《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》課件

第三章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)概述第二節(jié)物理系統(tǒng)的微分方程第三節(jié)傳遞函數(shù)第一節(jié)概述一、數(shù)學(xué)模型定義它是描述系統(tǒng)〔或環(huán)節(jié)〕內(nèi)部、外部物理量之間動(dòng)、靜態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。為什么要建立數(shù)學(xué)模型？控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是由具體的物理問(wèn)題、工程問(wèn)題從定性的認(rèn)識(shí)上升到定量的精確認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵！〔這一點(diǎn)非常重要，數(shù)學(xué)的意義就在于此〕

第一節(jié)概述二、建立數(shù)學(xué)模型的方法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法很多，主要有兩類：1)機(jī)理建模

通過(guò)系統(tǒng)本身的物理特性來(lái)建立。

力學(xué)定律：電學(xué)定律：流體力學(xué)定律：熱力學(xué)定律：

2)實(shí)驗(yàn)建模〔數(shù)據(jù)建?！诚到y(tǒng)辨識(shí)第一節(jié)概述三、數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)1.不同的控制系統(tǒng)可以具有相同的數(shù)學(xué)模型。即可以用同一數(shù)學(xué)模型去描述不同的控制系統(tǒng)。相似系統(tǒng)：具有相同數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)。模擬：兩個(gè)相似系統(tǒng)，通過(guò)分析一個(gè)系統(tǒng)而到達(dá)對(duì)另外一個(gè)系統(tǒng)的分析研究，稱為模擬。

2.同一控制系統(tǒng)可以具有不相同的數(shù)學(xué)模型。第一節(jié)概述四、數(shù)學(xué)模型的種類微分方程傳遞函數(shù)頻率特性差分方程狀態(tài)方程其中最根本的數(shù)學(xué)模型是微分方程。本章主要介紹微分方程和傳遞函數(shù)。第一節(jié)概述五、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)1、線性系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式是線性的，那么這種系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的特性是可以運(yùn)用疊加定理。疊加原理是系統(tǒng)在幾個(gè)外加作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，等于各個(gè)外加作用單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。第一節(jié)概述線性系統(tǒng)分為:

線形定常系統(tǒng)

用線形常微分方程描述的系統(tǒng).

線形時(shí)變系統(tǒng)

描述系統(tǒng)的線形微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù).第一節(jié)概述2、非線性系統(tǒng)

用非線性方程描述的系統(tǒng)稱非線性系統(tǒng)。

對(duì)非線性問(wèn)題的處理途徑：

線性化

忽略非線性因素

應(yīng)用非線性系統(tǒng)的分析方法處理第二節(jié)物理系統(tǒng)的微分方程工程上的控制系統(tǒng)多為物理系統(tǒng)，列寫物理系統(tǒng)微分方程的根底是物理定律。本節(jié)舉例說(shuō)明列寫物理系統(tǒng)微分方程的根本方法和步驟。一、機(jī)械系統(tǒng)達(dá)朗貝爾原理：作用在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的合力，同質(zhì)點(diǎn)慣性力平衡。即機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)根據(jù)牛頓第二定律可列出其微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式二、電氣系統(tǒng)基爾霍夫電流定律基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律對(duì)節(jié)點(diǎn)1有：其中：節(jié)點(diǎn)1的動(dòng)態(tài)方程為：基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律不同系統(tǒng)微分方程有如下的共同之處：(1)常參數(shù)線性元件和線性控制系統(tǒng)均可用常系數(shù)線性微分方程描述。(2)微分方程取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)，它描述系統(tǒng)的固有特性。(3)微分方程的系數(shù)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和組成系統(tǒng)的元件參數(shù)決定，因而均為實(shí)數(shù)。(4)對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)或元件，如選取不同的物理量為輸入量和輸出量，那么微分方程的形式不同。(5)所有單輸入、單輸出常系數(shù)線性控制系統(tǒng)的微分方程可用下面通式表示。系統(tǒng)微分方程列寫微分方程的一般步驟如下：(1)分析系統(tǒng)工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸出量和輸入量。(2)從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，根據(jù)物理定律，依次列寫各變量間或各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)方程，并作必要的簡(jiǎn)化，如進(jìn)行線性化處理或忽略一些次要因素等。(3)由各數(shù)學(xué)方程式消去中間變量，最后得到只包含輸入量、輸出量和系統(tǒng)元件參數(shù)的微分方程式。第三節(jié)傳遞函數(shù)微分方程是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。但是，一般說(shuō)來(lái)，求解微分方程不僅計(jì)算復(fù)雜，而且難以找出改進(jìn)系統(tǒng)的途徑。利用傳遞函數(shù)那么可以直觀、形象地描述一個(gè)系統(tǒng)的特性和各參數(shù)之間的關(guān)系。第三節(jié)傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的根本概念二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)三、控制系統(tǒng)的方框圖及其等效變換四、反響控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的求取方法傳遞函數(shù)的主要特點(diǎn)

