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第第頁(yè)專題01選擇題小壓軸之五大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一與特殊四邊形有關(guān)的問(wèn)題】 1【題型二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】 4【題型三一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象問(wèn)題】 7【題型四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c的關(guān)系】 9【題型五反比例函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】 16【典型例題】【題型一與特殊四邊形有關(guān)的問(wèn)題】例題:(2023·江西九江·一模)如圖,這是由7個(gè)全等的小菱形(有一個(gè)內(nèi)角為)組成的網(wǎng)格,每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),順次連接圖中的4個(gè)格點(diǎn),所構(gòu)成的圖形是矩形的方法共有(
)
A.6種 B.8種 C.9種 D.10種【答案】D【分析】先畫(huà)出不同的矩形,分別數(shù)出它們的個(gè)數(shù),再相加計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】解:如圖所示,共有4個(gè)小矩形,2個(gè)大矩形,共6個(gè)矩形
如圖所示,共4個(gè)矩形
∵∴四邊形是平行四邊形∵,則是等邊三角形,則,∴四邊形是矩形,同理可得其余3個(gè)為矩形,綜上所述,共10個(gè)矩形,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì),矩形的判定等知識(shí),等邊三角形的性質(zhì),掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè))如圖是由全等的小等邊三角形組成的網(wǎng)格,其中有3個(gè)小三角形被涂成了黑色(用陰影表示).若平移其中1個(gè)陰影三角形到空白網(wǎng)格中,使陰影部分構(gòu)成的圖形為軸對(duì)稱圖形,則平移的方法共有(
)
A.2種 B.3種 C.4種 D.5種【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義,畫(huà)出圖形即可.【詳解】如圖所示,共有4種平移方法.
故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱圖形設(shè)計(jì)圖案,解題的關(guān)鍵是連接軸對(duì)稱圖形的定義.2.(2023·江西南昌·二模)數(shù)學(xué)小組將兩塊全等的含角的三角尺按較長(zhǎng)的直角邊重合的方式擺放,并通過(guò)平移對(duì)特殊四邊形進(jìn)行探究.如圖1,其中,,,將沿射線方向平移,得到,分別連接,(如圖2所示),下列有關(guān)四邊形的說(shuō)法正確的是()
A.先是平行四邊形,平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形B.先是平行四邊形,平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形,再平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形C.先是平行四邊形,平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形,再平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后是正方形D.在平移的過(guò)程中,依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形【答案】B【分析】根據(jù)平移過(guò)程逐步分析,排除正方形的可能,再分矩形和菱形,利用性質(zhì)求出平移距離即可.【詳解】解:由題意可得:平移過(guò)程中,,,,∴四邊形是平行四邊形,剛開(kāi)始平移時(shí),,∴如圖,當(dāng)平移至?xí)r,,∴此時(shí)四邊形是矩形,且不可能為正方形,,∴平移距離為:,即平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形,
繼續(xù)平移,當(dāng)與共線時(shí),此時(shí),即四邊形是菱形,此時(shí)的總平移距離為,即再平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形;
綜上可得:平移過(guò)程中,四邊形先是平行四邊形,平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形,再平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形,故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質(zhì),勾股定理,含30度的直角三角形,綜合利用了特殊四邊形的判定和性質(zhì),掌握特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【題型二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】例題:(2024·江西·一模)下列各選項(xiàng)為某同學(xué)得出的關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)論,其中不正確的是(
)A.開(kāi)口向下 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為C.方程的解是 D.當(dāng),函數(shù)值小于0【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí).分別根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】解:A.∵,∴拋物線開(kāi)口向下,故原選項(xiàng)正確,不合題意;B.∵,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,故原選項(xiàng)正確,不合題意;C.解方程得,故原選項(xiàng)正確,不合題意;D.由題意得,拋物線開(kāi)口向下,與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為,∴當(dāng)時(shí),函數(shù)值大于0,故原選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意.故選:D【變式訓(xùn)練】1.