對“幾何直觀”概念的幾點辨析

PAGEPAGE5對“幾何直觀”概念的幾點辨析浙江省海鹽縣實驗小學教育集團顧志能在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中，“幾何直觀”是課程目標的核心概念?！稑藴省诽岢觯骸霸跀?shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想……要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。”而在《義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，“幾何直觀”卻并不是課程目標的核心概念，這預示著，幾何直觀將成為數(shù)學教學研究中的一個新的關注點。在這個時候，理解幾何直觀的含義，了解與相關概念的區(qū)別，對小學數(shù)學教師而言，就顯得非常必要和迫切。為此，筆者從自己的困惑出發(fā)，結(jié)合所看到的相關資料，談一些粗淺的認識，供老師們討論。一、幾何直觀的含義《標準》：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析數(shù)學問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。”著名數(shù)學家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知?！盵1]也有學者這么描述：“幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)?！盵2]從這些描述中，我們可有以下的認識：◆幾何直觀是一種運用圖形認識事物的能力[3]，或者說一種解決數(shù)學問題的思維方式?！暨@種能力可外化成為一種在解決某些數(shù)學問題時的方法，這種方法區(qū)別于其它方法的典型特征在于它是以幾何圖形為工具的——即“幾何”兩字的意義。◆用這種方法解決問題，不是運用幾何中常用的論證方法，而是通過經(jīng)驗、觀察、想象等途徑，直觀地感知問題的結(jié)果或方向——即“直觀”兩字的意義。如三年級學生要學習同分子分數(shù)大小比較，這個知識相對比較抽象，學生較難理解。此時，學生如果能主動地采取畫出（或想到）以下幾何圖形（圖1）的方式，然后通過觀察（或想象）圖形的特點及聯(lián)系，直觀地解決問題，并理解了“分子相同的分數(shù)，分母小的反而大”的原理。學生如果具備這種解決問題的思維方式，掌握這樣的方法，我們就可說學生有幾何直觀的能力。圖1圖1二、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合在理解幾何直觀意義的過程中，老師們最大的困惑就是難以將幾何直觀與數(shù)形結(jié)合清晰地區(qū)別開來。比如說，上文所舉的分數(shù)大小比較時用幾何圖形來思考的例子，在以前，我們一直是視為這是用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的典型。而如今，這樣的觀念要調(diào)整，數(shù)形結(jié)合變成了幾何直觀，這就難免讓人疑惑：數(shù)形結(jié)合與幾何直觀，區(qū)別到底在哪里？近期，在筆者參與的或了解到的一些以幾何直觀為話題的教研活動，都呈現(xiàn)出了一個共同之處：教師呈現(xiàn)的所謂幾何直觀的例子，都是以前所講的數(shù)形結(jié)合的例子。教師們更有這樣的認識：幾何直觀，無非是數(shù)形結(jié)合的“同名詞”，或者可能只是數(shù)形結(jié)合的“升級版”而已。教師們對此的不解，甚至于表現(xiàn)為“用到了幾何圖形，就是體現(xiàn)了幾何直觀”這樣的想法。當然，筆者所言的這些教研活動，大多是很基層的，或許只是代表了部分一線普通教師的認識。但是，這足以說明對數(shù)形結(jié)合與幾何直觀作出區(qū)分是非常必要的。什么是數(shù)形結(jié)合？數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學思想方法，也是解決數(shù)學問題的有效策略。它是指解決數(shù)學問題時，可借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，或反過來運用“數(shù)”與“式”的描述來刻畫“形”的特征。