高三數(shù)學(xué)試卷

江蘇省南通中學(xué)高三數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷06.4本試卷分第Ⅰ卷(選擇題共60分)和第Ⅱ卷(非選擇題共90分),考試時(shí)間為120分鐘,滿分為150分.第Ⅰ卷(選擇題共60分)注意事項(xiàng)：1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上.3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨(dú)立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=pk(1－p)n－k球的表面積公式S=4πR2,其中R表示球的半徑球的體積公式V=πR3,其中R表示球的半徑一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80,得一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4 D.78.8,75.62.下表是某市7個(gè)縣級(jí)行政管理區(qū)人口數(shù)與土地面積:行政區(qū)代號(hào)x1x2x3x4x5x6x7人口（萬）63.4659.44103.2338.1121.676.466.61面積(萬km2)0.330.200.450.150.070.020.02經(jīng)統(tǒng)計(jì)比較可知,其中人口密度(人口/面積)最大的行政區(qū)是A.x2 B.x3 C.x5 D.x73..已知|p|=2,|q|=3,p、q的夾角為，如下圖所示，若=5p+2q,=p－3q，且D為BC的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為A. B. C.7 D.84．函數(shù)f(x)=b(1－)+sinx+3(a、b為常數(shù)),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,則f(x)在(－∞,0)上有A.最大值10 B.最小值－5 C.最小值－4 D.最大值135.如果≠kx對(duì)一切x≥15均成立,則有A.k≤0 B.k≤0或k> C.k≤0或k> D.0≤k<6.已知函數(shù)f(x)=sinπx的圖象的一部分如圖(a),有以下四個(gè)函數(shù)解析式:①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－);④y=f(－x+1).其中與圖(b)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為A.①② B.②③ C.③④ D.①④7.2003年9月1日,某中學(xué)按年利率5%(利息按年以復(fù)利計(jì)算)從銀行貸款500萬元,用于建造一所可容納1000人住宿的學(xué)生公寓,2004年9月1日投入使用,同時(shí)向每位學(xué)生收取一年住宿費(fèi)a元用于還貸,照此方式,預(yù)計(jì)15年還清貸款,則a的值約為(提供:1.0515≈2.08)A.412 B.482 C.500 D.5128.已知F1、F2分別是雙曲線－=1的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上任一點(diǎn),若的最小值為8a,則雙曲線的離心率范圍為A.(1,3] B.(0,3] C.(1,2] D.(1,+∞)9.設(shè)函數(shù)f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),則f′(x)=0有A.分別位于區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)三個(gè)根B.四個(gè)實(shí)根分別為xi=i(i=1,2,3,4)C.分別位于區(qū)間(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)四個(gè)根D.分別位于區(qū)間(0,1),(1,2),(2,3)內(nèi)三個(gè)根10.如下圖,設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長(zhǎng)為l,弦AP的長(zhǎng)為d,則函數(shù)d=f(l)的圖象大致為普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試仿真試卷數(shù)學(xué)第Ⅱ卷（非選擇題共100分）注意事項(xiàng)：1.第Ⅱ卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上.2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上）11.氨基酸的排列順序是決定蛋白質(zhì)多樣性的原因之一.某肽鏈由7種不同的氨基酸構(gòu)成，若只改變其中3種氨基酸的位置，其他4種不變，則不同的改變方法共有___________種.12.設(shè)不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積為S,當(dāng)6≤S≤22時(shí),a的取值范圍是___________.13.△A′B′C′是用“斜二測(cè)畫法”畫出的等腰直角三角形ABC的直觀圖,設(shè)△A′B′C′的面積為S′,△ABC的面積為S,則=_______.14.