(2023·江西吉安·模擬預(yù)測(cè))關(guān)于x的二次函數(shù)(a為常數(shù)且),下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線B.函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)和C.當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大D.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】解:∵二次函數(shù)(,a為常數(shù)),∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線,故選項(xiàng)A不符合題意;∵當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.∴函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,故選項(xiàng)B不符合題意;∵a的正負(fù)不確定,∴當(dāng)時(shí),y隨x的增大如何變化無(wú)法確定,故選項(xiàng)C不符合題意;∵當(dāng)時(shí),該函數(shù)圖象開(kāi)口向下,,∴當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn),故選項(xiàng)D符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).2.(2023·江西萍鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè))已知拋物線是常數(shù),,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)則B.若,則方程一定有根C.拋物線與軸一定有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)D.點(diǎn)在拋物線上,若,則當(dāng)時(shí),【答案】C【分析】將點(diǎn)代入拋物線的解析式,再結(jié)合即可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷;先由可得出,且,然后將代入方程,并解出方程的兩個(gè)根,進(jìn)而可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷;先由得,然后再對(duì)方程的判別式的符號(hào)進(jìn)行判定即可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷;先由得,結(jié)合,即可得出拋物線的對(duì)稱軸為,進(jìn)而可判定點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上,進(jìn)而再根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可對(duì)結(jié)論D進(jìn)行判斷.【詳解】解:將點(diǎn)代入,得:,,,,整理得:,故選項(xiàng)A正確,不符合題意;,,,,方程可轉(zhuǎn)化為:,,,解得:,故選項(xiàng)B正確,不符合題意;,,判別式,該拋物線與軸有公共點(diǎn),故選項(xiàng)C不正確,符合題意;,,拋物線的對(duì)稱軸為,,,即:,,該拋物線的對(duì)稱軸在直線的右側(cè),,點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上,又,拋物線的開(kāi)口向上,,故選項(xiàng)D正確,不符合題意.綜上所述:結(jié)論錯(cuò)誤是選項(xiàng)C.故選:C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸、與軸的交點(diǎn),函數(shù)的增減性.【題型三一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象問(wèn)題】例題:(2023·江西吉安·三模)在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象可能是()A. B.
C.
D.
【答案】D【分析】分別根據(jù)一次函數(shù)的圖象得出m、n的取值范圍,再判斷對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象,然后可得答案.【詳解】解:A.由一次函數(shù)圖象可得,則二次函數(shù)圖象應(yīng)開(kāi)口向下,不符合題意;B.二次函數(shù)的圖象沒(méi)有過(guò)原點(diǎn),不符合題意;C.由一次函數(shù)圖象可得,則二次函數(shù)圖象應(yīng)開(kāi)口向上,不符合題意;D.由一次函數(shù)圖象可得,,則二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下,對(duì)稱軸應(yīng)在x軸正半軸,符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023·江西宜春·二模)在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如右圖所示,則二次函數(shù)的圖象可能是(
)
A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象可得,根據(jù)反比例函數(shù)可得,據(jù)此即可求解.【詳解】解:∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限,∴,∵反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限,∴,∴拋物線的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸在軸的右側(cè),與軸交于負(fù)半軸,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷,熟練掌握以上函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【題型四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c的關(guān)系】例題:(2023·江西南昌·一模)如圖,是拋物線的部分圖象,其過(guò)點(diǎn),,且,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
)