一、傳遞函數(shù)的根本概念傳遞函數(shù)的定義在線性定常系統(tǒng)〔或環(huán)節(jié)〕中，初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)〔或環(huán)節(jié)〕的傳遞函數(shù)。舉例求取傳遞函數(shù)的方法有以下幾種：(1)直接計(jì)算法。(2)利用方框圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！惨院蠼榻B〕(3)利用實(shí)驗(yàn)方法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！惨院蠼榻B〕直接計(jì)算法所謂直接計(jì)算法，是指對(duì)于一般的環(huán)節(jié)或簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，可以列出它們的微分方程再進(jìn)行拉氏變換求得傳遞函數(shù)。直接計(jì)算法〔續(xù)1〕線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式一般可表達(dá)為下式的形式，即直接計(jì)算法〔續(xù)2〕在初始條件為零時(shí)，對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換那么系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)的主要特點(diǎn)(1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式(n>m)。(2)傳遞函數(shù)的分母只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)等與外界無(wú)關(guān)的固有因素，因而它描述了系統(tǒng)的固有特性。而分子取決于系統(tǒng)與外界的關(guān)系，因而它描述了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系。傳遞函數(shù)的主要特點(diǎn)〔續(xù)〕〔3〕一定的傳遞函數(shù)與其零、極點(diǎn)分布圖相對(duì)應(yīng)。因此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。分子多項(xiàng)式B(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0=0的根稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。分母多項(xiàng)式A(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0的根稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。A(s)=0叫系統(tǒng)的特征方程。〔4〕物理結(jié)構(gòu)不同的系統(tǒng)，可以具有相同形式的傳遞函數(shù)。二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1．環(huán)節(jié)的分類

2．典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1．環(huán)節(jié)的分類(1)控制系統(tǒng)是由假設(shè)干元件組合而成的。從物理結(jié)構(gòu)及作用原理來(lái)看，有各種各樣不同的元件，但從動(dòng)態(tài)特性或數(shù)學(xué)模型來(lái)看，卻可分為幾種根本環(huán)節(jié)，即典型環(huán)節(jié)。1．環(huán)節(jié)的分類(2)1．環(huán)節(jié)的分類(3)2.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)〔一階慣性環(huán)節(jié)〕積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)(理想微分環(huán)節(jié)、實(shí)際微分環(huán)節(jié)〕二階環(huán)節(jié)〔含振蕩環(huán)節(jié)〕比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其微分方程為在零初始條件下，對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換得例2-9.[機(jī)例](忽略嚙合間隙)例2-10.[電例]式中,ic—集電極電流，ib—基極電流，β—共發(fā)射極電流增益。例2-11[液例]忽略液壓缸的泄漏，缸筒和油液的彈性v(t)—液壓缸活塞的運(yùn)動(dòng)速度,q(t)—油流量,A—液壓缸活塞的工作面積。慣性環(huán)節(jié)〔一階慣性環(huán)節(jié)〕慣性環(huán)節(jié)也叫非周期環(huán)節(jié)。在這類環(huán)節(jié)中包含有儲(chǔ)能元件，以致輸出量不能立即復(fù)現(xiàn)突變形式的輸入量。微分方程式為在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得例2-12.[機(jī)例]圖2-16所示的機(jī)械慣性—阻尼系統(tǒng)就是一個(gè)慣性環(huán)節(jié),求它的傳遞函數(shù)。v(t)—質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)速度,f(t)—作用力,m—質(zhì)量塊的質(zhì)量,B—阻尼器的阻尼系數(shù)。

