其前幾

22

項和S〃.

(1)

1+l)a“+i

=2(ra2-2n+2)

%

22

n^l)an+i=2[(n-l)+l]an,

又。]=2w0,

???數(shù)列｛[("-1)2+1]〃“｝為首項為2,公比為2的等比數(shù)歹U，

**?[(〃—1)2+=2",

T

n2—2〃+2

(2)

n21n2/一2〃+2n-1

由⑴

X~2n2〃_2"一1，

123n-1

???S,_——I-———|—...—|----------

2122232'1'

n-112n-2

-S,

2，丁丁丁…2,

1n-1111

-S,一下一~"夢+/+-一+尹,

21

〃一1111?r1n-1n+1

?-S"=l_^=r+L齊+…+^^=2(1-產(chǎn)x)=,

18.(12分)已知/(力=%2—,一同，g(x)=cos2%+2asinx+2o-2.

(1)若4=1時，求函數(shù)/(X)的值域.

TTS冗

(2)若g(x)+2W0對xe恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

4o

(3)若對任意的占eR,xe-,都有/(占)*伍)，求實數(shù)。的取值范圍.

2o4

答案：

(1),+°0;

(2)(一雙一：

⑶二;］

L42J

(1)根據(jù)題意，分x'l和尤＜1兩種情況討論求解；

(2)令f=sinx,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為?—2R—(2。+1)、0對此恒成立，進(jìn)而分和。＞-1兩種

情況討論求解即可；

(3)由題知有了(彳人》g(x)max，令，=SinX,則有g(shù)⑺=一產(chǎn)+2帚+2。-1,t€-1,—,

f(^)=j2'＞進(jìn)而分當(dāng)時，當(dāng)-lVa＜-g時，當(dāng)-1時，當(dāng)0＜a4!時，當(dāng)。時,

［尤+無一a,x＜。2222

四種情況討論求解即可.

(1)

解：若0=1時，/(x)=x2-|x-l|,

當(dāng)xNl時，-x+1,對稱軸為x=g,

所以〃尤)在區(qū)間［1,E)上單調(diào)遞增，在X=1處取得最小值"1)=1,

當(dāng)x＜l時，f(x)=x2+x-l,對稱軸為X=-；,

所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故在X=_；處取得最小值,

所以有

綜上所述，“X)的值域為

(2)

解：若g(x)+2W。，即cos2%+2asinx+2aW0,

令t=sinx,有+2at+2cl+1W0,

「?51Pl

即，2—2m—(2々+1)三0,當(dāng)—7T時，tG—,1,

根據(jù)題意有「-2m-（2a+l）\0對te恒成立,

由上一（2a+1）］（f+1）N。，令帖）=［一（2。+1）］?+1）,

當(dāng)2a+l4T,即時，有/z⑺20對te恒成立，

當(dāng)2a+l>—1,即a>-1時,有耳d>0,即——（2a+l）+l^j2：;0解得后一：.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是，應(yīng)-：.

（3）

57

解：若對任意的*eR,xG7。兀，都有/（玉）*（三），故有了（“神Ng"）3,

2A/\\/IIUI1\/IllaX

令，=sinx,貝（J有g(shù)?）=-r+2a/+2a-1,te—1,—,

根據(jù)題意有/（%）=

當(dāng)a<T時，可知〃x）在尤=3處取得最小值-;+a,g⑺在f=J處取得最大值-2,故由-;+a?-2解

得即〃的取值范圍為

4L4）

111

當(dāng)-1工〃<-2時，可知/（%）在％=/處取得最小值-^+〃，g（。在處取得最大值：a2+2a-l,

故由-彳+。2/+2〃-1,可知。的取值范圍為T—不］.

4L

111

當(dāng)-2工。（0時，可知/（%）在x=5處取得最小值-1+〃，g⑺在處取得最大值Q2+2Q—1,故由

-aNa?+2〃-1得〃的取值范圍為-5,。.

當(dāng)0<〃弓時，可知/（%）在％=-；處取得最小值-；-〃，g（。在處取得最大值々2+2〃—1,

故由+2〃—1可知。的取值范圍為卜,；.

