2019年黑龍江省鶴崗市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年黑龍江省鶴崗市中考數(shù)學試卷

一、填空題（每題3分，滿分30分）

1.（3分）（2019?黑龍江）中國政府提出的“一帶一路”倡議，近兩年來為沿線國家創(chuàng)造了

約180000個就業(yè)崗位.將數(shù)據(jù)180000用科學記數(shù)法表示為L8X1（）5.

【考點】H：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，”是負數(shù).

【解答】解：將180000用科學記數(shù)法表示為1.8X105,

故答案是：1.8X1O5.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其

中〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

2.（3分）（2019?黑龍江）在函數(shù)＞=々方中，自變量x的取值范圍是龍22.

【考點】E4：函數(shù)自變量的取值范圍.

【專題】512：整式.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于0即可求解.

【解答】解：在函數(shù)中，有尤-220,解得x22,

故其自變量x的取值范圍是x22.

故答案為x22.

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù).

3.（3分）（2019?黑龍江）如圖，在四邊形ABC。中，AD=BC,在不添加任何輔助線的情

況下，請你添加一個條件（答案不唯一），使四邊形A8C。是平行四邊形.

D_______________C

'B

【考點】L6：平行四邊形的判定.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】可再添加一個條件AO〃BC,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

四邊形ABC。是平行四邊形.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定，可再添加一個條件：AD//BC.

故答案為：AD//BC（答案不唯一）.

【點評】此題主要考查平行四邊形的判定.是一個開放條件的題目，熟練掌握判定定理

是解題的關鍵.

4.（3分）（2019?黑龍江）在不透明的甲、乙兩個盒子中裝有除顏色外完全相同的小球，甲

盒中有2個白球、1個黃球，乙盒中有1個白球、1個黃球，分別從每個盒中隨機摸出1

個球，則摸出的2個球都是黃球的概率是1.

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】先畫出樹狀圖展示所有6種等可能的結果數(shù)，再找出2個球都是黃球所占結果

數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為：，

共有6種等可能的結果數(shù)，其中2個球都是黃球占1種，

摸出的2個球都是黃球的概率=1；

6

故答案為：—.

6

白白苗

八人

白苗4芾-工

一、白黃白黃

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：運用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求

出"，再從中選出符合事件A或8的結果數(shù)目加，然后根據(jù)概率公式求出事件A或2的

概率.

x-Tn^-0

5.（3分）（2019?黑龍江）若關于x的一元一次不等式組、的解集為尤>1,則，”的

2x+l>3

取值范圍是mWl.

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式尤-加>0,得：x>m,

解不等式2x+l>3,得：x>l,

:不等式組的解集為x>l,

故答案為：mWL

【點評】本題考查的是解一元-次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知

“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

6.（3分）（2019?黑龍江）如圖，在中，半徑OA垂直于弦8C,點。在圓上且/AOC

=30°,則NA08的度數(shù)為60°.

【考點】M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理.

【專題】559：圓的有關概念及性質.

【分析】利用圓周角與圓心角的關系即可求解.

【解答】'：OA±BC,

AB=AC,

ZAOB=2ZADC,

VZADC=30°,

/.ZAOB=60°,

故答案為60。.

【點評】此題考查了圓周角與圓心角定理，熟練掌握圓周角與圓心角的關系是解題關鍵.

7.（3分）（2019?黑龍江）若一個圓錐的底面圓的周長是5item,母線長是6cm,則該圓錐

的側面展開圖的圓心角度數(shù)是150。

【考點】MP：圓錐的計算.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】利用圓錐的底面周長和母線長求得圓錐的側面積，然后再利用圓錐的面積的計

算方法求得側面展開扇形的圓心角的度數(shù)即可.

【解答】解：：圓錐的底面圓的周長是45c〃z,

，圓錐的側面扇形的弧長為5ncm,

.nnx6^

180

解得:“=150

故答案為150°.

【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是根據(jù)圓錐的側面展開扇形的弧長等于圓

錐的底面周長來求出弧長.