設(shè)x1、x2∈R,定義運(yùn)算:x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2,若x≥0,常數(shù)m>0,則動(dòng)點(diǎn)P(x)=的軌跡方程是_______.15.記min{a,b}為a、b兩數(shù)的最小值,當(dāng)正數(shù)x、y變化時(shí),t=min{x,}也在變化,則t的最大值為___________.16.設(shè)x、y∈R,且滿足則x+y=___________.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.(本小題滿分12分)二人擲一顆骰子,兩人各擲一次,點(diǎn)數(shù)大者為勝,但這個(gè)骰子可能不太規(guī)則,以致k點(diǎn)出現(xiàn)的概率是Pk(k=1,2,3,4,5,6).在這種情況下,(1)求二人平局的概率P.(2)證明P≥;并證明如果P=,則Pk=(k=1,2,3,4,5,6).18.(本小題滿分14分)在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,側(cè)棱是底面邊長(zhǎng)的2倍,P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn).(1)求證:不論P(yáng)在側(cè)棱CC1上何位置,總有BD⊥AP;(2)若CC1=3C1P,求平面AB1P與平面ABCD所成的二面角的正切值;(3)當(dāng)P點(diǎn)在側(cè)棱CC1上何處時(shí),AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分線?19.(本小題滿分12分)如圖,給出了一個(gè)三角形數(shù)陣,已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列,從第3行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,每一行的公比都相等.記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j,i、j∈N*).,,,……(1)試寫出aij關(guān)于i、j的表達(dá)式,并求a83;(2)設(shè)這個(gè)數(shù)陣共有n行,求數(shù)陣表中的所有數(shù)之和.20.(本小題滿分16分)已知集合A={(x,y)|y≥|x－a|},B={(x,y)|y≤－a|x|+2a}(a≥0).(1)證明A∩B≠;(2)當(dāng)0≤a≤4時(shí),求由A∩B中點(diǎn)組成圖形面積的最大值.21.(本小題滿分16分)已知橢圓C1:+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別是A、B,點(diǎn)P是雙曲線C2:－y2=1在第一象限部分上的一點(diǎn),連結(jié)AP交橢圓C1于點(diǎn)C,連結(jié)PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)D.(1)若直線PA與PB的斜率分別為k1、k2,求證:k1·k2是定值;(2)若△ACD與△PCD的面積相等,求直線CD的傾斜角;(3)直線CD的傾斜角是否會(huì)隨著點(diǎn)P的不同而改變?并說明理由.高三數(shù)學(xué)試卷詳細(xì)解答一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80,得一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4 D.78.8,75.6解析:數(shù)據(jù)變化后,平均數(shù)改變而方差不變.答案:A2.下表是某市7個(gè)縣級(jí)行政管理區(qū)人口數(shù)與土地面積:行政區(qū)代號(hào)x1x2x3x4x5x6x7人口（萬）63.4659.44103.2338.1121.676.466.61面積(萬km2)0.330.200.450.150.070.020.02經(jīng)統(tǒng)計(jì)比較可知,其中人口密度(人口/面積)最大的行政區(qū)是A.x2 B.x3 C.x5 D.x7解析:xi區(qū)的人口密度為ai(i=1,2,…,7),a1=192.30,a2=297.20,a3=229.40,a4=254.07,a5=309.57,a6=323.00,a7=330.50.答案:D3..已知|p|=2,|q|=3,p、q的夾角為，如下圖所示，若=5p+2q,=p－3q，且D為BC的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為A. B. C.7 D.8解析:=(+)=3p－q,∴||2=9p2+q2－3p·q=.∴||=.答案:A4．函數(shù)f(x)=b(1－)+sinx+3(a、b為常數(shù)),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,則f(x)在(－∞,0)上有A.最大值10 B.最小值－5 C.最小值－4 D.最大值13解析:令F(x)=f(x)－3=b(1－)+sinx=b+sinx,則F(－x)=b+sin(－x)=b－sinx=－F(x),∴F(x)為奇函數(shù),F(x)在(0,+∞)上有最大值7.∴F(x)在(－∞,0)上有最小值－7.∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－4.答案:C5.如果≠kx對(duì)一切x≥15均成立,則有A.k≤0 B.k≤0或k> C.k≤0或k> D.0≤k<解析:令y=,y=kx,顯然k≤0時(shí)成立,由k2x2－x+5=0(k>0),由Δ=0,得k=;由得x=10,而x≥15,∴當(dāng)x=15時(shí),k=.