中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點21全等三角形含解析-初中

2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點21全等三角形

一.選擇題（共9小題）

1.（2018?安順）如圖，點D,E分別在線段AB,AC上，CD與BE相交于。點,已知AB=AC,

現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定aABE段4ACD（）

A.ZB=ZCB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD

【分析】欲使4ABE絲4ACD,已知AB=AC,可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加

條件，逐一證明即可.

【解答】解：：AB=AC,NA為公共角,

A、如添力口NB=NC,利用ASA即可證明△ABEZz^ACD；

B、如添AD=AE,利用SAS即可證明△ABEgAACD；

C、如添BD=CE,等量關(guān)系可得AD=AE,利用SAS即可證明△ABE絲ZXACD；

I）、如添BE=CD,因為SSA,不能證明aABE名Z\ACD,所以此選項不能作為添加的條件.

故選：D.

2.（2018?黔南州）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側(cè)

△ABC全等的是（）

A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙

【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法得出乙和丙與aABC全等，甲與aABC不全等.

【解答】解：乙和AABC全等；理由如下：

在aABC和圖乙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：SAS,

所以乙和AABC全等；

在aABC和圖丙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：AAS,

所以丙和△/1!?：全等；

不能判定甲與^ABC全等;

故選：B.

3.（2018?河北）已知：如圖，點P在線段AB外，且PA=PB,求證：點P在線段AB的垂直

平分線上，在證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（）

A.作/APB的平分線PC交AB于點C

B.過點P作PCLAB于點C且AC=BC

C.取AB中點C,連接PC

D.過點P作PCJ_AB,垂足為C

【分析】利用判斷三角形全等的方法判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：A、利用SAS判斷出△PCAgZ\PCB,，CA=CB,NPCA=NPCB=90°,.,.點P在線

段AB的垂直平分線上，符合題意；

C、利用SSS判斷出4PCA絲ZXPCB,/.CA=CB,ZPCA=ZPCB=90°,.?.點P在線段AB的垂直

平分線上，符合題意；

D、利用HL判斷出4PCA也△PCB,；.CA=CB,.?.點P在線段AB的垂直平分線上，符合題意，

B、過線段外一點作已知線段的垂線，不能保證也平分此條線段，不符合題意；

故選：B.

4.（2018?南京）如圖，ABXCD,且AB=CD.E、F是AD上兩點，CE_LAD,BFXAD.若CE=a,

BF=b,EF=c,則AD的長為（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【分析】只要證明aABF名ZXCDE,可得AF二CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b

-c；

【解答】解：VAB1CD,CE±AD,BF1AD,

AZAFB=ZCED=90°,ZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,

???NA=NC,VAB=CD,

AAABF^ACDE,

AAF=CE=a,BF=DE=b,

VEF=c,

，AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,

故選：D.

5.(2018?臨沂)如圖,ZACB=90°，AC=BC.AD±CE,BE1CE,垂足分別是點D、E,AD=3,

BEE,則DE的長是（）

A.-|B.2C.2&D.V10

【分析】根據(jù)條件可以得出NE=NADC=90°,進(jìn)而得出△CEB^ZXADC,就可以得出BE=DC,

就可以求出DE的值.

【解答】解:VBE±CE,AD±CE,

AZE=ZADC=90°，

.,.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

ZEBC=ZDCA.

在ACEB和4ADC中,

"ZE=ZADC

<NEBC=NDCA，

BC=AC

.".△CEB^AADC(AAS),

/.BE=DC=1,CE=AD=3.

ADE=EC-CD=3-1=2

故選：B.

6.（2018?臺灣）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BOAE,ZE=115°,

)

D.130

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出AABC與AAED全等，進(jìn)而得出NB二NE,利用多

邊形的內(nèi)角和解答即可.

【解答】解：???正三角形ACD,

AAC=AD,ZACD=ZADC=ZCAD=60°,

VAB=DE,BC=AE,

.'.△ABC^AAED,

.?.ZB=ZE=115°,ZACB=ZEAD,ZBAC=ZADE,

AZACB+ZBAC=ZBAC+ZDAE=180°-115°=65°,

AZBAE=ZBAC+ZDAE+ZCAD=650+60°=125°,

故選：C.

7.（2018?成都）如圖，己知/ABC二NDCB,添加以下條件，不能判定AABC絲ADCB的是（)

D

A.ZA=ZDB.ZACB=ZDBCC.AC=DBD.AB=DC

【分析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根據(jù)定理逐個判斷即可.