A. B.該拋物線必過(guò)點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),y隨x增大而增大 D.當(dāng)時(shí),【答案】D【分析】將代入解析式可判斷A,結(jié)合題意,由(1)可知,當(dāng)時(shí)可判斷B,結(jié)合題意求得拋物線的對(duì)稱軸即可判斷C,結(jié)合對(duì)稱軸利用對(duì)稱性可得,即當(dāng)時(shí),可判斷D.【詳解】解:(1)將代入解析式得,故A正確,不符合題意;(2)結(jié)合題意,由(1)可知,當(dāng)時(shí),,,,,拋物線必過(guò)點(diǎn),故B正確,不符合題意;(3)結(jié)合題意可知,拋物線的對(duì)稱軸為:,當(dāng)時(shí),隨增大而增大,故當(dāng)時(shí),隨增大而增大,故C正確,不符合題意;(4)結(jié)合題意由(3)可知,,,當(dāng)時(shí),故D錯(cuò)誤,符合題意;故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì);解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【變式訓(xùn)練】1.(2023·江西撫州·三模)如圖,拋物線交x軸于,兩點(diǎn),則下列判斷中,錯(cuò)誤的是(
)
A.圖象的對(duì)稱軸是直線B.當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小C.若圖象上兩點(diǎn)為,則D.一元二次方程的兩個(gè)根是和3【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱軸的求解,二次函數(shù)的增減性,拋物線與x軸的交點(diǎn)求法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.【詳解】解:A、對(duì)稱軸為直線,正確,故本選項(xiàng)不符合題意;B、對(duì)稱軸是直線,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小,正確,故本選項(xiàng)不符合題意;C、∵,∴,故本選項(xiàng)符合題意;D、∵拋物線交x軸于,兩點(diǎn),∴一元二次方程的兩個(gè)根是和3,正確,故本選項(xiàng)不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題,是基礎(chǔ)題,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.2.(2023·江西·一模)如圖,拋物線()的對(duì)稱軸為直線,與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:(1);(2);(3);(4);(5)點(diǎn),,是該拋物線上的點(diǎn),則;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】由拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及拋物線與y軸的交點(diǎn)可判定(1);由拋物線的對(duì)稱軸為直線可判定(2);由拋物線與x軸的交點(diǎn)情況及拋物線的對(duì)稱可判定(3);由拋物線的對(duì)稱性結(jié)合函數(shù)圖象可判定(4);由拋物線的三點(diǎn)距離拋物線對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近,結(jié)合開(kāi)口方向可判定(5),則最后可確定答案.【詳解】由開(kāi)口方向知,由對(duì)稱軸為直線,則,拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上,則,則,即(1)正確;由于,則,即(2)正確;拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間,由拋物線的對(duì)稱性,拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間,所以拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則,故(3)正確;拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間,則當(dāng)時(shí),,故(4)錯(cuò)誤;由于,且,離對(duì)稱軸越近則函數(shù)值越大,故,故(5)錯(cuò)誤,正確的有(1)(2)(3);故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),根據(jù)圖象確定式子的符號(hào)及系數(shù)的符號(hào),關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),注意數(shù)形結(jié)合.3.(2023·江西贛州·一模)已知二次函數(shù)的圖像如圖所示,下列四個(gè)命題:①;②;③若,是該拋物線上的兩點(diǎn),則;④若,是該拋物線上的兩點(diǎn),則;其中正確的結(jié)論有(
)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)圖像開(kāi)口方向和軸交點(diǎn)可判斷①;根據(jù)對(duì)稱軸可以判斷②;根據(jù)拋物線的增減性可以判斷③;根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可以判斷④.【詳解】由圖可知,二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下,與軸交點(diǎn)位于軸正半軸,,,對(duì)稱軸為,,,故①錯(cuò)誤;對(duì)稱軸為,,,故②正確;當(dāng),在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),;當(dāng),在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),,故③錯(cuò)誤;,,,關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.(2023·江西南昌·一模)如圖,拋物線與軸交于點(diǎn),,交軸的正半軸于點(diǎn),對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn),則下列結(jié)論:①,②(為任意實(shí)數(shù));③若點(diǎn)為對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),則有取大值,最大值為;④若是方程的一個(gè)根,則一定有成立.其中正確的序號(hào)有(
