數(shù)學(xué)歸納法-張文根

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數(shù)學(xué)歸納法上課人：張文根時(shí)間：2022年11月19日

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學(xué)習(xí)目標(biāo)1、明白數(shù)學(xué)歸納法的遞推原理2、合理選擇數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)的第一個(gè)取值3、明白由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立時(shí)，代數(shù)式是如何改變的4、證明不等式時(shí)，留意數(shù)學(xué)歸納法和其它方法的綜合應(yīng)用。

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課前熱身nn+12n+11、求證：12+22+…+n2=.6證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,11+12+1右邊==1,左邊=右邊，等式成立；6(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)，等式成立，kk+12k+1222即1+2+…+k=,6那么當(dāng)n=k+1時(shí)，kk+12k+122221+2+…+k+(k+1)=+(k+1)26k+1[k+1+1][2k+1+1]=6所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式仍舊成立.

由(1)、(2)可知，對(duì)于n∈N*等式恒成立.

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2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)為

1n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于(C2(A)1(B)2(C)3(D)0

)

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3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…42nn+n2=,那么當(dāng)n=k+1時(shí)左端2

應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(

D2

)

(A)k+12

2

(B)(k+1)

(C)(k1)4(k1)2(D)(k+1)+(k+2)+(k+3)+…2+(k+1)222

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要點(diǎn)梳理數(shù)學(xué)歸納法

憶一憶知識(shí)要點(diǎn)

一般地，數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明關(guān)于正整數(shù)命題的一種方法，假設(shè)

n0是起始值，那么n0是使命題成立的最小正整數(shù)，所以對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法：其基本步驟為：

(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)，結(jié)論正確；歸納奠基注：n0是否肯定為1?(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且n≥n0)時(shí)結(jié)論正確，歸納推理證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.那么，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的全部正整數(shù)n都成立.

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典例剖析證明:1+

13

+…+

1≤2n1

2n1.

證明：①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,所以命題成立.當(dāng)n=2時(shí),左邊右邊,所以命題成立.②假設(shè)n=k(k≥2,kN)時(shí)命題成立,*

即1+

13

+…+

12k1

≤

2k1,

當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=1+

13

+…+

12k1

+

12k1

≤

2k1+

12k1

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2k1+

22k1

2k1

=

2k1+

2(

2k12

2k1)

=

2k1=

2(k1)1.

命題成立.由①、②可知,對(duì)一切nN都有1+*

13

+…

+

12n1

≤

2n1成立.

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課堂小結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？1、數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的原理

2、數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟3、從n=k成立證明n=k+1成立時(shí)代數(shù)式的改變特征4、留意數(shù)學(xué)歸納法與其他證明方法的綜合應(yīng)用

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清

學(xué)

稿

n3n+11.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=(n∈2N*)的第二步中，當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊與n=k時(shí)的等式左邊的差等于________.

2、求證:1+(nN).*

12

+

11+…+2n3n

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(2)證明:只

需證:1+

11+…+≤32n1

2n1.①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,所以命題成立.當(dāng)n=2時(shí),左邊右邊,所以命題成立.

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②假設(shè)n=k(k≥2,kN)時(shí)命題成立,*

即1+

11+…+≤2k1,32k1

當(dāng)n=k+1時(shí),

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左邊=1+

13

+…+

1+2k1

12k1

≤

2k1+

12k1

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2k1+

22k12k1

=

2(2k12k1)2k1+2

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=

2k1=2(k1)1.

命題成立.由①、②可知,

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探究提高1在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)意Sn=21an+.an(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

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規(guī)范解答解11(1)S1=a1=a1+得a21=1.2a1

∵an0,∴a1=1,11由S2=a1+a2=a2+,2a2得a22+2a2-1=0,∴a2=2-1.

11又由S3=a1+a2+a3=a3+2a3得a23+22a3-1=0,∴a3=3-2.(2)猜想an=n-n-1(n∈N*)證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=1-0,猜想成立.

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②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立，即ak=k-k-1,那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=Sk+1-Sk1111a=k+1+-ak+,2ak+1ak21111k-k-1+a+1+即ak+1=-k2ak+1k-k-1