解三角形的解答題攻略

11/11解三角形的解答題攻略邊角互化的解題技巧典例1(2020湖北?？?已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,其面積S=b2(1)若a=6,b=2,求cosB;(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B-A)的最大值.答題規(guī)范答題過(guò)程第一步:根據(jù)已知條件S=b2+c2-a24及面積公式S=12bcsinA,得到sinA=cosA,第二步:由已知條件及正弦定理求出sinB,進(jìn)而得出cosB的值,得2分;第三步:由(1)知A=π4,將其代入sin(A+B)+sinB·cosB+cos(B-A),化簡(jiǎn)得到原式=2(sinB+cosB)+sinBcosB,得2分第四步:令t=sinB+cosB,通過(guò)換元將原式表示成關(guān)于t的二次函數(shù),得2分;第五步:求出關(guān)于t的二次函數(shù)的最大值,即為所求,得2分.解析(1)因?yàn)椤鰽BC的面積S=12bcsinA=b2+c2-a24,所以sinA=b2+c2-a22bc=cosA,解得A=π4,因?yàn)閍=6,b=2,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=2×22(2)由(1)知A=π4所以原式=sinB+π4+sinBcosB+cosB-π4=22sinB+22cosB+sinBcosB+22sinB+22cosB=2(sinB+cos令t=sinB+cosB=2sinB+π因?yàn)锽∈0,3π4,所以B+π4∈π4,π,所以sinB+原式=2t+t2-12=t22+2t-12=12(t+2)2-32,當(dāng)t=2,即B方法歸納解三角形的解答題(1)可以通過(guò)正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊和角的互化.(2)解三角形的問(wèn)題,要熟練掌握三角形中的相關(guān)公式,并會(huì)靈活應(yīng)用.(2020湖南雅禮中學(xué)高三月考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,cosA-2cos(1)求sinCsin(2)若cosB=14,b=2,求△ABC的面積解析(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以cosA-2cosCcos所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB,即sin(A+B)=2sin(B+C),所以sinC=2sinA,故sinCsin(2)由(1)及正弦定理得sinCsinA=ca=2,所以因?yàn)閎=2,cosB=14,所以由余弦定理得22=4a2+a2-2a×2a×14,解得a=1(負(fù)值舍去),所以c=2,又因?yàn)閏osB=14,所以sinB故△ABC的面積為12acsinB=12×1×2×154三角形中的面積與周長(zhǎng)等有關(guān)量的計(jì)算典例2(2020四川瀘縣第四中學(xué)?？?△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinC=sinB+sin(A-B).(1)求角A的大小;(2)若a=7,△ABC的面積S=332,求△ABC答題規(guī)范答題過(guò)程第一步:先利用三角形內(nèi)角和定理消去角C,得2分;第二步:利用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得2分;第三步:結(jié)合角A的余弦值以及角A的范圍,得到角A的值,得2分;第四步:由三角形的面積公式及余弦定理,建立關(guān)于b,c的二元二次方程組,得2分;第五步:根據(jù)該方程組,得到b+c的值,得2分;第六步:求出△ABC的周長(zhǎng),得2分.解析(1)∵A+B+C=π,∴C=π-(A+B).∴sinC=sin(A+B)=sinB+sin(A-B),∴sinA·cosB+cosA·sinB=sinB+sinA·cosB-cosA·sinB,∴2cosA·sinB=sinB,∵sinB≠0,∴cosA=12,∵0<A<π,∴A=π(2)∵S∴bc=6∴(b+c)2=b2+c2+2bc=25,∴b+c=5,∴a+b+c=5+7,故△ABC的周長(zhǎng)為5+7.典例3(2020廣東二模)在△ABC中,D為BC邊上的點(diǎn),AD平分∠BAC,AD=5,AC=8,△ACD的面積為103.(1)求線段CD的長(zhǎng);(2)求sinB.答題規(guī)范答題過(guò)程第一步:根據(jù)已知條件及三角形的面積公式,求出∠DAC=60°,得4分;第二步:利用余弦定理,求出線段CD的長(zhǎng),得2分;第三步:根據(jù)已知條件及余弦定理,求出∠ADC的余弦值,進(jìn)而求出其正弦值,得4分;第四步:根據(jù)已知條件,表示出∠ADC與∠B之間的關(guān)系,得1分;第五步:利用兩角差的正弦公式,求出sinB,得1分.解析(1)∵AD=5,AC=8,△ACD的面積為103,∴12×5×8×sin∠DAC=103,∴sin∠DAC=3∵0°<∠BAC<180°,AD平分∠BAC,∴0°<∠DAC<90°,∴∠DAC=60°,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2×AC×AD×cos∠DAC=52+82-2×5×8×cos60°=49,∴CD=7.在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=52+7∴sin∠ADC=1-cos2∠ADC=1-∴∠BAD=∠CAD=60°,∴sinB=sin(∠ADC-60°)=sin∠ADCcos60°-cos∠ADCsin60°=437×12-17×方法歸納解三角形的解答題(1)解三角形的問(wèn)題,不僅用到正弦定理或余弦定理,還用到三角形內(nèi)角和定理、兩角和與差的正、余弦公式等;(2)三角形面積和周長(zhǎng)的計(jì)算,要熟練掌握三角形的面積公式,并會(huì)靈活應(yīng)用.(2020哈爾濱第六中學(xué)高三月考)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,(a+c)sinB-bsinC=3bcosA.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面積為23,a=4,求△ABC的周長(zhǎng).解析(1)由正弦定理得(sinA+sinC)·sinB-sinBsinC=3sinBcosA,∵sinB≠0,∴tanA=3,∵角A是△ABC的內(nèi)角,∴A=60°.(2)∵△ABC的面積為23,∴12bcsinA=23,由(1)知A=60°,∴bc由余弦定理得b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24=16,∴b+c=210(負(fù)值舍去),∴△ABC的周長(zhǎng)為4+210.