當(dāng)時，可知〃力在x=J處取得最小值：g⑺在”;處取得最大值：3〃-：，故由

~~~~a>3〃一二可知無解.

44

-71"

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是-.

19.（12分）如圖，C是以為直徑的圓。上異于A3的點，平面PAC_L平面ABC,PA=PC=AC=2,

BC=4,E,尸分別是PC,總的中點，記平面AE尸與平面ABC的交線為直線/.

(1)證明：BC_L平面PAC；

(2)直線/是否存在點Q,使直線尸。分別與平面心、直線所所成的角互余？若存在，求出A。的值;

若不存在，請說明理由.

答案：

(1)證明見解析

(2)存在，］AQ\=1

(1)由面面垂直推出線面垂直；

(2)建立直角坐標(biāo)系，求出面AEF的法向量加，繼而求出cos<Pg,而S,利用

Icos<PQ,EF>1=1cos<PQ,m>\,故可知直線/上存在點。，使直線加分別與平面AEF、直線E戶所成的角互

余，進(jìn)而求解.

(1)

證明：???￡,尸分別是PB,PC的中點，

:.BC//EF,又印u平面EE4,3c不包含于面EE4,

,3。//面￡/“，又BCu面ABC,面石㈤4c面ABC=/

BCHI,

又3C_LAC,面PACCl面ASC=AC,面PAC_L面ABC,

.?.3C，面PAC,面PAC

(2)

以C為坐標(biāo)原點，C4為x軸，CB為>軸，過C垂直于面A5C的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，4(2,0。，

8(0,4,0),尸。,0,百)，E(；,0與,F(；,2,與,

_.3A/3—■

AAE=(--,0,—),所=(0,2,0),

22,

._3g

設(shè)。(2,y,0),面AE尸的法向量為機(jī)=(x,y,z),貝Ip"玩2^+22°,得玩=(1,0,g),

EF-m=2y=0

且迎=（1,%-百）,

—~.2yIy|?1-31

Icos<PQ,EF>|=||二尸二,|cos<PQ,m>|=|.|=.——-,

2也+y2也+/2y/4+y2y/4+y2

依題意，#Icos<PQ,EF>|=|cos<PQ9m>\,即丁=±1.

「?直線/上存在點。，使直線尸。分別與平面AE尸、直線石尸所成的角互余，|AQ|=1.

22

20.（12分）已知C：「+多=1的上頂點到右頂點的距離為近，離心率為9,過橢圓左焦點寫作不與x

ab/

軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點，直線加的方程為：x=-2a,過點M作ME垂直于直線”2交直

線加于點E.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①求證線段EN必過定點尸，并求定點P的坐標(biāo).

②點。為坐標(biāo)原點，求AOEN面積的最大值.

答案：⑴二+工=1；⑵①證明見解析，定點小軻；②?

43V2J4

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)和離心率，列出方程組，即可求出。涉，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①根據(jù)橢圓的對稱性可知尸必在x軸上，F(xiàn)（-l,0）,可設(shè)直線建V方程：尤=〃7〉-1,聯(lián)立直線和橢圓

的方程組并寫出韋達(dá)定理，從而得出-2町%=3（%+%），求出直線硒的方程，令y=0,即可求出線段EW

所過的定點尸的坐標(biāo)；

②由①可知民-%|=當(dāng)”?，根據(jù)三角形的面積得出Sa。.=Jop恒一%|=熟牛，利用換元法，

c15r15

令，=向工，得出"0HV=，7T=H，最后利用基本不等式求和的最小值，從而得出AOEN面

積的最大值.

【詳解】

y/a2+b2=y/l

解：（1）由題可知：［-=-,所以。=2,b=6,

a2

“2=/+（：2

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1;

43

（2）①由題意知，由對稱性知，P必在x軸上，F(xiàn)（-1,O）,

設(shè)直線MN方程：x=my-1,

設(shè)N(x2,y2),E(-4,yJ,

x=my-1

聯(lián)立方程得龍22,得(3m2+4)y2-6my-9=0,

——+—=1

143

6m-9

所以％+%=

3m2+4

所以-2myxy1=3（必+%）,又心=干房，

所以直線EN方程為：，-％=三二?（尤+4）,

令尸0,則辿jE+3M

,,、%一為y2f

3/、

不（%一%）35

=-4-/------=-4+-=--?

%-％22

所以直線EN過定點.

②由①中A=144（療+i）＞o,所以機(jī)eR,又易知"丫［=竺箜里