No.52全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽模擬試題

-4-頁(yè)No.52高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試卷一、填空題（共8題，每題8分，64分）1．方程的實(shí)數(shù)解為．2．函數(shù)R的單調(diào)減區(qū)間是.3．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是．4．在直角坐標(biāo)系中，已知圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓與△的邊有公共點(diǎn)，其中、、，則的取值范圍為．5．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是關(guān)于的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn).．6．圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種．其中鍍金銀的概率是．7．在三棱錐中，已知，，且．已知棱的長(zhǎng)為，則此棱錐的體積為．8．設(shè)復(fù)數(shù)列滿(mǎn)足，，且．若對(duì)任意N*都有，則的值是．二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）直角坐標(biāo)系中，設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)．若，證明：線(xiàn)段的中點(diǎn)在橢圓上．10、（本題20分）已知整數(shù)列滿(mǎn)足，，前項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求出所有的正整數(shù)，使得．11、（本題20分）求所有正整數(shù)，，使得與都是完全平方數(shù)．1、x＜0無(wú)解;當(dāng)時(shí)，原方程變形為32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．2、與f(x)=y2=1+|sin2x|的單調(diào)減區(qū)間相同，Z．3、極小值－4，端點(diǎn)函數(shù)值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．4、畫(huà)圖觀察，R最小時(shí)圓與直線(xiàn)段AC相切，R最大時(shí)圓過(guò)點(diǎn)B．[eq\f(8eq\r(5),5)，10]．5、f(2k-1)=0，k∈Z.又可作一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足問(wèn)題中的條件，且的一個(gè)零點(diǎn)恰為，k∈Z.所以至少有50個(gè)零點(diǎn).6、窮舉法，注意可翻轉(zhuǎn)，有6種情況，2金2銀有兩種，概率為eq\f(1,3)．7、4面為全等的等腰三角形，由體積公式可求得三棱錐的體積為144．8、由，恒成立，即.因?yàn)榛颍剩裕?、解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x12,4)＋y12＝1，eq\f(x22,4)＋y22＝1．由，得M(eq\f(3,5)x1＋eq\f(4,5)x2，eq\f(3,5)y1＋eq\f(4,5)y2)．因?yàn)镸是橢圓C上一點(diǎn)，所以eq\f((eq\f(3,5)x1＋eq\f(4,5)x2)2,4)＋(eq\f(3,5)y1＋eq\f(4,5)y2)2＝1，…6分即(eq\f(x12,4)＋y12)(eq\f(3,5))2＋(eq\f(x22,4)＋y22)(eq\f(4,5))2+2(eq\f(3,5))(eq\f(4,5))(eq\f(x1x2,4)＋y1y2)=1，得(eq\f(3,5))2＋(eq\f(4,5))2+2(eq\f(3,5))(eq\f(4,5))(eq\f(x1x2,4)＋y1y2)＝1，故eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝0．…14分又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，所以eq\f((\f(x1＋x2,2))2,2)＋2(eq\f(y1＋y2,2))2＝eq\f(1,2)(eq\f(x12,4)＋y12)+eq\f(1,2)(eq\f(x22,4)＋y22)+eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝1，從而線(xiàn)段AB的中點(diǎn)(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))在橢圓eq\f(x2,2)＋2y2＝1上．………………20分10、解：(1)設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，則a5=－1+2d，a6=－1+3d，d為整數(shù).又a5，a6，a7成等比數(shù)列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，即9d2－14d+5=0，得d=1.…6分當(dāng)n≤6時(shí)，an=n－4，由此a5=1，a6=2，數(shù)列從第5項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為2，所以，當(dāng)n≥5時(shí)，an=2n-5.故an=eq\b\lc\{(\a\al(n－4，n≤4，,2n-5，n≥5．))…10分(2)由（1）知，數(shù)列為：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…當(dāng)m=1時(shí)等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；當(dāng)m=3時(shí)等式成立，即－1+0+1=0；當(dāng)m=2、4時(shí)等式不成立；…15分當(dāng)m≥5時(shí)，amam+1am+2=23m-12，am+am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×7×2m-5≠23所以am+am+1+am+2≠amam+1am+2.故所求m=1，或m=3．…20分11、解：若x=y，則x2+3x是完全平方數(shù).∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2，∴x2+3x=(x+1)2，∴x=y=1.………………5分若x＞y，則x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2.∵x2+3y是完全平方數(shù)，∴x2+3y=(x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇數(shù)，設(shè)y=2k+1，則x=3k+1，k是正整數(shù).又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方數(shù)，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16=(2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)