例2-13.[電例]求圖2-17所示的RC電路的傳遞函數(shù)。以上兩式經(jīng)過(guò)拉氏變換，再聯(lián)立消去I(S)得例2-14．[液例]圖2-18所示的液壓缸，帶有彈性系數(shù)為k(牛頓／厘米)的彈性負(fù)載和阻尼系數(shù)為B(牛頓·秒／厘米)的阻尼負(fù)載。設(shè)質(zhì)量很小，可以忽略。求以壓力p為輸入量，以活塞位移x為輸出量的傳遞函數(shù)。慣性環(huán)節(jié)〔一階慣性環(huán)節(jié)〕從上面這些例子可以看出，慣性環(huán)節(jié)的性質(zhì)取決于兩個(gè)參數(shù)—

時(shí)間常數(shù)T和傳遞系數(shù)K。應(yīng)該指出，輸出量和輸入量可能是不同的物理量，故傳遞系數(shù)K是有量綱的。積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

積分環(huán)節(jié)〔續(xù)〕積分環(huán)節(jié)的特性只有一個(gè)參數(shù)—

傳遞系數(shù)K。輸出量的變化速度與輸入量成正比，當(dāng)輸入突然去掉時(shí)，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能。例2-15.[機(jī)例]圖2-20所示的齒輪齒條傳動(dòng)，就是一個(gè)積分環(huán)節(jié)。齒條位移x與齒輪轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為：例2-16.[電例]圖2-21所示電容器充電電流I

和電容電壓e。的關(guān)系為：例2-17[液例]〔不考慮缸體變形及油液彈性、內(nèi)外漏損〕x—輸出位移,q—輸入流量,A—液壓缸活塞的工作面積。微分環(huán)節(jié)(理想微分環(huán)節(jié)、實(shí)際微分環(huán)節(jié)〕(1)理想微分環(huán)節(jié)K—傳遞系數(shù)，也是有量綱的。理想微分環(huán)節(jié)的輸出量正比于輸入量的變化速度。微分環(huán)節(jié)(理想微分環(huán)節(jié)、實(shí)際微分環(huán)節(jié)〕〔續(xù)〕(2)實(shí)際微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)在實(shí)際中是不存在的，所有用來(lái)執(zhí)行微分作用的環(huán)節(jié)大多數(shù)都是近似的。T越小，微分作用越強(qiáng)。當(dāng)T→0時(shí)，上式就成為理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)了。例2-18.[電例]圖2-23所示的電路為常用的電氣微分環(huán)節(jié)。

例2-19.[液例]圖2-24為液壓阻尼器，彈簧剛度為k，阻尼系數(shù)為B，忽略慣性力，列出輸入位移x和輸出位移y之間的傳遞函數(shù)。

解列寫系統(tǒng)的微分方程二階環(huán)節(jié)〔含振蕩環(huán)節(jié)〕在零初始條件下，對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換例2-20.[機(jī)例]圖2-25所示的質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)是一個(gè)機(jī)械二階環(huán)節(jié)。例2-21.[電例]圖2-26所示的R-L-C電路構(gòu)成一個(gè)電氣二階環(huán)節(jié)。它的微分方程為三、控制系統(tǒng)的方框圖及其等效變換1．方框圖2、函數(shù)方框圖變換法那么3、信號(hào)流圖和梅森公式4、系統(tǒng)方框圖舉例1、方框圖1〕職能方框圖和函數(shù)方框圖2〕比較點(diǎn)3〕引出點(diǎn)1〕職能方框圖和函數(shù)方框圖u1nΔu執(zhí)行電機(jī)電壓功率放大減速器調(diào)壓器恒溫箱熱電偶u2?ub