8.（3分）（2019?黑龍江）如圖，矩形4BCD中，AB=4,BC=6,點尸是矩形ABC。內一

動點，且S.B=SMCD，則PC+尸。的最小值為」蝎

【考點】K3：三角形的面積；LB：矩形的性質；PA：軸對稱-最短路線問題.

【專題】48：構造法；552：三角形.

【分析】由于S△孫B=SMCD，這兩個三角形等底同高，可得點P在線段4。的垂直平分

線上，根據(jù)最短路徑問題，可得PC+PO=AC此時最小，有勾股定理可求結果.

【解答】解：?

,：ABCD為矩形，

：.AB=DC

又,**S/\PAB=S/\PCD

???點P到AB的距離與到CD的距離相等，即點P線段垂直平分線MN上,

連接AC,交MN與點P,此時PC+P。的值最小，

且PC+PD=AC=yAB2+BC2T42+6?=

故答案為：2A

【點評】本題主要考查最短路徑問題，勾股定理等知識點.

9.（3分）（2019?黑龍江）一張直角三角形紙片ABC,ZACB=90°,AB=1Q,AC=6,點

。為BC邊上的任一點，沿過點。的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊A8上的點E處，

當是直角三角形時，則C。的長為3或22.

【考點】KQ：勾股定理；PB：翻折變換（折疊問題）.

【專題】32：分類討論.

【分析】依據(jù)沿過點。的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當△BOE

是直角三角形時，分兩種情況討論：NDEB=90。或/8。己=90°,分別依據(jù)勾股定理

或者相似三角形的性質，即可得到C。的長.

【解答】解：分兩種情況：

①若/。防=90°,則/AED=90°=NC,CD=ED,

連接A。，貝I]RtA4C￡>gRtA4EO(皿,),

.*.AE=AC=6,BE=10-6=4,

設C0=OE=x,貝ijBD=8-x,

?.?Rt/XBOE中，DE1+BEi=BD1,

.,.X2+42—(8-x)2,

解得尤=3,

:.CD=3；

②若/BDE=90°,則/C￡)E=/￡>￡/=/C=90°,CD=DE,

A

???四邊形COEb是正方形，

ZAFE=ZEDB=90°,/AEF=/B,

：.AAEF^AEBD,

.AF=EF

**EDBD，

設CD=x,則EF=DF=x,AF=6-x,BD=8-x,

?6-x_x

??---------------,

X8-X

解得尤=21,

7

.?.cr）=毀，

7

綜上所述，CD的長為3或22，

7

故答案為：3或

7

【點評】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設要求的線段長為無，然后根據(jù)折

疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用

勾股定理列出方程求出答案.

10.（3分）（2019?黑龍江）如圖，四邊形OA4/1是邊長為1的正方形，以對角線為

邊作第二個正方形04A2&，連接AA2,得到△AAB2；再以對角線為邊作第三個正

方形。12A3明，連接AM3，得到AAiA2A3；再以對角線。43為邊作第四個正方形，連接

A2A4,得到243A4……記△AA1A2、△AB2A3、2A344的面積分別為叢、S”S3,如

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類；K3：三角形的面積.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】首先求出&、S2、S3,然后猜測命題中隱含的數(shù)學規(guī)律，即可解決問題.

【解答】解：：四邊形0A41s是正方形，

0A=AAi=A\B\=1,

???5i=lxiXl=^

?.,ZOA4i=90°,

.?.AOI2=12+12=V2，

，042=A2A3=2,

-'-52=yX2X1=1，

同理可求：S3='x2X2=2,義=4…，

?$__QH.-2

?c—O2017

,,32019一2'

【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學生找規(guī)律的能力，本題

中找到an的規(guī)律是解題的關鍵.