【解答】解：A、ZA=ZD,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合AAS,即能推出aABC絲△DCB,故本

選項錯誤；

B、ZABC=ZDCB,BC=CB,ZACB=ZDBC,符合ASA,即能推出△ABCgZ\DCB,故本選項錯誤；

C、ZABC=ZDCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理，即不能推出AABC絲ADCB,

故本選項正確；

D、AB=DC,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合SAS,即能推出AABC絲△DCB,故本選項錯誤；

故選：C.

8.(2018?黑龍江)如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,AC=5,ZDAB=ZDCB=90°,則四邊形

ABCD的面積為()

A.15B.12.5C.14.5D.17

【分析】過A作AELAC,交CB的延長線于E,判定△ACDgZXAEB,即可得到4ACE是等腰

直角三角形，四邊形ABCD的面積與4ACE的面積相等，根據(jù)5X5=12.5,即可得

出結(jié)論.

【解答】解：如圖，過A作AE_LAC,交CB的延長線于E,

VZDAB=ZDCB=90°,

，ZD+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

ZD=ZABE,

XVZDAB=ZCAE=90°,

ZCAD=ZEAB,

X\'AD=AB,

.,.△ACD^AAEB,

/.AC=AE,即4ACE是等腰直角三角形,

四邊形ABCD的面積與AACE的面積相等,

S&KE="^"X5X5=12.5,

2

.??四邊形八1^口的面積為12.5,

故選:B.

B-、E

9.（2018?綿陽）如圖，4ACB和4ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,ZXACB的頂

點A在4ECD的斜邊DE上，若AE=a,AD=泥，則兩個三角形重疊部分的面積為（）

E

A.5/2B.3-72C.-/3-ID.3->/3

【分析】如圖設(shè)AB交CD于0,連接BD,作0M_LDE于M,0N_LBD于N.想辦法求出AAOB

的面積.再求出0A與0B的比值即可解決問題；

【解答】解：如圖設(shè)AB交CD于0,連接BD,作OMJ_DE于M,ON_LBD于N.

E

VZECD=ZACB=90°,

ZECA=ZDCB,

VCE=CD,CA=CB,

AAECA^ADCB,

NE=NCDB=45°,AE=BD=&,

VZEDC=45°,

AZADB=ZADC+ZCDB=90°,

在RSADB中，AB刃AD2+DBA2加，

???AC=BO2,

***S&\BC-~^~X2X2—2,

2

???0D平分NADB,OM_LDE于M,ONJ_BD于N,

???OM=ON,

SAAOD_OA_I，AD，OH_V6_^

Sadob0By-DB-ON也

故選:D.

二.填空題（共4小題）

10.（2018?金華）如圖，aABC的兩條高AD,BE相交于點F,請?zhí)砑右粋€條件，使得4ADC

^△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是AC=BC.

【分析】添加AC=BC,根據(jù)三角形高的定義可得NADC=NBEC=90°,再證明NEBC=NDAC,

然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADCZ4BEC.

【解答】解：添加AC=BC,

1?△ABC的兩條高AD,BE,

AZADC=ZBEC=90°,

AZDAC+ZC=90°,ZEBC+ZC=90°,

，ZEBC=ZDAC,

rZBEC=ZADC

在aADC和ABEC中，ZEBC=ZDAC>

,AC=BC

.".△ADC^ABEC（AAS）,

故答案為：AC=BC.

11.（2018?衢州）如圖，在AABC和ADEF中，點B,F,C,E在同一直線上，BF=CE,AB

〃DE,請?zhí)砑右粋€條件，使AABCgADEF,這個添加的條件可以是AB=ED（只需寫一個,

不添加輔助線）.

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC=EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB=NE,再添加AB=ED可利

用SAS判定aABC絲ZXDEF.

【解答】解：添加AB=ED,

VBF=CE,

，BF+FC=CE+FC,

即BC=EF,

VAB//DE,

ZB=ZE,

rAB=ED

在AABC和ADEF中（/B=/E，

CB=EF

AAABC^ADEF（SAS）,

故答案為：AB=ED.

12.（2018?紹興）等腰三角形ABC中，頂角A為40°,點P在以A為圓心，BC長為半徑的

圓上，且BP=BA,則/PBC的度數(shù)為30°或110°.

【分析】分兩種情形，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；

【解答】解：如圖，當(dāng)點P在直線AB的右側(cè)時.連接AP.