).A.①②③④ B.①②③ C.③④ D.①②④【答案】D【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口向下可得,根據(jù)對(duì)稱性求出對(duì)稱軸為直線,則,再由拋物線交y軸的正半軸,得到,由此即可判斷①;根據(jù)時(shí),二次函數(shù)有最大值,最大值為,則,即可判斷②;由對(duì)稱性可知,則,即可判斷③;先求出,進(jìn)而推出,則,由m是方程的一個(gè)根,得到或,然后分別計(jì)算出的值即可判斷④.【詳解】解:拋物線開(kāi)口向下,,拋物線與x軸交于點(diǎn),,對(duì)稱軸為直線,,拋物線交y軸的正半軸,,,故①正確;對(duì)稱軸為直線,開(kāi)口向下,時(shí),二次函數(shù)有最大值,最大值為,(m為任意實(shí)數(shù))即,故②正確;對(duì)稱軸交y軸的正半軸于點(diǎn)C,,由對(duì)稱性可知,,故③不正確;拋物線與x軸交于點(diǎn),,,,,,m是方程的一個(gè)根,或,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,若m是方程的一個(gè)根,則一定有成立,故④正確;故選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì),二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系,解決本題關(guān)鍵是運(yùn)用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸交點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.5.(2023·江西·模擬預(yù)測(cè))如圖,拋物線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)分別為M,N,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
)A.當(dāng)或時(shí),B.當(dāng)時(shí),C.當(dāng)時(shí),同時(shí)隨著x的增大而增大D.四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】分別求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱軸,再根據(jù)圖象和平行四邊形的判定依次分析各項(xiàng)即可求解.【詳解】解:令,解得:,故A選項(xiàng)正確,不符合題意;∴A,B的橫坐標(biāo)分別為,將橫坐標(biāo)代入解析式可求得,,∵拋物線的對(duì)稱軸為直線,拋物線的對(duì)稱軸為直線,∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)為,M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,將橫坐標(biāo)代入解析式可求得,;觀察圖象可知,當(dāng)時(shí),,故B選項(xiàng)正確,不符合題意;當(dāng)時(shí),拋物線隨著x的增大而增大,拋物線先是隨著x的增大而減小,然后又隨著x的增大而增大,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;∵,,,,∴,∴四邊形是平行四邊形,故D選項(xiàng)正確,不符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí),解題關(guān)鍵是理解圖象上的點(diǎn)的含義和變化特征,會(huì)通過(guò)觀察圖象得出其增減性,會(huì)利用兩點(diǎn)距離公式求兩點(diǎn)之間的距離.【題型五反比例函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】例題:(2024·江西·一模)物理興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究電學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)電路,其電路圖如圖1所示.經(jīng)測(cè)試,發(fā)現(xiàn)電流隨著電阻的變化而變化,并結(jié)合數(shù)據(jù)描點(diǎn),連線,畫(huà)成圖2所示的函數(shù)圖象.若該電路的最小電阻為,則該電路能通過(guò)的(
)A.最大電流是 B.最大電流是C.最小電流是 D.最小電流是【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的解析式,解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.可設(shè),由于點(diǎn)代入這個(gè)函數(shù)解析式,則可求得k的值,然后代入求得I的值即可.【詳解】根據(jù)電壓電流電阻,設(shè),將點(diǎn)代入得,解得,;若該電路的最小電阻值為,該電路能通過(guò)的最大電流是,故選A.【變式訓(xùn)練】1.(2023·江西南昌·二模)2022年5月4日12時(shí)46分許,一套重達(dá)50公斤的自動(dòng)氣象現(xiàn)測(cè)站,在珠穆朗瑪峰北坡海拔8830米處架設(shè)成功,實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)傳回正常.眾所周知,海拔不同,大氣壓不同.觀察圖中數(shù)據(jù),以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
)
A.海拔越高,大氣壓越低 B.圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象C.海拔為4千米時(shí),大氣壓約為60千帕 D.圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個(gè)量之間的變化關(guān)系【答案】B【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)回答即可.【詳解】解:A、海拔越高,大氣壓越小,該選項(xiàng)不符合題意;B、∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),,∴,,而,∴圖中曲線不是反比例函數(shù)的圖象,該選項(xiàng)符合題意;C、∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),∴海拔為4千米時(shí),大氣壓約為60千帕,該選項(xiàng)不符合題意.D、圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個(gè)量之間的變化關(guān)系,該選項(xiàng)不符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,能正確識(shí)圖.2.(2023·江西吉安·模擬預(yù)測(cè))如圖所示為某新款茶吧機(jī),開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升20℃,加熱到100℃,停止加熱,水溫開(kāi)始下降,此時(shí)水溫(℃)與通電時(shí)間成反比例關(guān)系.當(dāng)水溫
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