二、選擇題（每題3分，滿分30分）

11.（3分）（2019?黑龍江）下列各運算中，計算正確的是（）

A2s2c410.2,5

A.a+2〃=3aB.b7-b7=b

C.（m-n）2=m2-n2D.（-2,）3=-8x6

【考點】35：合并同類項；47：塞的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)暴的除法；4C：完全

平方公式.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運算法則以及完全平方公式、合并同類項法則分別化

簡得出答案.

【解答】解：A、/+2）=3）,故此選項錯誤；

B、b10^b2=b8,故此選項錯誤；

C、（m-n）2=m2-2mn+n',故此選項錯誤；

。、（-2x2）3=-8x6,故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)募的乘除運算以及完全平方公式、合并同類項，正確掌

握相關運算法則是解題關鍵.

12.（3分）（2019?黑龍江）下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，其中是中心對稱圖形的

是（）

【考點】R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解即可.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤;

8、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；

C、是中心對稱圖形，本選項正確；

。、不是中心對稱圖形，本選項錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180

度后兩部分重合.

13.（3分）（2019?黑龍江）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和

俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最少是（

主視圖俯視圖

A.6B.5C.4D.3

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形.

【解答】解：綜合主視圖和俯視圖，底層最少有4個小立方體，第二層最少有1個小立

方體，因此搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是5個.

故選：B.

【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，根據(jù)題目中要求的以最少的小正方體搭建

這個幾何體，可以想象出左視圖的樣子，然后根據(jù)“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左

視圖拆違章”很容易就知道小正方體的個數(shù).

14.（3分）（2019?黑龍江）某班在陽光體育活動中，測試了五位學生的“一分鐘跳繩”成

績，得到五個各不相同的數(shù)據(jù).在統(tǒng)計時，出現(xiàn)了一處錯誤：將最低成績寫得更低了，

則計算結果不受影響的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.極差

【考點】W1：算術平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W6：極差；W7：方差.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義解答可得.

【解答】解：因為中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按照大小順序重新排列，代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中

點”，不受極端值影響，

所以將最低成績寫得更低了，計算結果不受影響的是中位數(shù)，

故選：B.

【點評】本題主要考查方差、極差、中位數(shù)和平均數(shù)，解題的關鍵是掌握中位數(shù)的定義.

15.（3分）（2019?黑龍江）某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主

干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總

數(shù)是43,則這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【考點】AD：一元二次方程的應用.

【專題】34：方程思想；523：一元二次方程及應用.

【分析】設這種植物每個支干長出x個小分支，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43,

即可得出關于尤的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【解答】解：設這種植物每個支干長出尤個小分支，

依題意，得：l+x+，=43,

解得：%i=-7（舍去），無2=6.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

16.（3分）（2019?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，平行四邊形。

的頂點A在反比例函數(shù)y=1上，頂點8在反比例函數(shù)y="上，點C在無軸的正半軸上，

xx

則平行四邊形OA8C的面積是（）

22

【考點】G5：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；L5：

平行四邊形的性質.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得.

【解答】解：如圖作軸于。，延長交y軸于E,

,/四邊形048c是平行四邊形，

：.AB//OC,OA=BC,

軸，

：.OE=BD,

ARtAAO￡^RtACBZ）（HL）,

根據(jù)系數(shù)上的幾何意義，S矩形BDOE=5,S/^AOE—~<

2

/.四邊形04BC的面積=5-2-1=4,

22

故選：C.

O\CDF

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質等，有一

定的綜合性

17.（3分）（2019?黑龍江）己知關于x的分式方程紅三=1的解是非正數(shù)，則，〃的取值范

x-3

圍是（）

A.B.m<3C.m>-3D.-3

【考點】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式.

【專題】522：分式方程及應用；524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】根據(jù)解分式方程的方法可以求得機的取值范圍，本題得以解決.

【解答】解：紅三=1,

x-3

方程兩邊同乘以X-3,得

2x-m=x-3,

移項及合并同類項，得

x=m-3,

?.?分式方程紅三=1的解是非正數(shù)，X-3W0,

x-3

,-340

\（m-3）-3卉0

解得,mW3,

故選：A.