∴k≤0或k>.答案:C6.已知函數(shù)f(x)=sinπx的圖象的一部分如圖(a),有以下四個(gè)函數(shù)解析式:①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－);④y=f(－x+1).其中與圖(b)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為A.①② B.②③ C.③④ D.①④解析:∵圖形(a)、(b)關(guān)于y軸對(duì)稱,∴圖(b)的函數(shù)解析式為y=－f(x).∵f(x)=sinπx,∴①y=f(2－x)=sinπ(2－x)=sin(2π－πx)=－sinπx=－f(x)成立.②y=f(x+1)=sinπ(x+1)=sin(π+πx)=－sinπx=－f(x).③y=f(x－)=sinπ(x－)=sin(πx－)=－cosπx≠－f(x).④y=f(－x+1)=sinπ(－x+1)=sin(π－πx)=sinπx=f(x).故函數(shù)解析式①②滿足圖(b).答案:A7.2003年9月1日,某中學(xué)按年利率5%(利息按年以復(fù)利計(jì)算)從銀行貸款500萬元,用于建造一所可容納1000人住宿的學(xué)生公寓,2004年9月1日投入使用,同時(shí)向每位學(xué)生收取一年住宿費(fèi)a元用于還貸,照此方式,預(yù)計(jì)15年還清貸款,則a的值約為(提供:1.0515≈2.08)A.412 B.482 C.500 D.512解析:500(1+5%)15=0.1a(1+1.05+1.052+…+1.0514),a=≈482(元).答案:B8.已知F1、F2分別是雙曲線－=1的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上任一點(diǎn),若的最小值為8a,則雙曲線的離心率范圍為A.(1,3] B.(0,3] C.(1,2] D.(1,+∞)解析:∵|PF2|－|PF1|=2a,∴==|PF1|++4a≥2+4a=8a,其中|PF1|=2a時(shí)等號(hào)成立.又設(shè)P(x,y)(x≤－a),則由第二定義,得|PF1|=(－x－)e=－ex－a≥c－a,即2a≥c－a,∴e=≤3,又∵e>1,∴1<e≤3.答案:A9.設(shè)函數(shù)f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),則f′(x)=0有A.分別位于區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)三個(gè)根B.四個(gè)實(shí)根分別為xi=i(i=1,2,3,4)C.分別位于區(qū)間(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)四個(gè)根D.分別位于區(qū)間(0,1),(1,2),(2,3)內(nèi)三個(gè)根解析:f(x)=0有四根xi=i(i=1,2,3,4).故在區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)必存在極值點(diǎn),使f′(x)=0,故選A.答案:A10.如下圖,設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長(zhǎng)為l,弦AP的長(zhǎng)為d,則函數(shù)d=f(l)的圖象大致為解析:連結(jié)OP,設(shè)∠AOP為θ角,則=OP·sin=sin,即d=2sin(0≤θ≤2π).答案:C普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試仿真試卷數(shù)學(xué)第Ⅱ卷（非選擇題共100分）注意事項(xiàng)：1.第Ⅱ卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上.2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上）11.氨基酸的排列順序是決定蛋白質(zhì)多樣性的原因之一.某肽鏈由7種不同的氨基酸構(gòu)成，若只改變其中3種氨基酸的位置，其他4種不變，則不同的改變方法共有___________種.解析:從7種不同的氨基酸中選3種，有種選法，這3種氨基酸的不同位置有2種，即·2=70.答案:7012.設(shè)不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積為S,當(dāng)6≤S≤22時(shí),a的取值范圍是___________.解析:作出不等式組表示的可行域.由即A(2,5).該不等式組所表示的可行域是:直線x+2y=12的下方;直線2x－y+1=0的下方;y軸的右邊,直線x=a的左邊;x軸上方的區(qū)域.先從特例探求,考查梯形OBAC的面積.S=(1+5)·2=6,滿足S的下界.∴a=2是最小值;要使S取最大值22,則S梯形ABDE=16.∴S梯形ABDE=［5+(6－)］(a－2)=16.當(dāng)a>2時(shí),6－>0,解得a=6,∴amax=6,故a∈［2,6］.答案:［2,6］13.△A′B′C′是用“斜二測(cè)畫法”畫出的等腰直角三角形ABC的直觀圖,設(shè)△A′B′C′的面積為S′,△ABC的面積為S,則=_______.解析:==.答案:14.設(shè)x1、x2∈R,定義運(yùn)算:x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2,若x≥0,常數(shù)m>0,則動(dòng)點(diǎn)P(x)=的軌跡方程是_______.