VAB=AC,ZBAC=40°，

：.ZABC=ZC=70",

VAB=AB,AC=PB,BC=PA,

/.△ABC^ABAP,

.\ZABP=ZBAC=40°,

.,.ZPBC=ZABC-ZABP=30",

當(dāng)點P'在AB的左側(cè)時，同法可得/ABP'=40°,

：.ZP'BC=40°+70°=110°,

故答案為30°或110°.

13.（2018?隨州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5,BC=CDS.BOAB,BD=8.給出以下

判斷：

①AC垂直平分BD；

②四邊形ABCD的面積S=AC?BD；

③順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形可能是正方形；

④當(dāng)A,B,C,D四點在同一個圓上時，該圓的半徑為空；

6

⑤將aABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F,當(dāng)BF_LCD時，

點F到直線AB的距離為率.

125

其中正確的是①③④.（寫出所有正確判斷的序號）

A

【分析】依據(jù)AB=AD=5,BC=CD,可得AC是線段BD的垂直平分線，故①正確；依據(jù)四邊形

ABCD的面積S=組券，故②錯誤；依據(jù)AC=BD,可得順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到

的四邊形是正方形，故③正確；當(dāng)A,B,C,D四點在同一個圓上時，設(shè)該圓的半徑為一

則/=(r-3)2+4、得廠孕，故④正確；連接AF,設(shè)點F到直線AB的距離為h,由折疊

6

可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD,B0=D0=4,依據(jù)產(chǎn)L><BDXOE=LxBEXDF,

22

可得DF=g'進(jìn)而得出EF='，再根據(jù)SAABF=StwAIM-SAMP,即可得到h=,故⑤錯誤.

55125

【解答】解：：在四邊形ABCD中，AB=AD=5,BC=CD,

，AC是線段BD的垂直平分線，故①正確；

四邊形ABCD的面積$=等口，故②錯誤；

當(dāng)AC=BD時，順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形是正方形，故③正確；

當(dāng)A,B,C,D四點在同一個圓上時，設(shè)該圓的半徑為r,則

r2=(r-3)2+42,

得廠孕，故④正確；

6

將aABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F,如圖所示，

連接AF,設(shè)點F到直線AB的距離為h,

由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD,B0=D0=4,

.?.A0=E0=3,

SAUDI；----XBDX0E=--XBEXDF,

22

.nnBDXEO24

BE5

VBF1CD,BF〃AD,

AAD1CD,EF=7DG2_DF2=1,

D

SAAB^S梯形ABFD-SAADF，

A—X5h=—(5+5+—)X---X5X—,

225525

解得h=卑，故⑤錯誤；

125

故答案為：①③④.

三.解答題（共23小題）

14.（2018?柳州）如圖,AE和BD相交于點C,NA=NE,AC=EC.求證：AABC^AEDC.

【分析】依據(jù)兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等進(jìn)行判斷.

【解答】證明：\?在AABC和AEDC中,

rZA=ZE

,AC=EC，

,ZACB=ZECD

/.△ABC^AEDC(ASA).

15.（2018?云南）如圖，已知AC平分/BAD,AB=AD.求證：AABC絲ZXADC.

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到NBAC=NDAC,利用SAS定理判斷即可.

【解答】證明：：AC平分NBAD,

，ZBAC=ZDAC,

在aABC和4ADC中，

'AB=AD

?ZBAC=ZDAC-

AC=AC

.,?△ABC^AADC.

16.(2018?瀘州)如圖，EF=BC,DF=AC,DA=EB.求證：NF=NC.

DAEB

【分析】欲證明NF=NC,只要證明△ABCgZXDEF(SSS)即可；

【解答】證明：：DA=BE,

；.DE=AB,

在aABC和aDEF中，

'AB=DE

-AC=DF，

BC=EF

.".△ABC^ADEF(SSS),

/C=NF.

17.(2018?衡陽)如圖，已知線段AC,BD相交于點E,AE=DE,BE=CE.

(1)求證：ZSABE絲4DCE；

(2)當(dāng)AB=5時,求CD的長.

BC

【分析】（1）根據(jù)AE=DE,BE=CE,NAEB和NDEC是對頂角，利用SAS證明4AEB絲ADEC

即可.

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】(1)證明：在AAEB和ADEC中,

'AE=DE

?NAEB=NDEC，

,BE=EC

AAAEB^ADEC(SAS).

(2)解:VAAEB^ADEC,

；.AB=CD,

VAB=5,

.\CD=5.

