易錯(cuò)拔尖：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角（解析版）

易錯(cuò)拔尖：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角（解析版）易錯(cuò)點(diǎn)1．如圖所示，找出圖中所有的與∠1是同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角的角．思路導(dǎo)引：分四種情況討論，（1）當(dāng)AB、BC被AC所截時(shí)，∠1和∠7是同旁?xún)?nèi)角；（2）當(dāng)AB、CD被AC所截時(shí)，∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角；（3）當(dāng)AC、BD被AB所截時(shí)，∠1和∠6是同旁?xún)?nèi)角；（4）當(dāng)AC、BC被AB所截時(shí)，∠1和∠ABC是同旁?xún)?nèi)角．解：∠1沒(méi)有同位角，∠1的內(nèi)錯(cuò)角有∠2，∠1的同旁?xún)?nèi)角有∠6、∠ABC、∠7．易錯(cuò)總結(jié)：解答此題時(shí)，常常誤認(rèn)為∠1和∠3是同位角，∠1和∠4是同旁?xún)?nèi)角等，事實(shí)上這兩對(duì)角不是由兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截形成的，這是判定同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角前提條件．誤點(diǎn)警示：不注意概念的運(yùn)用，而導(dǎo)致識(shí)別錯(cuò)誤拔尖角度角度1利用“三線(xiàn)八角”的定義識(shí)別相關(guān)角1．如圖1、圖2中的∠1和∠2，∠3和∠4分別是哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截形成的？它們各是什么位置關(guān)系的角？思路引領(lǐng)：根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義進(jìn)行判定即可得出答案．解：圖1中，∠1和∠2分別是直線(xiàn)AB，CD被直線(xiàn)BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角；∠3和∠4分別是直線(xiàn)AD，BC被直線(xiàn)BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角；圖2中，∠1和∠2分別是直線(xiàn)AB，CD被直線(xiàn)BC所截形成的同位角；∠3和∠4分別是直線(xiàn)AB，BC被直線(xiàn)AC所截形成的同旁?xún)?nèi)角．總結(jié)提升：本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義，熟練掌握同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義進(jìn)行判定是解決本題的關(guān)鍵．角度2利用“三線(xiàn)八角”的定義畫(huà)示意圖2．（2020春?江城區(qū)期末）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，∠1和∠2是同旁?xún)?nèi)角，∠3和∠2是內(nèi)錯(cuò)角．（1）根據(jù)上述條件，畫(huà)出符合題意的示意圖；（2）若∠1＝3∠2、∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線(xiàn)的之間，并且在第三條直線(xiàn)（截線(xiàn)）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．同旁?xún)?nèi)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線(xiàn)的之間，并且在第三條直線(xiàn)（截線(xiàn)）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角，畫(huà)出圖形．（2）根據(jù)已知角的關(guān)系確定∠1＝9∠3，再根據(jù)圖形中∠1和∠3組成鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得方程，再解即可．解：（1）如圖所示：（2）∵∠1＝3∠2、∠2＝3∠3，∴∠1＝9∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴9∠3+∠3＝180°，∴∠3＝18°，∴∠1＝162°，∠2＝54°．總結(jié)提升：此題主要考查了三線(xiàn)八角，以及角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁?xún)?nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．角度3利用“三線(xiàn)八角”的定義識(shí)別相關(guān)角3．如圖所示．（1）∠1與∠C，∠2與∠B，∠3與∠C各是什么角，是哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截得的？（2）∠3的內(nèi)錯(cuò)角有哪些？（3）寫(xiě)出直線(xiàn)DE，BC被AB所截得的同旁?xún)?nèi)角，直線(xiàn)DE，BC被EF所截得的同旁?xún)?nèi)角．思路引領(lǐng)：（1）在截線(xiàn)的同旁找同位角；（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)的概念找到即可；（3）由同旁?xún)?nèi)角的概念解答即可．解：（1）∠1與∠C是直線(xiàn)DE、BC被直線(xiàn)AC所截形成的同位角，∠2與∠B是直線(xiàn)DE、BC被直線(xiàn)AB所截形成的同位角，∠3與∠C是直線(xiàn)DF、AC被直線(xiàn)BC所截形成的同位角；（2）當(dāng)直線(xiàn)DE與BC被DF所截時(shí)，∠3與∠EDF是內(nèi)錯(cuò)角；當(dāng)直線(xiàn)AB和BC被EF所截時(shí)，∠3與∠ADF是內(nèi)錯(cuò)角；（3）直線(xiàn)DE，BC被AB所截得的同旁?xún)?nèi)角有∠B與∠BDE，直線(xiàn)DE，BC被EF所截得的同旁?xún)?nèi)角∠DEF與∠BFE．總結(jié)提升：本題主要考查學(xué)生對(duì)內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角的掌握情況，觀(guān)察時(shí)，關(guān)鍵要抓住各類(lèi)角的特征，這也是學(xué)生易錯(cuò)的地方，并且還容易出現(xiàn)漏解的情況．角度4利用“三線(xiàn)八角”的特征說(shuō)明相關(guān)角的關(guān)系4．如圖，若∠1＝∠B，那么∠2與∠B有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；若∠4+∠C＝180，那么∠3與∠C有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：根據(jù)“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”推知DE∥BC，則由“兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”得到∠2+∠B＝180°；由“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行”和“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”得到∠3＝∠C．