高三一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列(帶答案)

個(gè)性化輔導(dǎo)授課教案學(xué)員姓名：輔導(dǎo)類型（1對(duì)1、小班）：年級(jí)：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課題課型□預(yù)習(xí)課□同步課□復(fù)習(xí)課□習(xí)題課授課日期及時(shí)段年月日時(shí)間段教學(xué)內(nèi)容 數(shù)列數(shù)列的概念及其表示【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1．?dāng)?shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))等差數(shù)列及其性質(zhì)【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1．等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．公式表達(dá)：或．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為．通項(xiàng)公式的推廣：．(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．，是關(guān)于的一次函數(shù)形式；時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)形式.注：求的最值法1：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性.法2：求中正負(fù)分界項(xiàng),根據(jù)正負(fù)分界項(xiàng)給出的最大值或最小值.（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和有最大值，且最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和，即當(dāng)，由可得達(dá)到最大值時(shí)的n值.（2）“首負(fù)”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和有最小值，且最小值是所有非正項(xiàng)之和，即當(dāng)，由可得達(dá)到最小值時(shí)的n值.【例題】等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝S12，則當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值？法四同法二得d＝－eq\f(1,8)a1＜0，又S5＝S12，得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，∴7a9＝0，∴a9＝0，∴當(dāng)n＝8或9時(shí)，Sn有最大值．（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【變式探究】(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為()A．5B．6C．5或6D．113.等差數(shù)列的判定方法定義法：若（常數(shù)）是等差數(shù)列等差中項(xiàng)法：數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列（其中k,b是常數(shù)）數(shù)列是等差數(shù)列（其中A,B是常數(shù)）4.等差數(shù)列的證明方法定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列．等差中項(xiàng)法：例題：【例2】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)證明當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2，又eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．(2)解由(1)可得eq\f(1,Sn)＝2n，∴Sn＝eq\f(1,2n).當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,2（n－1）)＝eq\f(n－1－n,2n（n－1）)＝－eq\f(1,2n（n－1）).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,2)不適合上式．故an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2n（n－1）)，n≥2.))規(guī)律方法證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法，證明an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))；二是等差中項(xiàng)法，證明2an＋1＝an＋an＋2.若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法．【跟蹤訓(xùn)練】在數(shù)列中，，，，其中（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證：在數(shù)列中對(duì)于任意的，都有.5．等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，斜率為公差d，前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，其中常數(shù)項(xiàng)為0；若公差,則為遞增等差數(shù)列，若公差,則為遞減等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.注：例題：在等差數(shù)列中，（1）已知，求；（2）已知,求.任意兩項(xiàng)的關(guān)系為若為等差數(shù)列，則、都為等差數(shù)列.若為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.若為等差數(shù)列，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)（）仍為等差數(shù)列.設(shè)為等差數(shù)列，d是公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則（其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）．例題：有一項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比.【答案】：、的前n項(xiàng)和分別為，且，則.若，有，則為的等差中項(xiàng).數(shù)列設(shè)項(xiàng)：項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)設(shè)為項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)設(shè)為【例】一個(gè)等比數(shù)列共有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上14所得三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加上32所得三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求原來(lái)的三個(gè)數(shù).注：同樣的，如果題目中給出一個(gè)等比數(shù)列有四項(xiàng)，那應(yīng)該怎么設(shè)？等比數(shù)列及其性質(zhì)【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：(n≥2，q為非零常數(shù))，或(n∈N*，q為非零常數(shù))．2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).等比中項(xiàng)如果a、A、b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)，即或.注：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）.數(shù)列是等比數(shù)列等比數(shù)列的判定與證明定義法：對(duì)任意的n，都有或?yàn)榈缺葦?shù)列.等比中項(xiàng)：為等比數(shù)列.通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列.前n項(xiàng)和公式：（為常數(shù)）為等比數(shù)列.【例題】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an-1(n≥2)，且an＋Sn＝n.（1）設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解答：(1)證明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2)，∴{an－1}是等比數(shù)列．又a1＋a1＝1，∴a1＝eq\f(1,2)，∵首項(xiàng)c1＝a1－1，∴c1＝－eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2).又cn＝an－1，∴{cn}是以－eq\f(1,2)為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列．規(guī)律方法證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列常用的方法：一是定義法，證明eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為常數(shù))；二是等比中項(xiàng)法，證明aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1.若判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法．等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和性質(zhì)當(dāng)時(shí)，①等比數(shù)列通項(xiàng)公式（）是關(guān)于的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比.②前n項(xiàng)和，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，公比為.對(duì)任何，在等比數(shù)列中有.注：當(dāng)q=1時(shí)就得到了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，因此這個(gè)公式更具有一般性.若,則.特別地，當(dāng)時(shí)，得.注：數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列（k為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列.數(shù)列為等比數(shù)列，每個(gè)（）項(xiàng)取出一項(xiàng)（）仍為等比數(shù)列.