解析:y===,∴y2=2mx(y≥0).答案:y2=2mx(y≥0)15.記min{a,b}為a、b兩數(shù)的最小值,當(dāng)正數(shù)x、y變化時(shí),t=min{x,}也在變化,則t的最大值為___________.解析:若x≤,則t=x,t2=x2≤x·≤=.故t≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取“＝”；若≤x,則t=,t2=()2≤≤.故t≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取“＝”.綜上可知,當(dāng)x=y=時(shí),t取最大值為.答案:16.設(shè)x、y∈R,且滿足則x+y=___________.解析:由(y－1)2005+2004(y－1)=1,變形得(1－y)2005+2004(1－y)=－1,得知x－1=1－yx+y=2.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.(本小題滿分12分)二人擲一顆骰子,兩人各擲一次,點(diǎn)數(shù)大者為勝,但這個(gè)骰子可能不太規(guī)則,以致k點(diǎn)出現(xiàn)的概率是Pk(k=1,2,3,4,5,6).在這種情況下,(1)求二人平局的概率P.(2)證明P≥;并證明如果P=,則Pk=(k=1,2,3,4,5,6).(1)解:P=P12+P22+…+P62. 4分(2)證明:∵P1+P2+…+P6=1,(P1－)2+(P2－)2+…+(P6－)2=P12+P22+…+P62－(P1+P2+…+P6)+=P－≥0,∴P≥,當(dāng)P=時(shí),P1=P2=…=P6=. 12分 12分18.(本小題滿分14分)在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,側(cè)棱是底面邊長(zhǎng)的2倍,P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn).(1)求證:不論P(yáng)在側(cè)棱CC1上何位置,總有BD⊥AP;(2)若CC1=3C1P,求平面AB1P與平面ABCD所成的二面角的正切值;(3)當(dāng)P點(diǎn)在側(cè)棱CC1上何處時(shí),AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分線?(1)證明:∵AP在底面ABCD內(nèi)的射影為AC,在正方形ABCD中AC⊥BD,∴AP⊥BD.3分(2)解:延長(zhǎng)B1P與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連結(jié)AM,過B作BN⊥AM于點(diǎn)N,連結(jié)B1N,則∠B1NB即為所求二面角的平面角,設(shè)AB=a,則BM=3a,∴BN=a.∴tan∠B1NB==. 8分(3)解:設(shè)AB=a,C1P=x,要使AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分線,則∠PAB1=∠PAC,∴cos∠PAB1=cos∠PAC,即=,解得x=a,∴P到C1的距離是底面邊長(zhǎng)的. 12分19.(本小題滿分12分)如圖,給出了一個(gè)三角形數(shù)陣,已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列,從第3行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,每一行的公比都相等.記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j,i、j∈N*).,,,……(1)試寫出aij關(guān)于i、j的表達(dá)式,并求a83;(2)設(shè)這個(gè)數(shù)陣共有n行,求數(shù)陣表中的所有數(shù)之和.解:(1)由條件易知第i行的第1個(gè)數(shù)為ai1=+(i－1)=,第i行的第j個(gè)數(shù)為aij=()j－1,∴a83=×()2=. 6分(2)設(shè)數(shù)陣中第n行的所有數(shù)之和為An,則An=(1+++…+)=·=－×.設(shè)所求數(shù)之和為P,則P=(1+2+…+n)－(1·2－1+2·2－2+…+n·2－n).設(shè)S=1·2－1+2·2－2+3·2－3+…+n·2－n,則=1·2－2+2·2－3+3·2－4+…+n·2－(n+1)=－n·2－(n+1)=1－－,則P=－(1－－),=++－1=+. 12分 12分20.(本小題滿分16分)已知集合A={(x,y)|y≥|x－a|},B={(x,y)|y≤－a|x|+2a}(a≥0).(1)證明A∩B≠;(2)當(dāng)0≤a≤4時(shí),求由A∩B中點(diǎn)組成圖形面積的最大值.(1)證明:顯然(0,a)∈A.當(dāng)x=0時(shí),y=－a|x|+2a=2a,∴(0,2a)∈B.∴A∩B≠. 4分(2)解:如左上圖,當(dāng)2≤a≤4時(shí),A∩B中點(diǎn)組成如圖所示△EFD,易得E(0,2a)、F(－,)、D(,)、G(0,a).∴S△EFD=S△EFG+S△FGD=a·+a·=.當(dāng)0<a<2時(shí),A∩B中點(diǎn)組成如右上圖所示四邊形EFGH.易得E(0,2a)、F(－,)、G(a,0)、H(,)、D(－2,0)、Q(2,0),而S四邊形EFGH=S△DEQ－S△DFG－S△GHQ=×4×2a－(a+2)·－(2－a)·=.當(dāng)a=0時(shí),A∩B={(0,0)}.顯然適合