18.(2018?通遼)如圖，aABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平

行線交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF.

(1)求證：Z\AEF絲ADEB；

(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由AF〃BC得NAFE=NEBD,繼而結(jié)合NEAF=NEDB、AE=DE即可判定全等；

(2)根據(jù)AB=AC,且AD是BC邊上的中線可得NADC=90°,由四邊形ADCF是矩形可得答案.

【解答】證明：(1)：E是AD的中點，

.\AE=DE,

?；AF〃BC,

ZAFE=ZDBE,NEAF=NEDB,

/.△AEF^ADEB(AAS)；

VAF/7CD,AF=CD,

???四邊形ADCF是平行四邊形,

VAAEF^ADEB,

ABE=FE,

VAE=DE,

???四邊形ABDF是平行四邊形,

ADF=AB,

VAB=AC,

ADF=AC,

???四邊形ADCF是矩形.

19.(2018?泰州)如圖,ZA=ZD=90°,AC=DB,AC、DB相交于點0.求證：0B=0C.

【分析】因為NA=ND=90°，AC=BD,BC=BC,知RMBACgRSCDB(HL)，所以AB=CD,證

明aABO與aCDO全等，所以有0B=0C.

【解答】證明：在RtAABC和RtADCB中

[BD=AC

lCB=BC，

ARtAABC^RtADCB(HL),

???Z0BC=Z0CB,

AB0=C0.

20.(2018?南充)如圖，已知AB=AD,AC=AE,ZBAE=ZDAC.

【分析】由NBAE=NDAC可得到NBAC=NDAE,再根據(jù)“SAS”可判斷△BACgaDAE,根據(jù)全

等的性質(zhì)即可得到NC=NE.

【解答】解：VZBAE=ZDAC,

ZBAE-ZCAE=ZDAC-ZCAE,即/BAC=/DAE,

在aABC和4ADE中，

'AB=AD

NBAC=/DAE，

,AC=AE

.,.△ABC^AADE(SAS),

ZC=ZE.

21.(2018?恩施州)如圖，點B、F、C、E在一條直線上,FB=CE,AB//ED,AC/7FD,AD交

BE于0.

求證：AD與BE互相平分.

D

【分析】連接BD,AE,判定aABC絲Z\DEF(ASA),可得AB=DE,依據(jù)AB〃DE,即可得出四

邊形ABDE是平行四邊形，進(jìn)而得到AD與BE互相平分.

【解答】證明：如圖，連接BD,AE,

VFB=CE,

；.BC=EF,

又：AB〃ED,AC〃FD,

，ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

在△ABC和ADEF中，

'/ABC=NDEF

<BC=EF，

,ZACB=ZDFE

.,.△ABC^ADEF(ASA),

.'.AB=DE,

又：AB〃DE,

四邊形ABDE是平行四邊形，

.?.AD與BE互相平分.

22.(2018?哈爾濱)己知：在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E,且ACJ_BD,作

BF±CD,垂足為點F,BF與AC交于點C,ZBGE=ZADE.

(1)如圖1,求證：AD=CD；

(2)如圖2,BH是4ABE的中線，若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何輔助線的情況下，請直

接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于4ADE面積的2倍.

【分析】(1)由AC_LBD、BF±CD矢口/ADE+/DAE=/CGF+NGCF,根據(jù)/BGE=/ADE=NCGF

得出NDAE=/GCF即可得；

(2)設(shè)DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a>CE=AE=2a,據(jù)止匕知$&0€=2@2=25?.：，

證△ADEZ^BGE得BE=AE=2a,再分別求出S△廨、SA?,從而得出答案.

【解答】解：(1)VZBGE=ZADE,ZBGE=ZCGF,

；./ADE=/CGF,

???ACJ_BD、BF±CD,

JZADE+ZDAE=ZCGF+ZGCF,

AZDAE=ZGCF,

AAD=CD；

(2)設(shè)DE=a,

則AE=2DE=2a,EG=DE=a,

1I2

?*.SA.\DE=-AE*DE=—?2a，a=a",

22

YBH是AABE的中線，

.?.AH=HE=a,

VAD=CD.AC±BD,

CE=AE=2a,

則SAAK=-i-AC,DE=-^-e(2a+2a),a=2a'=2SAADE；

22

在4ADE和^BGE中，

rZAED=ZBEG

v-DE=GE，

,ZADE=ZBGE

.,.△ADE^ABGE(ASA),

BE=AE=2a,

；.S.?JAE?BE=L(2a)*23=23,

22

2

SAACE=^€E?BE=—?(2a)*2a=2a,

22

SABI^-^HG*BE=-^-*(a+a)?2a=2a2,

綜上，面積等于AADE面積的2倍的三角形有AACD、AABE.△BCE、ABHG.

