2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　橢圓的簡單幾何性質(zhì) 學(xué)案

1．2橢圓的簡單幾何性質(zhì)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+yy2a2+x焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形范圍____≤x≤____，____≤y≤________≤y≤____，____≤x≤____對稱性關(guān)于____軸、____軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1______，A2____，B1____，B2____A1____，A2____，B1____，B2____軸長長軸長|A1A2|＝____，短軸長|B1B2|＝____離心率e＝________(0<e<1)狀元隨筆(1)橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2必在它的長軸上．(2)a是橢圓的長半軸長，b是橢圓的短半軸長，c是橢圓的半焦距，它們滿足關(guān)系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如圖a，b，c恰好構(gòu)成一個直角三角形．明確了a，b的幾何意義，可得“已知橢圓的四個頂點(diǎn)求焦點(diǎn)”的幾何作法．只要以短軸的端點(diǎn)B1(或B2)為圓心，以a為半徑作弧，交長軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就是焦點(diǎn)．(3)計(jì)算離心率常見形式，e＝ca＝1[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)橢圓x2a2+y2b(2)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．()(3)橢圓x24+y2(4)橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點(diǎn)是(0，13)，另一個頂點(diǎn)是(－10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±69)．()2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)3．已知橢圓x210-m+A．8B．7C．5D．44．橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩頂點(diǎn)分別是(4，0)，(0，2)，則此橢圓的方程是________．題型一根據(jù)橢圓方程研究其幾何性質(zhì)例1已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝32，求m方法歸納在求橢圓的長軸和短軸的長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后判斷焦點(diǎn)所在的位置，看兩種情況是否都適合．跟蹤訓(xùn)練1(1)橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5、3、0.8B．10、6、0.8C．5、3、0.6D．10、6、0.6(2)設(shè)橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的離心率為12題型二根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸長是10，離心率是45(2)在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩個端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6；(3)經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，且與橢圓x2狀元隨筆與橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為x2a2方法歸納利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：①確定焦點(diǎn)位置；②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝ca(2)在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個．跟蹤訓(xùn)練2(1)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x29+C．x216+(2)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．(3)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個焦點(diǎn)，A是一個頂點(diǎn)，橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA＝23題型三橢圓的離心率問題角度1定義法求橢圓離心率例3橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為角度2構(gòu)造齊次方程法求橢圓離心率例4設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2A．36B．13C．1方法歸納求橢圓離心率及范圍的兩種方法1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝c2．方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為x2a2+y2bA．14B．13C．1(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若直線x＝a2A．(0，22]B．(0，3C．[22，1)D．[3題型四與橢圓有關(guān)的軌跡問題例5已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程．方法歸納1．與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例所用方法為定義法．2．對定義法求軌跡方程的認(rèn)識如果能確定動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．3．代入法(相關(guān)點(diǎn)法)若所求軌跡上的動點(diǎn)P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(對稱相關(guān)點(diǎn)法)．跟蹤訓(xùn)練4已知P是橢圓x24+y28＝1上一動點(diǎn)，易錯辨析忽視隱含條件致錯例6若直線y＝kx＋1與橢圓x25+解析：由于直線y＝kx＋1過定點(diǎn)(0，1)，故點(diǎn)(0，1)恒在橢圓內(nèi)或橢圓上，所以m∈[1，＋∞)．又因?yàn)閙≠5，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，5)∪答案：[1，5)∪【易錯警示】易錯原因糾錯心得本題容易忽視隱含條件m≠5致錯，錯誤答案為[1，＋∞)．注意圓不是橢圓的特殊情況，解答此類問題時(shí)，一定要排除圓的情況．[課堂十分鐘]1．已知點(diǎn)(3，2)在橢圓x2a2+yA．點(diǎn)(－3，－2)不在橢圓上B．點(diǎn)(3，－2)不在橢圓上C．點(diǎn)(－3，2)在橢圓上D．無法判斷點(diǎn)(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在橢圓上2．[多選題]已知橢圓x2a2+y2bA．a(chǎn)2＝25B．b2＝25C．a(chǎn)2＝9D．b2＝93．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于()A．13B．33C．14．已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為135．若橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為3，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．2橢圓的簡單幾何性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)－aa－bb－aa－bbxy(－a，0)(a，0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b，0)(b，0)2a2bc[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：橢圓方程可化為x2＋y26＝1，則長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±答案：D3．解析：由題意得m－2>10－m且10－m>0，于是6<m<10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.故選A.答案：A4．解析：由已知a＝4，b＝2，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程是x2答案：x2題型探究·課堂解透例1解析：橢圓的方程可化為：x2∵m－mm+3＝mm+2m+3>0，∴m即a2＝m，b2＝mm+3，c＝a2-由e＝32得m+2m+3＝32∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2∴a＝1，b＝12，c＝3∴橢圓的長軸長為2，短軸長為1，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1-32，0四個頂點(diǎn)分別為A1(－1，0)，A2(1，0)，B10，-12，跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)把橢圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y225＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2(2)橢圓方程可化為x2①當(dāng)0<m<4時(shí)，a＝2，b＝m，c＝4-m，∴e＝ca＝4-m2＝12，∴m＝3，∴b＝3，c＝1，∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別是4，23，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－②當(dāng)m>4時(shí)，a＝m，b＝2，∴c＝m-4，∴e＝ca＝m-4m＝12，解得m＝163，∴a＝433，c＝233，∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別為833，4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－233)，F(xiàn)2(0，23答案：(1)B(2)見解析例2解析：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2＝1(a>由已知得2a＝10，故a＝5.∵e＝ca＝45，∴c＝4，∴b2＝a2－c∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+(2)依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，故a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(3)方法一：由題意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2將點(diǎn)M(1，2)代入橢圓方程得12b2+4b2＝1或42b故所求橢圓方程為x29+方法二：設(shè)所求橢圓方程為x212+y26＝k1(k1>0)或y212+x26＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得112+46＝k1或412+16＝k2，解得k1跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)由題意，得2a+2b=18，c=3因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)由2a＝18，得a＝9.又因?yàn)?c＝183＝6，所以c所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(3)因?yàn)闄E圓的長軸長是6，cos∠OFA＝23，所以點(diǎn)A所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－2所以橢圓的方程是x29+答案：(1)B(2)x281+y2例3解析：如圖，設(shè)F(c，0)，由△OAF是等邊三角形，得A(c2∵點(diǎn)A在橢圓上，∴有c24a2+3c24b2＝1①，在橢圓中有a2＝b2＋c2②，聯(lián)立①②，得c2＝(4－23)a2，即c答案：3－1例4解析：解法一由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故離心率e＝ca＝2c2a＝F1F2解法二由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，變形可得3(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝答案：D跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)由短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形的面積相等得12×2c×b＝12×(2a＋2c)×b3得，a＝2c，即e＝c(2)由垂直平分線的性質(zhì)知|F1F2|＝|PF2|，設(shè)直線x＝a2c與x軸的交點(diǎn)為M，則|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，則2c≥a2c－c，即3c2≥a2，所以e2＝c2a2答案：(1)C(2)D例5解析：由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設(shè)動圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2，由橢圓定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為x24+跟蹤訓(xùn)練4解析：設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=x0又∵點(diǎn)P在橢圓x2∴2x24+2y28＝1，即答案：x2＋y2[課堂十分鐘]1．解析：由橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱可知，點(diǎn)(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)都在橢圓上．答案：