2.如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=3π4,AB⊥AD,AB=1(1)若AC=5,求△ABC的面積;(2)若∠ADC=π6,CD=4,求sin∠解析(1)在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即5=1+BC2+2BC,解得BC=2(負(fù)值舍去),所以S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=12×1×2×22(2)設(shè)∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=即ACsinπ6=4sinθ①,在△ABC中,∠BAC=π2-θ,∠BCA=π-3π4由正弦定理得ACsin∠ABC=即ACsin3π4①②兩式相除得sin3π4sin即422sinθ-22整理得sinθ=2cosθ.因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1,所以sinθ=255,即sin∠CAD=3.(2020福建聯(lián)考)如圖,在△ABC中,B=π3,BC=2,線段AC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,連接(1)若△BCD的面積為33,求線段CD的長(zhǎng)(2)若DE=62,求角A的大小解析(1)由已知及三角形面積公式得S△BCD=12BC·BD·sinB=33,又BC=2,B=π3,∴BD=23,cos在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=22+232-2×2×23×12=289(2)由垂直平分線性質(zhì)及正弦定理得CD=AD=DEsinA=在△BCD中,由正弦定理得BCsin∠BDC=易知∠BDC=2∠A,∴2sin2A=解得cosA=22,∴A=π邏輯推理——利用邊角互化思想求三角形中的最值或范圍典例(2020哈爾濱一中高三月考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為 ()A.7B.8C.9D.10答案C解析由題意可知S△ABC=S△ABD+S△BCD,由三角形面積公式得12acsin120°=12sin60°+12c×1×sin60°,化簡(jiǎn)得ac=a+c,所以1a+1c=1,故4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng),在邏輯推理的核心素養(yǎng)形成過(guò)程中,要能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題;能掌握推理的基本形式,表述論證的過(guò)程;理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,建構(gòu)知識(shí)框架;形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì).在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2bsinA=3acosB+asinB.(1)求角B的大小;(2)設(shè)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),若BD=3,求a+c的取值范圍.解析(1)在△ABC中,由正弦定理得2sinBsinA=3sinAcosB+sinAsinB,所以sinBsinA=3sinAcosB,因?yàn)閟inA>0,所以sinB=3cosB,故tanB=3,又因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π3(2)如圖,延長(zhǎng)BD到E,滿足DE=BD,連接AE,CE,則四邊形ABCE為平行四邊形,且BE=23,∠BAE=2π3,CE=AB=c,AE=BC=a在△BAE中,由余弦定理得(23)2=a2+c2-2accos2π3,即a2+c2+ac=12,整理得(a+c)2-ac=12,即ac=(a由基本不等式得ac=(a+c)2-12≤a+所以34(a+c)2≤12,即(a+c)2≤16,解得a+c≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí),取等號(hào)又AE+AB>BE,所以a+c>23,故a+c的取值范圍是(23,4].1.(2020湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知a,b,c分別是三角形ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,f(A)=23sinAcosA+2sin2A.(1)若f(A)=3,求角A;(2)在(1)的條件下,若btanB+ctanC=2atanA,a解析(1)因?yàn)閒(A)=23sinAcosA+2sin2A=3sin2A+1-cos2A=2sin2A-π6+1=3,所以2A-π6=π2,故A=(2)若btanB+ctanC=2atanA,則bcosBsinB+ccosCsinC=2a因?yàn)锽+C=2π3,所以B=C=π所以三角形ABC是等邊三角形,因?yàn)閍=22,所以b=c=22,所以△ABC的面積為12bcsinA=232.(2020江蘇泰州興化期中)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=14(1)求△ABC的周長(zhǎng);(2)求△ABC的面積.解析(1)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=14,所以c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×14=4,解得則△ABC的周長(zhǎng)為1+2+2=5.(2)在△ABC中,由cosC=14,可得sinC=1-cos2則△ABC的面積S=12absinC=12×1×2×1543.(2020重慶九龍坡質(zhì)量調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2sinx+π4(1)求函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程;(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且fB2+π6=23,a+c解析(1)易知f(x)=3sin2x+sinπ2+2x=3sin2x+cos2x由2x+π6=π2+kπ,k∈Z,得x=π6+kπ則函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=π6+kπ2,k(2)fB2+π6=2sinB+π2=2cosB=23∵1=a+c≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=12時(shí),取等號(hào),即ac≤1由b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-23ac=(a+c)2-83ac=1-83ac≥13,即b≥33,由三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知,1=a+c>b,即(2020湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A-B)=cosC.(1)求B的值;(2)求acosC解析(1)由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sinπ2∵△ABC是銳角三角形,∴A-B,π2-C均在區(qū)間-π又函數(shù)y=sinx在區(qū)間-π2,π2上單調(diào)遞增,∴A-B=π2-C,即A-又A+B+C=π,②則由②-①,得B=π4(2)由(1)知B=π4,∴A+C=3π4,即C=3π4∴acosC-c=2sin2A-3π4.∵△ABC是銳角三角形,∴π4∴-π4<2A-3π4<π4,∴-22<sin∴-1<acosC故acosC-5.已知函數(shù)f(x)=cos2x+3·sin(π-x)cos(π+x)-12(1)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsinC=asinA,求△ABC的面積.解析(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-1=1+cos2x2-32sin2x-1由2kπ-π2≤2x-