【點評】本題考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確解分式方

程的方法.

18.（3分）（2019?黑龍江）如圖，矩形A5CD的對角線AC、8。相交于點O,AB：BC=3：

2,過點5作過點。作CE〃。-BE、CE交于點E,連接OE,貝（JtanNEQC

)

AB

【考點】LA：菱形的判定與性質；LB：矩形的性質；T7：解直角三角形.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】如圖，過點E作EFJ_直線DC交線段DC延長線于點F,連接OE交BC于點、G.根

據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形OBEC是菱形，則0E與BC垂直平分,

易得EF=OG,CF=^QE=^AB.所以由銳角三角函數(shù)定義作答即可.

22

【解答】解：：矩形A8C。的對角線AC、8。相交于點O,AB：BC=3：2,

.,.設AB=3尤，BC=2x.

如圖，過點E作EF_L直線。C交線段。C延長線于點孔連接交3C于點G.

,:BE〃AC,CE//BD,

...四邊形BOCE是平行四邊形，

:四邊形ABC。是矩形，

：.OB=OC,

四邊形20CE是菱形.

：.0E與BC垂直平分，

EF^—AD=—p,c^x,OE//AB,

22況

四邊形AOEB是平行四邊形，

：.OE=AB,

：.CF=^OE=^-AB=^-x.

222

故選：A.

AB

【點評】本題考查矩形的性質、菱形的判定與性質以及解直角三角形，解題的關鍵是靈

活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

19.（3分）（2019?黑龍江）某學校計劃用34件同樣的獎品全部用于獎勵在“經(jīng)典誦讀”活

動中表現(xiàn)突出的班級，一等獎獎勵6件，二等獎獎勵4件，則分配一、二等獎個數(shù)的方

案有（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

【考點】95：二元一次方程的應用.

【專題】52：方程與不等式.

【分析】設一等獎個數(shù)x個，二等獎個數(shù)y個，根據(jù)題意，得6x+4y=34,根據(jù)方程可得

三種方案；

【解答】解：設一等獎個數(shù)x個，二等獎個數(shù)y個，

根據(jù)題意，得6x+4y=34,

使方程成立的解有［x=5,

Iy=7Iy=4Iy=l

方案一共有3種；

故選:B.

【點評】本題考查二元一次方程的應用；熟練掌握二元一次方程的解法是解題的關鍵.

20.（3分）（2019?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABC。中，NBAC=90°,AB=AC,過點

4作邊8c的垂線AF交。C的延長線于點E,點尸是垂足，連接BE、DF,OF交AC于

點。.則下列結論：①四邊形A3EC是正方形；@CO-BE=1：3；③。E=&BC；@S

四邊形0CEF=SA40O,正確的個數(shù)是（）

E

A.1B.2C.3D.4

【考點】KW：等腰直角三角形；L5：平行四邊形的性質；LG：正方形的判定與性質；

S9：相似三角形的判定與性質.

【專題】555：多邊形與平行四邊形；556：矩形菱形正方形.

【分析】①先證明0△ECR得AB=EC,再得四邊形A8EC為平行四邊形，進而

由/BAC=90°,得四邊形ABCD是正方形，便可判斷正誤；

②由得。c：04=1：2,進而得OC：BE的值，便可判斷正誤；

③根據(jù)BC=y[2AB,DE=2AB進行推理說明便可；

④由△OCP與△04。的面積關系和△0CP與△A0F的面積關系，便可得四邊形0CEF

的面積與△AO。的面積關系.