23.（2018?武漢）如圖，點E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF與DE交于點G,

求證:GE=GF.

G

B'EC

【分析】求出BF=CE,根據(jù)SAS推出aABF絲ZWCE,得對應(yīng)角相等，由等腰三角形的判定可

得結(jié)論.

【解答】證明：：BE=CF,

.?.BE+EF=CF+EF,

；.BF=CE,

在aABF和4DCE中

'AB=DC

<ZB=ZC

,BF=CE

.".△ABF^ADCE(SAS),

ZGEF=ZGFE,

.\EG=FG.

24.(2018?咸寧)已知：ZAOB.

求作：NA'O'B',使NAWB'=NAOB

(1)如圖1,以點0為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,0B于點C、D；

(2)如圖2,畫一條射線O'A',以點0'為圓心，0C長為半徑間弧，交O'A'于點C'；

(3)以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所而的弧交于點D'；

(4)過點D'畫射線O'B',則NA'O'B'=NAOB.

根據(jù)以上作圖步驟，請你證明/A'O'B'=NAOB.

【分析】由基本作圖得到OD=OC=O,Dz=0'C',CD=C,D',則根據(jù)“SSS"可證明△OCD

堂△()'C'D',然后利用全等三角形的性質(zhì)可得到NA'O'B'=NA0B.

【解答】證明：由作法得OD=OC=O'D'=0'C',CD=C'D',

在AOCD和△()'C'D'中

<OC=OC,

<0D=O/D?，

CD=C'D'

.,.△OCD^AOZCD',

.\ZCOD=ZC,O'D',

即NA'O'B'=NAAB.

25.(2018?安順)如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC

的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.

(1)求證:AF=DC；

(2)若ACLAB,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)連接DF,由AAS證明△AFEg^DBE,得出AF=BD,即可得出答案；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF,求出AD=CD,根據(jù)菱形的判定得出即可;

【解答】(1)證明：連接DF,

???E為AD的中點,

；.AE=DE,

?；AF〃BC,

...NAFE=NDBE,

在aAFE和aDBE中，

rZAFE=ZDBE

-ZFEA=ZDEB.

AE=DE

.".△AFE^ADBE(AAS),

，EF=BE,

VAE=DE,

四邊形AFDB是平行四邊形，

.\BD=AF,

：AD為中線，

.\DC=BD,

；.AF=DC；

(2)四邊形ADCF的形狀是菱形，理由如下:

VAF=DC,AF〃BC,

四邊形ADCF是平行四邊形,

VAC±AB,

AZCAB=90°,

：AD為中線，

.,.AD=^BC=DC,

2

平行四邊形ADCF是菱形；

26.（2018?廣州）如圖，AB與CD相交于點E,AE=CE,DE=BE.求證：ZA=ZC.

【分析】根據(jù)AE=EC,DE=BE,NAED和/CEB是對頂角，利用SAS證明4ADE也ZiCBE即可.

【解答】證明：在4AED和4CEB中，

'AE=CE

<ZAED=ZCEB.

DE=BE

.".△AED^ACEB（SAS）,

AZA=ZC（全等三角形對應(yīng)角相等）.

27.（2018?宜賓）如圖，已知N1=N2,ZB=ZD,求證：CB=CD.

B

Z)

【分析】由全等三角形的判定定理AAS證得△ABCgaADC,則其對應(yīng)邊相等.

【解答】證明：如圖，：/1=/2,

ZACB=ZACD.

在AABC與4ADC中，

rZB=ZD

<NACB=/ACD，

AC=AC

A△ABCADC(AAS),

.\CB=CD.

28.(2018?銅仁市)已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC,AE=BF,CE=DF,

求證:AE〃BF.

【分析】可證明AACE絲△BDF,得出NA=NB,即可得出AE〃BF；

【解答】證明：；AD=BC,，AC=BD,

"AC=BD

在4ACE和4BDF中，＜AE=BF，

,CE=DF

.,.△ACE^ABDF(SSS)

ZA=ZB,

...AE〃BF；

29.（2018?溫州）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，AD/7EC,ZAED=ZB.