[4]數(shù)形結(jié)合最基本的形式為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。如小學數(shù)學中的分數(shù)應用題，我們運用畫線段圖來分析其中的數(shù)量關系，這樣的情況就可叫做“以形助數(shù)”。而我們在直角坐標系中，用數(shù)對來描述圖形的變化（如平移、旋轉(zhuǎn)），或計算兩點之間的距離等，這樣的情況則可叫做“以數(shù)解形”?！耙孕沃鷶?shù)”，是在發(fā)揮“形”所具有的直觀特點，來降低“數(shù)”的抽象度；而“以數(shù)解形”，則是在利用“數(shù)”的精確性，來準確刻畫“形”，讓“形”先得說空間觀念。所謂空間觀念，可以看成是物體和圖形的形狀、大小、位置、關系等在人腦中的表象（周玉仁語）。在《標準》中，是從四個方面來具體描述空間觀念特征的。發(fā)展空間觀念的有效途徑，經(jīng)典理論認為，那就是在幾何學習時多用經(jīng)驗、觀察、操作、想象、交流等手段。以這樣的論述對比幾何直觀的概念，我們可以有兩點認識：一，空間觀念，是幾何教學領域中的一個專用名詞，是幾何教學的一個重要目標。而幾何直觀，卻并非是限于幾何領域內(nèi)的一個名詞，它盡管是借助了幾何，但它卻跳出了幾何，適用到了更寬廣的領域。二，相對而言，空間觀念更多地體現(xiàn)為教學的結(jié)果，目標性特征比較明顯，而幾何直觀作為一種思維的方式和能力，過程性特征更加凸顯。也許正是兩者具有這些差異，《標準》就從實驗稿課標對空間觀念的描述中剝離出一項，提升成為另一個核心的概念——幾何直觀。（當然，將兩者做為兩個能力目標區(qū)別看待，并不是新生事物，2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》早已這樣提出。）同時，我們不難想到，由于共同元素“幾何”的存在，兩者之間想要毫無瓜葛那也是不現(xiàn)實的。明顯地，要清晰表象、發(fā)展空間觀念，宜借助圖形，采用觀察、想象等直觀手段，但這樣的過程中就已經(jīng)隱含了運用幾何直觀方法的元素。反之，在運用幾何直觀方法思考問題、解決問題的時候，觀察、想象等手段也必定相伴而行，空間觀念自然也在潛移默化地得到發(fā)展。因此，如果將它們兩者做個比喻的話，是否有“同飲一江水，風情兩相宜”的意境呢？五、題外話盡管筆者以較長的篇幅談了對幾何直觀的粗淺思考，但事實上，對于幾何直觀這個《標準》中新提的名詞，筆者和大多數(shù)小學數(shù)學教師一樣，除了文中談及的幾個話題之外，還有很多的不明之處、疑惑之處。如，小學數(shù)學教材中承載幾何直觀能力培養(yǎng)的內(nèi)容具體有哪些？我們?nèi)绾谓虒W，才可以說是正確地展現(xiàn)了幾何直觀的方法？培養(yǎng)學生的幾何直觀能力到底有哪些可借鑒的策略？……再如，對于小學中的幾何直觀，《標準》只在第二學段提了一句“感受幾何直觀的作用”（在第二學段“學段目標”中的“數(shù)學思考”部分）。而“感受”是一個描述過程目標的行為動詞，這是否意味著，小學階段的幾何直觀，只需要感受即可？這是否就是史寧中教授所言的“空間觀念主要是對小學來說的，幾何直觀是對初中來說的[9]”含義呢？等等類似的疑問還有不少，但在我們見到的《標準》中，對這方面的闡述卻很少，涉及到小學階段的具體論述和相應案例更是沒有出現(xiàn)。目前我們所看到的一些解讀材料，也更多地是在以中學的教學內(nèi)容為例說事。這對小學教師的學習、實踐而言，都造成了一定的障礙。為此，筆者和老師們一樣，有一種強烈的愿望：當一個新的名詞（教學要求）提出來的時候，我們希望盡早見到權威部門對此作非常詳盡地解讀，而不是由一線教師自己作茫然地思考或資料的找尋。參考文獻：[1]徐利治.談談我的一些數(shù)學治學經(jīng)驗[J].數(shù)學通報，2000（5）[2]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學研究及數(shù)學教學中的作用[J].數(shù)學教育學報，1997（4）[3]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認識與分析[J].中國數(shù)學教育，2012（1,2）[4]顧泠沅.數(shù)學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004[5]劉加霞.“數(shù)形結(jié)合”思想及其在教學中的滲透[J].小學教學，2008（5）[6]