【解答】解：①：NBAC=90°,AB=AC,

：.BF=CF,

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AB//DE,

；./BAF=NCEF,

ZAFB=ZCFE,

.?.△ABF烏AECF(AAS),

：.AB=CE,

四邊形ABEC是平行四邊形，

,：ZBAC=90°,AB=AC,

二四邊形ABEC是正方形，故此題結論正確；

②：OC//AD,

：./\OCF^/\OAD,

：.OC-.OA=CF：AD=CF-.BC=1：2,

OC-AC=1：3,,：AC^BE,

：.OC：BE=1：3,故此小題結論正確；

③，：AB=CD=EC,

：.DE=2AB,

'：AB=AC,ZBAC=90°,

:.AB=?BC,

2

...?DE=2><*>BC=V^BO故此小題結論正確;

④「△OCT'S△0A。，

也里=3)22，

^AOAD24

?$Ao

,?bAOCF_4bAOAD，

VOC：AC=1：3,

3s△OCF=SAACF，,?*S^ACF=SMEF，

,?^ACEF=3S△OCF^AOAD，

,.$四邊形OCEF二SAOCF+SACEF二合普)S&)AD=SAOAD，故此小題結論正確?

故選：D.

【點評】本題是平行四邊形的綜合題，主要考查了平行四邊形的性質與判定，正方形的

性質與判定，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，

第一小題關鍵是證明三角形全等，第二小題證明三角形的相似，第三小題證明BC與A2

的關系，OE與A8的關系，第四小題關鍵是用△OC尸的面積為橋梁.

三、解答題（滿分60分）

21.（5分）（2019?黑龍江）先化簡，再求值：（二--I-）期中尤=2sin30°

x+1x2-lx+1

+1.

【考點】6D：分式的化簡求值；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】513：分式.

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將尤的值化簡代入計算可

得.

x-1

【解答】解:原式=[.7——TZ~H，(x+1)

(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

1

,(x+1)

(x+1)(x-1)

1

X-1，

當x=2sin30°+1=2*[+1=1+1=2時,

2

原式=1.

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和

運算法則.

22.（6分）（2019?黑龍江）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度,

在平面直角坐標系中，△OAB的三個頂點。（0,0）、A（4,1）、B（4,4）均在格點上.

（1）畫出△OA8關于y軸對稱的△O4S，并寫出點Ai的坐標；

（2）畫出△OAB繞原點。順時針旋轉90°后得到的△。①歷，并寫出點A的坐標；

（3）在（2）的條件下，求線段OA在旋轉過程中掃過的面積（結果保留n）.

【考點】MO：扇形面積的計算；P7：作圖-軸對稱變換；R8：作圖-旋轉變換.

【專題】13：作圖題.

【分析】（1）根據(jù)題意，可以畫出相應的圖形，并寫出點Ai的坐標；

（2）根據(jù)題意，可以畫出相應的圖形，并寫出點出的坐標；

（3）根據(jù)題意可以求得OA的長，從而可以求得線段OA在旋轉過程中掃過的面積.

【解答】解：（1）如右圖所小，

點Ai的坐標是（-4,1）；

（2）如右圖所示，

點42的坐標是（I，-4）；

（3）:點A（4,1）,

-'-OA=V12+42=V17,

90X冗火（舊產(chǎn)17冗

...線段OA在旋轉過程中掃過的面積是:

3604

【點評】本題考查簡單作圖、扇形面積的計算、軸對稱、旋轉變換，解答本題的關鍵是

明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

23.(6分)(2019?黑龍江)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=，+6x+c與x軸交于點

A(3,0)、點B(-1,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點。(0,3)作直線威〃彳軸，點尸在直線AW上且S△而C=SMBC，直接寫出

點尸的坐標.

【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；HA：

拋物線與x軸的交點.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質.

【分析】(1)將點A(3,0)、點B(-1,0)代入y=f+Zw+c即可；

(2)5ADBC=—X6X1=3=5AB4O設尸(X,3),直線CP與無軸交點為。，貝I有AQ

2

=1,可求。(2,0)或。(4,0),得：直線CQ為y=—x-3或y=—x-3,當y=3

24

時，冗=4或％=8；

【解答】解：(1)將點A(3,0)、點B(-1,0)代入y=，+"+c,

可得b=-2,c=-3,

-2x-3；

(2)VC(0,-3),

*'?S^DBC=—X6X1=3,

2

??S/\R4C=3，

設尸（x,3）,直線C尸與X軸交點為。

則S△必c=LX6XA。,

2

：.AQ=1,

：.Q（2,0）或。（4,0）,

直線C。為y=l-3或y=3x-3,

2-4

當y=3時，x=4或x=8,

：.P（4,3）或尸（8,3）；

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，靈活轉化

三角形面積是解題的關鍵.