解：∠2+∠B＝180°．理由如下：∵∠1＝∠B，∴DE∥BC，∴∠2+∠B＝180°．∵∠4+∠C＝180，∴DE∥BC，∴∠3＝∠C．總結(jié)提升：本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)．平行線(xiàn)的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系．平行線(xiàn)的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．5．如圖，有四條互相不平行的直線(xiàn)l1、l2、l3、l4所截出的八個(gè)角．請(qǐng)你任意選擇其中的三個(gè)角（不可選擇未標(biāo)注的角），嘗試找到它們的關(guān)系，并選擇其中一組予以證明．思路引領(lǐng)：根據(jù)三角形的外角和為360°，三角形的內(nèi)角和為180°以及三角形外角和定理即可寫(xiě)出三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．解：如∠2+∠4+∠6＝360°，∠1+∠5+∠7＝180°，∠2＝∠5+∠7，∠3＝∠1+∠8，已知如圖：有四條互相不平行的直線(xiàn)l1、l2、l3、l4所截出的八個(gè)角，求證：∠1+∠5+∠7＝180°，證明：∵∠DAC+∠7+∠5＝180°，又∵∠1＝∠DAC，∴∠1+∠5+∠7＝180°．總結(jié)提升：此題主要考查了對(duì)頂角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，正確的應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．角度5利用“三線(xiàn)八角”的定義探究角的對(duì)數(shù)6．（1）如圖1，兩條水平的直線(xiàn)被一條豎直的直線(xiàn)所截，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有對(duì)．（2）如圖2，三條水平的直線(xiàn)被一條豎直的直線(xiàn)所截，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有對(duì)．（3）根據(jù)以上探究的結(jié)果，n（n為大于1的整數(shù)）條水平直線(xiàn)被一條豎直直線(xiàn)所截，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有對(duì)．（用含n的式子表示）思路引領(lǐng)：根據(jù)同位角是兩個(gè)角都在截線(xiàn)的同旁，又分別處在被截的兩條直線(xiàn)同側(cè)的位置的角，內(nèi)錯(cuò)角是兩個(gè)角都在截線(xiàn)的兩側(cè)，又分別處在被截的兩條直線(xiàn)中間的位置的角，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角是兩個(gè)角都在截線(xiàn)的同旁，又分別處在被截的兩條直線(xiàn)中間的位置的角，可得答案．解：（1）如圖1，兩條水平的直線(xiàn)被一條豎直的直線(xiàn)所截，同位角有4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有2對(duì)．（2）如圖2，三條水平的直線(xiàn)被一條豎直的直線(xiàn)所截，同位角有12對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有6對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有6對(duì)．（3）根據(jù)以上探究的結(jié)果，n（n為大于1的整數(shù)）條水平直線(xiàn)被一條豎直直線(xiàn)所截，同位角有2n（n﹣1）對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有n（n﹣1）對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有n（n﹣1）對(duì)，故答案為：4，2，2；12，6，6；2n（n﹣1），n（n﹣1），n（n﹣1）．總結(jié)提升：本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，解答此類(lèi)題確定三線(xiàn)八角是關(guān)鍵，可直接從截線(xiàn)入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．角度6復(fù)雜圖形中找出已知角的同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角．7．（2021春?長(zhǎng)白縣期中）如圖，有下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（填序號(hào)）．思路引領(lǐng)：準(zhǔn)確識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線(xiàn)被哪一條線(xiàn)所截．也就是說(shuō)，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線(xiàn)是截線(xiàn)，哪兩條直線(xiàn)是被截線(xiàn)．解：①∠A與∠1是同位角，此結(jié)論正確；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角，此結(jié)論正確；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角，此結(jié)論正確；④∠1與∠3不是同位角，原來(lái)的結(jié)論錯(cuò)誤；故答案為：①②③．總結(jié)提升：此題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，在復(fù)雜的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角時(shí)，應(yīng)當(dāng)沿著角的邊將圖形補(bǔ)全，或者把多余的線(xiàn)暫時(shí)略去，找到三線(xiàn)八角的基本圖形，進(jìn)而確定這兩個(gè)角的位置關(guān)系8．如圖是一個(gè)跳棋棋盤(pán)，其游戲規(guī)則是：一個(gè)棋子從某一個(gè)起始角開(kāi)始，經(jīng)過(guò)若干步跳動(dòng)后，到達(dá)終點(diǎn)角．跳動(dòng)時(shí)，每一步只能跳到它的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的位置上．如從起始位置∠1跳到終點(diǎn)位置∠3的路徑有跳徑1：∠1→同旁?xún)?nèi)角∠9→內(nèi)錯(cuò)角∠跳徑2：∠1→內(nèi)錯(cuò)角∠12→內(nèi)錯(cuò)角∠6→同位角∠10→（1）寫(xiě)出從∠1到∠8的一條路徑；（2）從起始位置∠1依次按同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的順序跳，能否跳到終點(diǎn)位置∠8？（3）寫(xiě)出從起始位置∠1跳到終點(diǎn)位置∠8的路徑，要求跳遍所有的角，且不能重復(fù)．思路引領(lǐng)：首先根據(jù)已知條件找出角與角之間的關(guān)系，再根據(jù)“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)