ru1t+-+G1(s)G2(s)H(s)Xo(s)Xi(s)-E(s)Xb(s)G(s)Xi(s)Xo(s)2〕比較點(diǎn)比較點(diǎn)又稱加減點(diǎn)。它代表兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減比較。X1(s)X2(s)X3(s)=X1(s)+X2(s)++X1(s)X2(s)X3(s)=X1(s)-X2(s)+-X1(s)X2(s)X4(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s)++X3(s)+3)引出點(diǎn)X1(s)X1(s)?X1(s)?引出點(diǎn)又叫測(cè)量點(diǎn)。它表示信號(hào)引出和測(cè)量的位置。2.函數(shù)方框圖變換法那么1〕串聯(lián)法那么2〕并聯(lián)法那么3〕反響法那么4)比較點(diǎn)、引出點(diǎn)等效移動(dòng)5〕非單位反響變換成單位反響1〕串聯(lián)法那么G1G1G2G3??????GnXi(s)Xo(s)X1(s)X2(s)2〕并聯(lián)法那么3〕反響法那么+G(s)H(s)Xo(s)Xi(s)-E(s)Xb(s)4〕比較點(diǎn)、引出點(diǎn)等效移動(dòng)法那么XoGXiXiXoGXiXoXoGXiGX0XoGXi1/GXiXiXbGXo++GXiGXoXb++XbG++XiXoXbG++XiXo1/G4〕比較點(diǎn)、引出點(diǎn)等效移動(dòng)法那么5〕非單位反響變換成單位反響GH+-XiXo1/HG+-XoHXi函數(shù)方框圖變換法那么注意：〔1〕兩個(gè)相鄰的比較點(diǎn)可互換位置，兩個(gè)相鄰的引出點(diǎn)也可互換位置?！?〕一個(gè)比較點(diǎn)和一個(gè)引出點(diǎn)即使相鄰也不能簡(jiǎn)單地互換位置!!!函數(shù)方框圖變換法那么(舉例〕

〔圖2-34a〕G1G2G3G4H3H2H1Xi+-+--+Xo函數(shù)方框圖變換法那么舉例G1G2G3G4H1H2H3-XiXo--G2函數(shù)方框圖變換法那么舉例G1G2G4H1H3-Xo-Xi函數(shù)方框圖變換法那么舉例G1G2H1-XoXi函數(shù)方框圖變換法那么舉例H1-XoXi函數(shù)方框圖變換法那么舉例XoXi函數(shù)方框圖變換法那么舉例G1G2G3G4H3H2H1Xi+-+--+函數(shù)方框圖等效變換步驟〔1〕首先確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量，從而確定前向通路。〔2〕通過(guò)比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的移動(dòng)，使得方框圖中各回路不互相交錯(cuò)。如把圖2-34(a)變換為(b)?！?〕由內(nèi)到外求出各局部的傳遞函數(shù)，直至求得整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如圖2-34的(c)、(d)、(e)、(f)各步。3信號(hào)流圖和梅森公式當(dāng)系統(tǒng)框圖比較復(fù)雜時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖。信號(hào)流圖是由一些定向線段把一些節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)組成的網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點(diǎn)表示信號(hào)，定向線段稱為支路，表示傳遞函數(shù)和信號(hào)流向。圖2-33的框圖可轉(zhuǎn)化為圖2-35的信號(hào)流圖。圖2-33的框圖轉(zhuǎn)化為圖2-35的信號(hào)流圖節(jié)點(diǎn)表示信號(hào)定向線段稱為支路，表示傳遞函數(shù)和信號(hào)流向梅森公式△k(s)為第k條前向通路特征式的余因子。(即從△(s)中舍去與第K條前向通道接觸的回路傳遞函數(shù)后的余項(xiàng))例2-23利用梅森公式求圖2-36所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2-23利用梅森公式求圖2-36所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！怖m(xù)〕上述這五個(gè)反響回路均互相接觸，所以沒(méi)有互不接觸的反響回路，于是系

統(tǒng)

方

框

圖

舉

例

梅森公式舉例〔例2〕一個(gè)前向通道；三個(gè)反響回路；一組互不接觸的2個(gè)回路；各回路均與前向通道接觸；G1-Xi（s)Xo（s）