如果是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.【例題】(1)公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝()A．4B．5C．6D．7(2)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，則公比q＝________．【解析】(1)法一由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝16，又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)為正，所以a7＝4.所以a10＝a7×q3＝32.所以log2a10＝5.規(guī)律方法(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．【變式探究】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數(shù)列，則xyz的值為()A．－3B．±3C．－3eq\r(3)D．±3eq\r(3)(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6等于()A．5eq\r(2)B．7C．6D．4eq\r(2)若為等比數(shù)列，則數(shù)列成等比數(shù)列.若為等比數(shù)列，則數(shù)列，，成等比數(shù)列.①當(dāng)q>1時(shí)，.②當(dāng)0<q<1時(shí)，.③當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）④當(dāng)q<0時(shí)，該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n（）時(shí)，，若是公比為q的等比數(shù)列，則.數(shù)列設(shè)項(xiàng)：項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)設(shè)為項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)設(shè)為方法求數(shù)列通項(xiàng)的常用（一）公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例1：已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.（二）歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例2：已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例3：已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.（四）累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例四已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.待定系數(shù)法形式：（其中p，q均為常數(shù)，）。把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，，，求.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法1．求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(ⅰ)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；(ⅱ)當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).◎◎◎(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．【例】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).【例】正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,（n＋2）2aeq\o\al(2,n))，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜eq\f(5,64).【解析】(1)解由Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n.規(guī)律方法利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．例4設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（I）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；（II）若（I）∵,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.∴P是的中點(diǎn)，且由（I）知，，（1）+（2）得：(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．【例】(2014·江西卷)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝eq\f(an,bn)，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)因?yàn)閍nbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以eq\f(an＋1,bn＋1)－eq\f(an,bn)＝2，即cn＋1－cn＝2.所以數(shù)列{cn}是以首項(xiàng)c1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相減得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.【規(guī)律方法】一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對(duì)任意n∈N*，函數(shù)f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx滿足f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2an)))，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.規(guī)律方法常見(jiàn)可以使用公式求和的數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解；(2)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的，可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，分別使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式．2.在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝aeq\f(n（n＋1）,2)，記Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝3n·eq\r(an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和(2014·山東卷)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋eq\f(2×1,2)×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)×2＝4a1＋12，由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)＝(－1)n－1eq\f(4n,（2n－1）（2n＋1）)＝(－1)n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1))).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n,2n＋1).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1＋eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n＋2,2n＋1).所以Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋2,2n＋1)，n為奇數(shù)，,\f(2n,2n＋1)，n為偶數(shù).))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或Tn＝\f(2n＋1＋（－1）n－1,2n＋1)))注：1.掌握數(shù)列的求和方法：(1)直接利用等差、等比數(shù)列求和公式；(2)通過(guò)適當(dāng)變形(構(gòu)造)將未知數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，再用公式求和；(3)根據(jù)數(shù)列特征，采用累加、累乘、錯(cuò)位相減、逆序相加等方法求和；(4)通過(guò)分組、拆項(xiàng)、裂項(xiàng)等手段分別求和；(5)在證明有關(guān)數(shù)列和的不等式時(shí)要能用放縮的思想來(lái)解題(如n(n－1)<n2<n(n＋1)，能用函數(shù)的單調(diào)性(定義法)來(lái)求數(shù)列和的最值問(wèn)題及恒成立問(wèn)題．?dāng)?shù)列綜合應(yīng)用【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列求和公式及利用例1已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)二可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(（n－1）2＋（n－1）,2)＝n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.考點(diǎn)三根據(jù)數(shù)列特征，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛屠?已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(k∈N*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，求an；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9－2an,2n)))的前n項(xiàng)和Tn.【變式探究】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝eq\r(anan＋1)(n∈N*)，且{bn}是以q為公比的等比數(shù)列．(1)證明：an＋2＝anq2；(2)若cn＝a2n－1＋2a2n，證明：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；(3)求和：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋…＋eq\f(1,a2n－1)＋eq\f(1,a2