數(shù)學(xué)（選修22）練習(xí)4.1.3導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義活頁作業(yè)2

活頁作業(yè)(二)導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(1)＝()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1\r(1＋Δx)＋1,Δx\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，當(dāng)Δx趨于0時，eq\f(Δy,Δx)趨于eq\f(1,2)，所以f′(1)＝eq\f(1,2).答案：B2．設(shè)曲線y＝x2＋x－2在點M處的切線斜率為3，則點M的坐標(biāo)為()A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)解析：設(shè)M(x0，y0)．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2＋x0＋Δx－2－x\o\al(2,0)＋x0－2,Δx)＝2x0＋Δx＋1，當(dāng)Δx趨于0時，eq\f(Δy,Δx)趨于2x0＋1，即2x0＋1＝3，解得x0＝1.則y0＝0.∴點M的坐標(biāo)為(1,0)．故選B.答案：B3．做直線運動的一物體，其位移s與時間t的關(guān)系式為s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，則其初速度為()A．0 B．3C．－2 D．3－2t解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3t＋Δt－t＋Δt2－3t－t2,Δt)＝3－2t－Δt，當(dāng)Δt趨于0時，eq\f(Δs,Δt)趨于3－2t，該物體在t＝0時的瞬時速度v＝3－2×0＝3.故選B.答案：B4．設(shè)曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a的值是()A．1 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝2a＋aΔx.當(dāng)Δx趨于0時，eq\f(Δy,Δx)趨于2a，由題意得2a＝2.∴a＝1.答案：A5．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線傾斜角是eq\f(π,4)，則f′(x0)＝()A.eq\f(π,4) B．－eq\f(π,4)C．－1 D．1解析：由題意知f′(x0)＝taneq\f(π,4)＝1.答案：D6．若曲線f(x)＝x2上某點的切線的傾斜角為eq\f(3π,4)，則此點的坐標(biāo)是____________.解析：設(shè)所求點的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))．由題意，得f′(x0)＝－1.利用導(dǎo)數(shù)的定義，求得f′(x0)＝2x0.故2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2).則所求點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))7．已知函數(shù)f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是2x－3y＋1＝0，則f(1)＋f′(1)＝____________.解析：由題意，得f′(1)＝eq\f(2,3).故f(1)＝1，則f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)8．已知函數(shù)y＝ax2＋b在(1,3)處切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝____________.解析：當(dāng)x＝1時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a1＋Δx2＋b－a×12－b,Δx)＝eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝2a＋aΔx，當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2a.由題意知2a∴a＝1.又3＝a＋b，∴b＝2.∴eq\f(b,a)＝2.答案：29．求函數(shù)y＝f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2.10．已知曲線C：y＝f(x)＝x3.(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點處的切線的方程．(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？解：(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點P的坐標(biāo)為(1,1)．∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝Δx2＋3Δx＋3，當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→3.∴曲線在點P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－1＋1，,y＝x3，))得(x－1)2(x＋2)＝0.∴x1＝1，x2＝－2.∴公共點為(1,1)和(－2，－8)．說明切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另外的點．11．已知曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，那么()A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＞0 D．f′(x0)不確定解析：f′(x0)的幾何意義為y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率．由題意，得切線斜率為k＝－2.∴f′(x0)＝－2＜0.答案：B12．已知曲線y＝eq\f(1,2)x2－2上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，則過點P的切線的傾斜角為____________.解析：∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2)),Δx)＝eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx，當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→x，∴當(dāng)x＝1時，y′＝1.∴過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))的切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45°.答案：45°13．已知曲線y＝2x2＋4x在點P處的切線的斜率為16，則點P的坐標(biāo)為____________.解析：設(shè)P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋4x0)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝2Δx＋4x0＋4，當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→4x0＋4，∴f′(x0)＝4x0＋4.又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3.∴P(3,30)．答案：(3,30)14．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求a的值．解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2,0)－9x0－1)＝(3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3,∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.當(dāng)Δx趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)趨近于3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9.故f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9，即f′(x0)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(a,3)))2－9－eq\f(a2,3).當(dāng)x0＝－eq\f(a,3)時，f′(x0)有最小值－9－eq\f(a2,3).∵斜率最小的切線與12x＋y＝6平行，∴該切線的斜率為－12.∴－9－eq\f(a2,3)＝－12.解得a＝±3.又a＜0，∴a＝－3.15．已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程．(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程，所求切線與曲線是否還有其他公共點？若有，請求出其坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．解：(1)由導(dǎo)數(shù)的定義，求得y′|x＝2＝4.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得點P(2,4)處的切線的斜率為4.故所求的曲線的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0；(2)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過點P(2,4)的切線相切于點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，利用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義，得切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，故切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)．∵點P(2,4)在切線上．∴4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(2－x0)．解得x0＝2或x0＝－1.故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－4＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f(4,3)，))消去y并整理，得x3－12x＋16＝0，即x3－4x－8x＋16＝0.∴(x－2)(x2＋2x－8)＝0，即(x－2)2(x＋4)＝0.∴x＝2或x＝－4.故切線4x－y－4＝0與曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)除有公共點(切點)P(2,4)外，還有一個公共點為(－4，－20)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f(4,3)，))消去y并整理，得x3－3x－2＝0，即x(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0.故(x＋1)2(x－2)＝0.∴x＝－1或x＝2.故切線x－y＋2＝0與曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，除有公共點(交點)P(2,4)外，還有一個公共點即切點(－1,1)．16．將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱．如果第xh時，原油的溫度(單位：℃)為f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．(1)求f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)．(2)計算第2h時原油溫度的瞬間變化率，并說明它的