離散型隨機(jī)變量的方差高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修三

離散型隨機(jī)變量的方差復(fù)習(xí)回顧1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)············數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機(jī)變量的平均水平3、如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布為X10Pp1－p則復(fù)習(xí)回顧4.離散型隨機(jī)變量的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.5.均值的性質(zhì)：6.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則有問題引入

隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)”.因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng)，而隨機(jī)變量的均值無法反映波動(dòng)幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動(dòng)大小的數(shù)字特征.

如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？

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新知探索思考1：怎樣定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度？

我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實(shí)現(xiàn)的.一個(gè)自然的想法是，隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢？

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隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.

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在方差的計(jì)算中，利用下面的結(jié)論經(jīng)常可以使計(jì)算簡化.

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方差描述隨機(jī)變量取值的離散程度，了解方差的性質(zhì)，除了簡化計(jì)算外，還有助于更好地理解其本質(zhì).

[例1]某迷宮有三個(gè)通道,進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開一個(gè)通道,若是1號(hào)通道,則需要1小時(shí)走出迷宮;若是2號(hào)、3號(hào)通道,則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門.再次到達(dá)智能門時(shí),系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道,直至走完迷宮為止.令X表示走出迷宮所需的時(shí)間.求X的分布列、均值和方差.例析例析例析

[例2]已知X的分布列如表:(1)求X2的分布列,并計(jì)算X2的方差;(2)計(jì)算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.解:(3)因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.例析

例析例3.投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示.(1)投資哪種股票的期望收益大？

例析例3.投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示.(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)高？

例析

隨機(jī)變量的方差是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，或者說反映隨機(jī)變量的離散程度.在不同的實(shí)際問題背景中，方差可以有不同的解釋.例如，如果給隨機(jī)變量是某項(xiàng)技能的測(cè)試成績，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機(jī)變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機(jī)變量是風(fēng)險(xiǎn)投資的收益，那么方差的大小反映了投資風(fēng)險(xiǎn)的高低；等等.(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由;(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變,該投資公司按照你選擇的項(xiàng)目長期投資(每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資),問:大約