（1）求證：△AEDW^EBC.

（2）當(dāng)AB=6時，求CD的長.

【分析】（1）利用ASA即可證明；

（2）首先證明四邊形AECI）是平行四邊形，推出CD=AE==AB即可解決問題;

2

【解答】（1）證明：＞AD〃EC,

,ZA=ZBEC,

；E是AB中點,

，AE=EB,

；/AED=/B,

.,.△AED^AEBC.

(2)解：VAAED^AEBC,

.".AD=EC,

?；AD〃EC,

四邊形AECD是平行四邊形,

；.CD=AE,

VAB=6,

；.CD=LB=3.

2

30.（2018?荷澤）如圖，AB〃CD,AB=CD,CE=BF.請寫出DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

【分析】結(jié)論：DF=AE.只要證明4CDF空ABAE即可;

【解答】解：結(jié)論：DF=AE.

理由：；AB〃CD,

/C=NB,

VCE=BF,

.\CF=BE,VCD=AB,

.,.△CDF^ABAE,

；.DF=AE.

31.（2018?蘇州）如圖，點A,F,C,D在一條直線上，AB〃DE,AB=DE,AF=DC.求證：BC

〃EF.

【分析】由全等三角形的性質(zhì)SAS判定aABC絲ZXDEF,則對應(yīng)角/ACB=NDFE,故證得結(jié)論.

【解答】證明：：AB〃DE,

AZA-ZD,

VAF=DC,

.\AC=DF.

...在AABC與△DEF中，

'AB二DE

,ZA=ZD>

,AC=DF

.".△ABC^ADEF(SAS),

???ZACB=ZDFE,

ABCZ/EF.

32.（2018?嘉興）已知：在aABC中，AB=AC,D為AC的中點，DE1AB,DF±BC,垂足分別

為點E,F,且DE=DF.求證：ZiABC是等邊三角形.

BAFC

【分析】只要證明RtAADE^RtACDF,推出NA=/C,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出

AB=BC=AC；

【解答】證明：：DELAB,DF±BC,垂足分別為點E,F,

AZAED=ZCFD=90°,

YD為AC的中點，

.\AD=DC,

在RtZ\ADE和RtACDF中，

（AD=DC

lDE=DF，

.?.RtAADE^RtACDF,

ZA=ZC,

.,.BA=BC,VAB=AC,

.\AB=BC=AC,

.,.△ABC是等邊三角形.

33.（2018?濱州）已知，在ZkABC中,ZA=90°,AB=AC,點D為BC的中點.

（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DELDF,求證：BE=AF；

（2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE_LDF,那么BE=AF嗎？請利用圖②說明

理由.

【分析】(1)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD=BD、ZEBD=ZFAD,根據(jù)同角的余

角相等可得出/BDE=/ADF,由此即可證出ABDE絲AADF(ASA),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

即可證出BE=AF；

(2)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補角相等可得出/EBD=/FAD、BD=AD,根據(jù)

同角的余角相等可得出NBDE=NADF,由此即可證出4EDBg4FDA(ASA),再根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)即可得出BE=AF.

【解答】(1)證明：連接AD,如圖①所示.

VZA=90°,AB=AC,

...△ABC為等腰直角三角形，ZEBD=45°.

???點D為BC的中點，

；.AD=Uc=BD,ZFAD=45°.

2

VZBDE+ZEDA=90",ZEDA+ZADF=90°,

ZBDE=ZADF.

2EBD=NFAD

在ABDE和AADF中，＜BD=AD，

,ZBDE=ZADF

AABDE^AADF(ASA),

；.BE=AF；

(2)BE=AF,證明如下:

連接AD,如圖②所示.

VZABD=ZBAD=45°,

AZEBD=ZFAD=135°.

VZEDB+ZBDF=90°,ZBDF+ZFDA=90°,

，ZEDB=ZFDA.

'NEBD=NFAD

在4EDB和^FDA中，＜BD=AD，

,ZEDB=ZFDA

.,.△EDB^AFDA(ASA),

34.(2018?懷化)己知：如圖，點A.F,E.C在同一直線上，AB〃DC,AB=CD,ZB=ZD.

(1)求證：^ABE之4CDF；

(2)若點E,G分別為線段FC,FD的中點，連接EG,且EG=5,求AB的長.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NC,進(jìn)而利用全等三角形的判定證明即可;

(2)利用全等三角形的性質(zhì)和中點的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：(1)VABADC,

ZA=ZC,