24.（7分）（2019?黑龍江）“世界讀書日”前夕，某校開展了“讀書助我成長”的閱讀活動.為

了了解該校學生在此次活動中課外閱讀書籍的數(shù)量情況，隨機抽取了部分學生進行調查,

將收集到的數(shù)據(jù)進行整理，繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖信息解決下列問

題：

（1）求本次調查中共抽取的學生人數(shù)；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，閱讀2本書籍的人數(shù)所在扇形的圓心角度數(shù)是72。；

（4）若該校有1200名學生，估計該校在這次活動中閱讀書籍的數(shù)量不低于3本的學生

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖.

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】（1）由1本的人數(shù)及其所占百分比可得答案；

（2）求出2本和3本的人數(shù)即可補全條形圖；

（3）用360°乘以2本人數(shù)所占比例；

（4）利用樣本估計總體思想求解可得.

【解答】解：（1）本次調查中共抽取的學生人數(shù)為15?30%=50（人）；

(2)3本人數(shù)為50X40%=20(人)，

則2本人數(shù)為50-(15+20+5)=10(人),

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，閱讀2本書籍的人數(shù)所在扇形的圓心角度數(shù)是360。xW=72°,

50

故答案為:72°；

（4）估計該校在這次活動中閱讀書籍的數(shù)量不低于3本的學生有1200X型也=600

50

（人）.

【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必

要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖

直接反映部分占總體的百分比大小.

25.（8分）（2019?黑龍江）小明放學后從學?；丶?，出發(fā)5分鐘時，同桌小強發(fā)現(xiàn)小明的

數(shù)學作業(yè)卷忘記拿了，立即拿著數(shù)學作業(yè)卷按照同樣的路線去追趕小明，小強出發(fā)10分

鐘時，小明才想起沒拿數(shù)學作業(yè)卷，馬上以原速原路返回，在途中與小強相遇.兩人離

學校的路程y（米）與小強所用時間f（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)圖象中。的值；

（2）求小強的速度；

【考點】FH：一次函數(shù)的應用.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】（1）根據(jù)“小明的路程=小明的速度X小明步行的時間”即可求解；

（2）根據(jù)。的值可以得出小強步行12分鐘的路程，再根據(jù)“路程、速度與時間”的關

系解答即可；

（3）由（2）可知點8的坐標，再運用待定系數(shù)法解答即可.

【解答】解：（1）。=里&義（10+5）=900；

5

（2）小明的速度為：3004-5=60（米/分），

小強的速度為：（900-60X2）4-12=65（米/分）；

（3）由題意得由（12,780）,

設所在的直線的解析式為：y^kx+b（k￥0）,

把A（10,900）、B（12,780）代入得：

，°k+b=900,解得『=-60,

ll2k+b=780lb=1500

線段AB所在的直線的解析式為＞=-60x+1500（10W尤W12）.

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出函數(shù)關系式以及數(shù)形結合是解

決問題的關鍵.

26.（8分）（2019?黑龍江）如圖，在△ABC中，AB=BC,于點。，BE_LAC于點

E,AD與BE交于點F,于點8,點/是BC的中點，連接尸M并延長交8〃于

點H.

（1）如圖①所示，若/A2C=30°,求證：DF+BH=^-BDi

（2）如圖②所示，若NABC=45°,如圖③所示，若/A8C=60°（點M與點。重合）,

猜想線段。尺與2。之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角

三角形.

【分析】（1）連接CR由垂心的性質得出證出C尸〃由平行線的性質得

出NCBH=/BCF,證明△8WH0ZXCA*得出由線段垂直平分線的性質得出

AF=CF,得出BH=AF,AD=DF+AF=DF+BH,由直角三角形的性質得出4。=返8。,

3

即可得出結論；

（2）同（1）可證：AD=DF+AF=DF+BH,再由等腰直角三角形的性質和含30°角的

直角三角形的性質即可得出結論.

【解答】（1）證明：連接CF,如圖①所示：

'：AD±BC,BE1AC,

：.CF±AB,

:BHLAB,

：.CF//BH,

:.NCBH=NBCF,

:點/是BC的中點，

：.BM=MC,

'NMBH=NMCF

在△而W8和△CMF中，，BM=MC,

,ZBMH=ZCMF

:.ABMH當ACMF（ASA）,

:.BH=CF,

'：AB=BC,BELAC,

.?.BE垂直平分AC,

C.AF^CF,

:.BH=AF,

：.AD=DF+AF=DF+BH,

:在RtZXAOB中，ZABC=30°,

；.AD=^-BD,

3

：.DF+BH=^-BD；

3

（2）解：圖②猜想結論：DF+BH=BD-,理由如下:

同（1）可證：AD=DF+AF=DF+BH,

:在中，ZABC=45°,

：.AD=BD,

：.DF+BH=BD；

圖③猜想結論：DF+BH=MBD；理由如下：

同（1）可證：AD=DF+AF=DF+BH,

:在中，ZABC=60°,

：.AD=：/3BD,

：.DF+BH=43BD.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、垂心的性質、平行線的性質、等腰直角

三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握直角三角形的性質，證

明三角形全等是解題的關鍵.

27.（10分）（2019?黑龍江）為慶祝中華人民共和國七十周年華誕，某校舉行書畫大賽，準

備購買甲、乙兩種文具，獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的師生.已知購買2個甲種文具、1個乙

種文具共需花費35元；購買1個甲種文具、3個乙種文具共需花費30元.

（1）求購買一個甲種文具、一個乙種文具各需多少元？

（2）若學校計劃購買這兩種文具共120個，投入資金不少于955元又不多于1000元，

設購買甲種文具x個，求有多少種購買方案？

（3）設學校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資

金是多少元？

【考點】9A：二元一次方程組的應用；CE：一元一次不等式組的應用；FH：一次函數(shù)

的應用.

【專題】521：一次方程（組）及應用；524：一元一次不等式（組）及應用；533：一次函

數(shù)及其應用.

【分析】（1）設購買一個甲種文具。元，一個乙種文具b元，根據(jù)“購買2個甲種文具、

1個乙種文具共需花費35元；購買1個甲種文具、3個乙種文具共需花費30元”列方程

組解答即可；

（2）根據(jù)題意列不等式組解答即可；

（3）求出卬與x的函數(shù)關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可.

【解答】解：（1）設購買一個甲種文具。元，一個乙種文具b元，由題意得：

（2a+b=35解得k=15,

Ia+3b=30Ib=5

答：購買一個甲種文具15元，一個乙種文具5元；

（2）根據(jù)題意得：

955W15x+5（120-x）W1000,

解得35.5WxW40,

是整數(shù)，

；.x=36,37,38,39,40.

，有5種購買方案；

（3）W=15x+5（120-x）=10x+600,

V10>0,

...W隨x的增大而增大，

當x=36時，卬最小=10X36+600=960（元），

.?.120-36=84.

答：購買甲種文具36個，乙種文具84個時需要的資金最少，最少資金是960元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的應

用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之

間的關系，找出卬關于x的一次函數(shù)關系式.

28.（10分）（2019?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABC。的邊A8在x軸上，

AB.BC的長分別是一元二次方程x?-7x+12=0的兩個根。4=2。2,邊CD

交y軸于點E,動點尸以每秒1個單位長度的速度，從點E出發(fā)沿折線段EO-D4向點

4運動，運動的時間為f(0Wf<6)秒，設△BOP與矩形AOE。重疊部分的面積為S.

(1)求點D的坐標；

(2)求S關于，的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)在點尸的運動過程中，是否存在點P,使為等腰三角形？若存在，直接寫出

【專題】153：代數(shù)幾何綜合題.

【分析】(1)解方程求出x的值，由。4=2。2可得答案；

(2)設8P交y軸于點P,當0W/W2時，PE=r,由AOB尸SAEPB知5_=毀，即0_

EFEP4-OF

=工，據(jù)此得。尸=口_,根據(jù)面積公式可得此時解析式；當2<f<6時，AP=6-t,由

tt+1

△。班”八48尸知如=&殳，即旦=工，據(jù)此得。尸=@工，根據(jù)三角形面積公式可得

APAB6-t33

答案；

(3)設P(-2,機)，由8(1,0),E(0,4)知822=9+機2,8片=1+16=17,尸片=

4+(m-4)2=祖2-8〃2+20,再分三種情況列出方程求解可得.

【解答】解：⑴Vx2-7x+12=0,

??xi=3,入2=4,

'：BC>AB,

.*.BC=4,AB=3,

???04=208,

.9.OA=2,03=1,

:四邊形ABC。是矩形，

.?.點。的坐標為(-2,4)；

(2)設BP交y軸于點R

如圖1,當0W/W2時，PE=t,

,JCD//AB,

:.△OBFsAEPF,

.OF=OB即OF_1

,*EFEP，4-OFT

OF=-^—,

t+1

.?.S=L?QPE=L?-^”2L；

22t+1t+1

:.△OBFS^ABP,

.OF=OB即OF—1

"APAB''宣T

3

.,.S=1O>OA=LXE1LX2=-L+2；

2233

魯(0<t<2)

綜上所述，s=(；

4t+2(2<t<6)

,o

(3)由題意知，當點P在。E上時，顯然不能構成等腰三角形;

當點尸在D4上運動時，設尸(-2,M,

,：B(1,0),E(0,4),

；.BP2=9+52,B￡2=l+16=17,PE2=4+(m-4)2=m-8m+20,

①當BPuBE時，9+〃P=i7,解得加=±2&,

則尸(-2,2近)；

②當BP=PE時，9+m=m-8優(yōu)+20,解得機=呈，

8

貝I]P(-2,旦)；

8

③當BE=PE時，17=7/-8〃計20,解得m=4±V13(

則P(-2,4-V13)；

綜上，尸(-2,2、①或(-2,11)或(-2,4-V13).

8

【點評】本題是四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握矩形的性質、相似三角形的判定

與性質、解一元二次方程、等腰三角形的判定及兩點間的距離公式等知識點.

考點卡片

1.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成ax10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aXIO",其中l(wèi)Wa<10,

力為正整數(shù).】

（2）規(guī)律方法總結：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)”.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

2.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

3.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

4.塞的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（/'）n=amnGn,w是正整數(shù)）

注意：①塞的乘方的底數(shù)指的是塞的底數(shù)；②性質中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)哥的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

(2)積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

(ab)是正整數(shù))

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結果.

5.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)累的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

50,m,〃是正整數(shù)，優(yōu)＞〃)

①底數(shù)aWO,因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應用同底數(shù)幕除法的法則時，底數(shù)?？墒菃雾検剑部梢允嵌囗検?，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

6.完全平方公式

(1)完全平方公式：(。±6)2=a2+2ab+bi.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算

符號相同.

(3)應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a,6可是單項式，也可以是多項式；(2)

對形如兩數(shù)和(或差)的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩

項看做一項后，也可以用完全平方公式.

7.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注

意運算的結果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

8.二元一次方程的應用

二元一次方程的應用

（1）找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系.

（2）找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）挖掘題目中的關系，找出等量關系，列出二元一次方程.

（4）根據(jù)未知數(shù)的實際意義求其整數(shù)解.

9.二元一次方程組的應用

（一）、列